巧用數學方法解決物理問題

林東貴

【摘要】物理學中的數學方法是物理思維和數學思維高度融合的產物，借助數學方法可以使一些復雜的物理問題顯示出明顯的規律性，達到快速簡捷地解決問題的目的。高考物理試題的求解過程離不開數學知識和方法的應用，隨著近幾年全國卷物理高考對數學要求越來越高，讓學生掌握必備的數學物理方法勢在必行。

【關鍵詞】數學方法;解決;物理問題

數學方法在物理解題中的應用是非常普遍的，從近幾年的高考可以看出，明顯加強了數學方法解決物理問題的考查。我們在物理教學中不僅要培養學生的基本運算能力，同時也要學生掌握幾種常見的數學方法。例如，通過圖像提取物理信息，函數求極值，不等式求極值，幾何法分析三力平衡等。下面筆者談談幾種常見的數學方法在物理解題中的應用。

一、用圖像法解決物理問題。

圖像在解決物理問題中經常用到，比如，運動學里面的V-t圖，S-t圖，a-t圖等。電學實驗中經常使用到U-I圖，我們通過圖像可以直觀地得出物理規律。一些復雜的物理問題很快就可以迎刃而解。比如通過V-t圖分析追及相遇問題，使多次相遇問題可以通過圖像直觀展現出來。

教學案例1用圖像法解決交變電場問題。

例1.如圖1（a）所示，兩平行正對的金屬板A、B間加有如圖（b）所示的交變電壓，一重力可忽略不計的帶正電粒子被固定在兩板的正中間P處。若在t0時刻釋放該粒子，粒子會時而向A板運動，時而向B板運動，并最終打在A板上則t0可能屬于的時間段是（）

問題分析，此題是一道交變電場題，如果按照常規思維則學生會去研究粒子的具體運動過程，但是題目沒有給出明確的釋放粒子時刻，因此沒法分析粒子具體的運動過程。我們如果畫出某些特殊時刻開始釋放粒子的V-t圖，我們就可以直觀地看出圖像是如何變化的。

具體解題過程如下：設粒子的速度方向、位移方向向右為正，依題意知，粒子的速度方向時而為正，時而為負，最終打在A板上時位移為負，速度方向為負。分別作出t0=0、、、時粒子運動的V-t圖象，如圖2所示，由于v-t圖線與時間軸所圍面積表示粒子通過的位移，則由圖象知，0T時情況類似。因粒子最終打在A板上，則要求粒子在每個周期內的總位移應小于零，對照各項可知B正確。

二、用數學函數解決物理極值問題

1.用二次函數求某些物理量的最值

教學案例2 用二次函數求極值解決平拋水平距離最大問題。

例2.如圖3，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與地面垂直，一小物塊以速度v從軌道下端滑入軌道，并從軌道上端水平飛出，小物塊落地點到軌道下端的距離與軌道半徑有關，此距離最大時，對應的軌道半徑為（重力加速度大小為g）（）

問題分析，此題是2017年全國高考II卷的第17題，屬于豎直方向上的圓周運動與平拋運動結合求平拋運動水平最大距離綜合問題。解決此題主要是寫出平拋水平距離的表達式，寫出表達式x=2會發現更好里面是個關于半徑r的二次函數，當當r= 對稱軸時，x最大。

具體解題過程如下：小物塊由最低點到最高點的過程，由機械能守恒定律得mv2=2mgr+mv12，小物塊做平拋運動時，落地點到軌道下端的距離x=v1t，t=2，聯立解得，x=2，

由數學知識可知，當r = 時，x最大，故選項B正確。

2.用三角函數解決物理極值問題

例4.如圖4所示，一質量m=0.4 kg的小物塊，在與斜面成某一夾角的拉力F作用下，沿斜面向上做勻加速運動，經t=2 s的時間物塊由A點運動到B點，物塊在A點的速度為v0=2 m/s，A、B之間的距離L=10 m.已知斜面傾角θ=30°，物塊與斜面之間的動摩擦因數μ=，重力加速度g取10 m/s2 .

（1）求物塊加速度的大小及到達B點時速度的大小。

（2）拉力F與斜面夾角多大時，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

問題分析，本題中第二問如果用三角函數的輔助角公式就可以很好第求出拉力F的最小值。因為是沿斜面勻加速向上運動，根據牛頓第二定律列出有關F的方程，結合垂直斜面方向的力的平衡方程。然后得到拉力F與夾角ɑ（ɑ為拉力F與斜面的夾角）關系。最后問題就可以輕易解決了。

具體解題過程如下（1）設物塊加速度的大小為a，到達B點時速度的大小為v，由運動學公式得

①

②

聯立①②式，代入數據得

a=3 m/s2 ③

v=8 m/s ④

（2）設物塊所受支持力為FN，所受摩擦力為Ff，拉力與斜面的夾角為α，受力分析如圖所示，由牛頓第二定律得

Fcos α-mgsin θ-Ff=ma ⑤

Fsin α+FN-mgcos θ=0 ⑥

又Ff=μFN ? ? ? ? ? ? ? ? ⑦

聯立⑤⑥⑦式得

F=? ? ? ⑧

由數學知識得cos α+sin α=sin（60o+α） ⑨

由⑧⑨式可知對應F最小時與斜面間的夾角α=30° ⑩

聯立③⑧⑩式，代入數據得F的最小值為Fmin=N

三、用幾何法解決物理問題

例5.如圖9所示，質量均可忽略的輕繩與輕桿，A端用鉸鏈固定，滑輪在A點正上方（滑輪大小及摩擦均可不計），B端吊一重物。現將繩的一端拴在桿的B端，用拉力F將B端緩慢上拉，在AB桿達到豎直前（）

A.繩子拉力不變? ? ? ?B.繩子拉力減小

C.AB桿受力增大? ? ? D.AB桿受力不變

問題分析，此題是高中物理教學中常用例子，此類問題有一個共同點是總數有個力繞某支點在轉動，比如，某小球在某圓表面緩慢沿圓弧移動。往往通過與受力相似的三角形邊長變化確定受力三角形各力的變化情況。

具體解題過程如下：以B點為研究對象，分析受力情況：重物的拉力FT1（等于重物的重力G）、輕桿的支持力FN和繩子的拉力FT2，作出受力圖如圖所示：

由平衡條件得，FN和FT2的合力與FT1大小相等、方向相反，根據三角形相似可得：

又F=FT2

解得：FN=·G，F=·G

∠BAO緩慢變小時，AB、AO保持不變，BO變小，則FN保持不變，F變小。故選項B、D正確。

總之，物理與數學存在著緊密的聯系，隨著數學方法在高中物理的廣泛應用。巧用數學方法解決物理問題有助于革新物理教學理念，更有利于新高考的備考。

參考文獻：

[1]漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程力學（第二版）[M].高等教育出版社，2012.

責任編輯? 鐘春雪