“大概念”統攝下的數學教學

黃興民

[摘? 要] 在小學數學教學中，“大概念”位于“數學課程學習中心”，蘊含著核心知識概念、數學方法模型和數學學科大圖景。運用大概念能建構知識框架，能厘清學習脈絡，能確定主題內容。作為教師，要以大概念為抓手、以大概念為錨點、以大概念為經絡，聚焦學生學習方向，優化學生學習路徑，引導學生進行學習梳理。通過大概念學習，發展學生的高階思維，催生學生的高階認知。

[關鍵詞] 小學數學;“大概念”統攝;統攝教學

所謂“大概念”，是指“在學生數學學習中發揮核心作用、起統攝效能的概念”。“大概念”的英文是“Big Idea”，它不是指數量寬廣，而是指“核心”“關鍵”。“大概念”這一術語是由英國科學教育家溫·哈倫在《以大概念理念進行科學教育》一書中首次提出。目前，大概念已經超越了科學教育邊界，成為一種具有學科教學普遍意義的重要概念。一般來說，大概念往往概括知識的抽象意義，蘊含著知識的重要思想方法，能促進數學知識的生成、生長和生發。作為教師，要立足于大視野，運用大融合、大協調的策略，提煉、抽象、應用大概念，讓大概念進行大聚焦、大統整，從而發揮出大概念的應有效能。

一、運用“大概念”可以做什么

運用數學大概念，我們要思考和實踐好兩個問題：其一是運用大概念可以“做什么”？其二是“怎樣用”大概念？大概念教學往往是主題化的，能建構數學知識結構，能確定教學主線、脈絡，確定主題教學目標、內容等。大概念具有邏輯結構性、情境遷移性和延續持久性等的特質。作為教師，要充分運用大概念，進行整體性教學、結構性教學、系統性教學等。

1. 用“大概念”建構知識框架

數學知識從整體上看就是一種結構、系統。在小學數學教學中，教師應該用大概念來建構知識框架。搭建知識框架，一般有兩種意義、功能和作用，其一是解釋性的功能框架，其二是應用性的功能框架。在整體性的知識框架中，大概念往往位于中心、核心、關鍵、節點之處。教學中，教師要立足于學科整體高度，研發大概念，讓學生通過大概念能自主地搭建知識框架。比如，用“相同計數單位”這一大概念，能統合“整數加減法”“小數加減法”和“分數加減法”等相關內容，從而建構“數的加減法”的知識框架，將“整數加減法法則”“小數加減法法則”和“分數加減法法則”融合其中。

2. 用“大概念”厘清學習脈絡

在數學知識結構之中，教師可以用大概念來確定學習脈絡、主線等，從而有效地引導學生的數學學習。在數學學科中，有些大概念應當貫穿板塊學科知識的始終。比如“底面周長乘高”這一組合性的關系大概念應當貫穿于直柱體側面積學習的始終;“底面積乘高”應當貫穿于直柱體體積學習的始終;比如“計數單位”這一大概念應當貫穿于數的認識（包括整數、小數和分數）的學習始終，等等。在學生數學學習之中，大概念往往發揮著支撐性、紐帶性、橋梁性的作用。教學中，教師應當對大概念進行意義賦予、意義豐盈，從而能讓大概念廣泛應用于相關內容的領域。

3. 用“大概念”確定主題內容

在數學教學中，教師還可以應用大概念進行主題教學，從而進行相關內容的開發。一般來說，大概念更適合于單元教學設計或者跨單元、跨級教學設計。有時候，大概念既能統攝連續性的教學內容，又能統攝非連續性的教學內容。在足夠寬泛的內容范疇內，大概念能將看似沒有實質性關聯的內容統合起來。借助于大概念，能體現其進階建構的價值。比如教學《分數、小數和百分數的互化》（蘇教版六年級上冊）之后，筆者用“因數2、5”大概念，設計、研發了《一個分數能化成怎樣的小數》的主題課，從而消除了學生對“怎樣的分數能化成有限小數”的疑問，同時能讓學生快速判定一個分數能化成怎樣的小數;同時，運用“交相減法”的方法大概念設計、研發了《循環小數與分數》的主題課，從而讓學生認識、理解到“循環小數能不能化成分數”“循環小數怎樣化成分數”的操作難題。從某種意義上說，大概念統攝的內容越不連續，就越能體現大概念的組織力。

