利用“量與率對應關系式”巧解分率應用題

崔偉 李明煜

[摘 要]在小學分率應用題教學中，教師的“教”與學生的“學”都存在著一定難度，究其原因，首先是教師授課語言受教學內容限制，不能做到生動形象，更無法直觀展示，致使學生理解學習內容有障礙;其次是小學生抽象思維還不完善，在分析理解題意時容易出現偏差;最后是其題型多變，包羅萬象，有相當多的學生不能夠熟練發現其內在聯系及規律，造成列式困難，直接導致計算結果不正確。通過利用“量與率對應關系式”輔助解答各類分率應用題，可操作性強，目的性明確，做到了對癥下藥。

[關鍵詞]分率應用;比較量;標準量;解題方法

分率應用題在人教版小學數學教材中設計了四處，分別是六年級上冊第一章“分數乘法”和六年級上冊第三章“分數除法”，以及六年級上冊第六章“百分數（一）”和六年級下冊第二章“百分數（二）”。分率應用題是小學數學教學難點中的難點，盡管這些章節中的習題設計都符合課標中“學生能體會數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考”的要求，十分貼近生活實際，但由于六年級學生年齡小，感性認識還不夠豐富，抽象思維能力還未最終形成，同時在生活實際中也很少接觸到，學生對這些問題感到十分陌生，很難正確理解題意，最突出的問題就是經常將“單位一”確定錯誤，直接導致列式錯誤，得到的答案也是錯誤的。利用“量與率對應關系式”能避免這一錯誤，巧解分率應用題。

一、小學生解答分率應用題時存在的問題

小學生是在學習分數乘法時接觸到有關分率應用題的，此時他們了解了怎樣確定“單位一”，學會了畫線段圖，知道了“求一個數幾分之幾是多少，用乘法”這一概念。接著在學習分數除法時明白了“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數是求一個數幾分之幾時多少的逆運算，用除法解答”這一規則。最后，在學習百分數時能夠感悟這兩個運算規則對百分數應用題同樣適用。他們在解答分率應用題時遇到的主要困難有：其一是比較復雜的應用題中難以確定“單位一”，而“單位一”確定不準確直接會導致學生列式不正確;其二是無法明確已知條件中給出的數量與分率之間對應關系。以上兩個學習難點中，難點一的難度要高于難點二，因為學生可以借助線段圖基本弄明白題目中數量與分率之間的對應關系，而對于題目中“單位一”是呈變化狀態的情況學生就不容易區分清楚。例如：一列火車的速度是180千米/小時，一輛小汽車的速度是這列火車的5/9，是一架噴氣式飛機速度的1/9，這架飛機的速度是多少？解這道分率應用題，第一步求小汽車的速度，火車速度是“單位一”;第二步求飛機的速度，飛機的速度是“單位一”。題中的“單位一”呈變化狀態，對中等學習能力以下的學生而言，分別確定兩次計算過程中那個數量是“單位一”著實困難。“單位一”確定不清，學生就無法明確這是一道求一個數的幾分之幾是多少的習題，還是已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數的習題。而利用“量與率相對應關系式”解答類似應用題，不但針對性極強，非常容易操作，而且學生的解答正確率也非常高。

二、分率應用題中的“量與率”的對應關系

（一）分率應用題中的“量”如何分類

其實，分率應用題的知識框架中，題目中給出的數量本質上只有兩類，我們可以分別稱之為“比較量”和“標準量”。“標準量”是作為基準的那個數量，也就是我們常說的“單位一”，而“比較量”就是與“標準量”進行對照比較的那個數量。

（二）分率應用題中“量與率”存在何種關系

“比較量”與“標準量”之間有這樣一種關系式：“比較量÷標準量=分率”。我們可以通過演示具體了解，例如：5比4多幾分之幾這個問題中，教師可以引導學生這樣理解題意：用5比4多的部分同4作比較，5比4多的部分是比較量，4是標準量，得到的答案1/4就是分率，代表了5比4多四分之一。同理，4比5少幾分之幾這個問題中，題意就是用4比5少的部分同5作比較，4比5少的部分是比較量，5是標準量，得到的答案1/5就是分率，它代表了4比5少五分之一。