二、數學教學中怎樣運用“大概念”

在數學教學中，我們應當以“大概念”為抓手，引領學生進行上位學習。作為教師，可以以大概念為抓手、以大概念為錨點、以大概念為經絡，聚焦學生學習方向，優化學生學習路徑，引導學生進行學習梳理，從而讓學生的數學學習更富有深度、更高效。大概念統攝下的數學教學，要以學生為中心，賦予學生充分的思考、探究時空，賦予學生數學學習的自主權力。通過大概念學習，發展學生的高階思維，催生學生的高階認知，進而有效地提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。

1. 以大概念為抓手，聚焦學生學習方向

小學數學課堂教學任務是多樣的。教學中，教師可以運用大概念，將復雜的任務簡約化。以大概念為抓手，將復雜性的任務分解成主任務、大任務。在這里，大概念發揮著聚焦教學方向的意義和作用。比如教學《運算律》這一部分內容，筆者秉持“猜想——驗證”的探究方法思路，引導學生學習“加法交換律”“加法結合律”“乘法交換律”“乘法結合律”和“乘法分配律”。教學中，以方法大概念為抓手，將相關的教學內容進行整合，比如將“加法交換律”和“乘法交換律”整合成“交換律”;將“加法結合律”和“乘法結合律”整合成“結合律”。在教學中，通過不同的知識地推導，能讓學生感受、體驗到“猜想——驗證”這一不完全歸納方法的使用。相比較于知識大概念，方法大概念更具有啟發性、遷移性意義和價值。在小學數學教學中，以大概念為抓手，能有效地聚焦教學方向。

2. 以大概念為錨點，優化學生學習路徑

大概念之于學生的數學學習，不僅具有聚焦教學方向的作用，更具有優化學習路徑的作用。在數學教學中，大概念可以有效地驅動學生的數學學習。圍繞大概念，教師可以引導學生選擇學習路徑，從而讓學生經歷更為豐富的數學猜想、推理、驗證、探究等的豐富的學習過程。教學中，教師可以大概念為錨點，引導學生基于經驗，完成對數學知識的自主建構。比如教學《分數乘法應用題》和《分數除法應用題》，教師就應當引導學生緊緊抓住單位“1”的量，把握單位“1”的量是已知還是未知，把握分率和具體數量之間的對應關系，就能優化學生的學習路徑。在學習中，教師可以輔之以線段圖、輔之以寫等量關系等，引導學生分析問題、解決問題。以單位“1”的量為錨點，能促進學生對分數應用題的分析，深化學生對分數應用題的認知，讓學生自主解決問題。在數學教學中，教師還可以引導學生運用大概念對具體問題進行聚類、歸類分析，從而深化學生的認知，促進學生的問題解決。

3. 以大概念為經絡，引導學生學習梳理

大概念是數學知識結構中的關鍵節點，把握好大概念，以大概念為經絡，能引導學生進行學習梳理。在小學數學教學中，教師要利用大概念，引導學生反思、總結，對學生的數學學習進行反饋、總結、梳理，從而引導學生建構數學知識結構，完善學生的數學認知結構。比如教學《長方體和正方體》（蘇教版六年級上冊）這一單元之后，筆者以“特征”“棱長總和”“面積”“體積”等四個大概念，將長方體和正方體單元所要學習的內容進行提綱挈領地梳理，進而引導學生借助于大概念來理解、認識、解決具體問題。以“面積”大概念為例，筆者讓學生掌握底面積、側面積、表面積、材料用量等相關概念。以大概念為經脈，引導學生對數學知識進行橫向勾連和縱向拓展，從而讓學生圍繞大概念分層建構，形成數學知識結構和認知結構。

德國著名數學家菲利克斯·克萊因在《高觀點下的初等數學》中深刻指出：“數學教師應具有較高的數學觀點，觀點越高，事物就越顯得簡單。”在小學數學教學中，大概念位于“數學課程學習中心”，蘊含著“核心知識概念、數學方法模型和數學學科大圖景”。站在“大概念”的視角，對數學教學進行整體謀劃，能讓教師占領數學學科教學制高點。要自覺地抽象、提煉、把握知識大概念、方法大概念、關系大概念，從而讓大概念真正成為學生數學學習的有效載體。在數學教學中，大概念不僅具有本體性數學價值，更具有工具性教學價值。