（三）利用除法關系式理解“量與率”之間的兩種變換關系

在“比較量÷標準量=分率”這個關系式中，比較量相當于被除數，標準量相當于除數，分率相當于商。在除法關系式中，被除數=商×除數，除數=被除數÷商，利用以上兩個關系式，可以比較容易得出：比較量=分率×標準量，標準量=比較量÷分率。直白地講：求比較量是多少的應用題，就是“求一個數的幾分之幾是多少”的問題;求標準量是多少的應用題，就是“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”的問題。

三、利用“量與率相對應關系式”解答分率應用題的策略

（一）利用“量與率相對應關系式”解答分率應用題優化解題過程

比較分數乘法、分數除法應用題與“量與率相對應關系”的知識架構，我們會發現“量與率相對應關系”的知識點通俗淺顯，脈絡清晰，目的性強，學生易于接受并掌握，實施操作也簡單易行，具有傳統教法無法比擬的優越性。以上述求飛機速度的應用題為例，先求小汽車的速度，小汽車的速度是火車速度的5/9，小汽車的速度是比較量，火車的速度是標準量，小汽車的速度=小汽車速度對應的分率（5/9）×火車的速度;再求飛機的速度，小汽車的速度是比較量，飛機的速度是標準量，飛機的速度=小汽車的速度÷小汽車速度所對應的分率（1/9）。利用以上方式分析解決問題，學生能夠快速抓住要點并正確列出算式，為后期的計算正確提供有力的保障。

（二）利用“量與率相對應關系式”解答分率應用題容易出現的弊端

當然，自然界中任何事物都具有兩面性。利用“量與率相對應關系式”解答小學分率應用題確有獨到之處，但其自身也存在著顯著缺陷。即容易固化學生思維，不利于培養學生深度思考的習慣。找出分率應用題中的比較量與標準量比確定“單位一”容易，利用“量與率相對應關系式”列出綜合算式比畫線段圖分析問題快捷節省時間，有了規律可循，小學生自然不愿意勞心費神地思考分析，忽略了親歷探究，不利于學生發散思維的培養。

（三）利用“量與率相對應關系式”解答分率應用題揚長避短

首先，教師心中要明確“量與率相對應關系式”絕不是解決分率應用題唯一的方法，更不是包治百病的靈丹妙藥，它只是解決分率應用題的一種輔助手段。教學這部分內容時一定要以教材為主，讓學生先系統了解分率問題的知識點與習題類型，只有當學生學習遇到瓶頸時，才開始向學生滲透“量與率相對應關系”，這樣才會有醍醐灌頂、茅塞頓開的效果。要特別注意學習的順序，一定要先學習教材所給出的解決問題的方法，再讓學生接觸“量與率相對應關系式”，以免給學生造成先入為主的第一印象。合適的契機應該在學習分數除法應用題時最佳。過早接觸，容易造成學生放棄思考走捷徑;滯后接觸，容易致使學生在較難的習題面前產生畏懼，降低學習興趣，失去學習動力。此外，教師應該對所教班級的學生能力水平了然于胸，針對不同能力水平的學生分別提出不同水平的要求。如對學習成績優異的學生，要求學生在列式前注釋自己是怎樣理解題意的;對中等能力水平的學生而言，要求他們在列綜合算式前必須附上清晰標準的線段圖;最后，針對學習熱情不高的學生，要求他們列分步算式解答分率應用題，盡量保證他們每一步的算式列式正確，為解答正確打下基礎，力爭做到少丟分或不丟分。這樣，堅持以教材為主，利用“兩條腿走路”，教師在傳授知識的同時，兼顧培養學生“探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性”這一課標中的要求。

數學知識是人類經過漫長又曲折的探索過程建構起來的，它的依據必須都是科學嚴謹的。雖然利用“量與率對應關系式”解答分率應用題經我個人驗證頗有成效，也希望有更多的同事借鑒后在教學實際中應用，共同探索其可行性，發現其規律性，論證其科學性，完善其合理性，在求同存異的基礎上將其歸納充實，集思廣益，補齊短板，形成有科學依據的理論，從而更好地指導教育教學活動。

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（責任編輯 付淑霞）