建模思想下的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)

倪明慧

【摘要】數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的核心所在，也是進行計算、論證、判斷與推理的基本依據(jù)，還是構(gòu)建數(shù)學(xué)定理、公式與法則的基礎(chǔ)。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，理解概念是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的前提。教師可從建模思想視角切入，優(yōu)化與創(chuàng)新概念教學(xué)的方式，幫助學(xué)生牢固掌握概念。

【關(guān)鍵詞】建模思想;初中數(shù)學(xué);概念教學(xué)

概念在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著異常重要的地位，是學(xué)生學(xué)習(xí)、思考和運算的基礎(chǔ)。建模思想是運用數(shù)學(xué)建模去解決問題的思想，本質(zhì)是培養(yǎng)學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識解決實際生活問題的能力。在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師可以建模思想為導(dǎo)向制定教學(xué)方案與課堂規(guī)劃，帶領(lǐng)學(xué)生分析數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，使其在輕松、愉悅的環(huán)境中透徹理解數(shù)學(xué)概念。

一、創(chuàng)設(shè)概念教學(xué)情境，提供優(yōu)質(zhì)建模環(huán)境

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要想在建模思想下開展概念教學(xué)，教師首先需善于創(chuàng)設(shè)良好的概念教學(xué)情境，將抽象的數(shù)學(xué)概念同直觀或生動的事物建立聯(lián)系，為學(xué)生提供優(yōu)質(zhì)的建模環(huán)境，讓他們在情境中建立數(shù)學(xué)模型，推動數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。初中數(shù)學(xué)教師在概念教學(xué)中應(yīng)當借助實物、道具、模型或信息技術(shù)手段，再搭配語言描述創(chuàng)設(shè)情境，在情境中引出數(shù)學(xué)概念，煥發(fā)學(xué)生的感性認知，使其通過觀察和分析建構(gòu)模型，高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念。

例如在“正數(shù)與負數(shù)”概念教學(xué)中，教師先用多媒體課件展示生活中出現(xiàn)負數(shù)的一些地方，如氣溫零下5攝氏度、存折取款、地下停車場、吐魯番盆地的海拔等，據(jù)此創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，組織學(xué)生討論問題：“你們能解釋這些陌生數(shù)字的意義嗎？生活中哪些地方還見過這些陌生數(shù)字？”使學(xué)生結(jié)合個人認知自由交流，初步建立數(shù)學(xué)模型，指出這種新的數(shù)叫負數(shù)，從而引出新課。接著，教師列出課件中的負數(shù)，引領(lǐng)學(xué)生思考這些數(shù)的形式與小學(xué)時期學(xué)過的數(shù)有什么區(qū)別，學(xué)生分組交流、討論，并派代表匯報結(jié)果，講解正數(shù)與負數(shù)的概念。教師適時加以說明：“有時在正數(shù)前面也加‘+號，像+1、+5、+0.9等等，也就是1、5、0.9，這個‘+叫作性質(zhì)符號。”然后讓學(xué)生模仿介紹負數(shù)。隨后讓學(xué)生討論：有沒有一種既不是正數(shù)也不是負數(shù)的數(shù)？學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個數(shù)是0，是正數(shù)與負數(shù)的分界。

在上述案例中，教師結(jié)合現(xiàn)實創(chuàng)設(shè)出直觀的教學(xué)情境，提供建立數(shù)學(xué)模型的良好環(huán)境，引領(lǐng)學(xué)生從生活實例中得出正數(shù)與負數(shù)的概念，順利構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

二、結(jié)合素材建立模型，輔助學(xué)生理解概念

數(shù)學(xué)模型一般是用數(shù)學(xué)語言、符號、數(shù)量關(guān)系或圖形來呈現(xiàn)的，具有精確性、直觀性和簡潔性等特點。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型離不開素材的輔助，只有在素材支持下才能夠順利建立理想的模型。在建模思想下的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合具體概念提供一系列素材，要求學(xué)生認真觀察和研究，找出素材中隱含的數(shù)學(xué)信息，提出要研究的問題，使其認識到新知識產(chǎn)生的背景以及學(xué)習(xí)新知識的必要性，讓他們自覺主動地參與到模型建立中，輔助對概念的理解。

比如在展開“相反數(shù)”概念教學(xué)時，教師隨機挑選一名學(xué)生上臺演示“先向前走5步，再向后走5步”然后提出問題：“如果向前為正，向后為負，向前走5步向后5步各記作什么？”學(xué)生口答：“向前是+5，向后是-5。”然后要求學(xué)生在數(shù)軸上標出這一對數(shù)，并增加“3和-3”“-1.5與1.5”這兩組數(shù)，思考：“在數(shù)軸上，表示每對數(shù)的點有什么異同？”觀察每組數(shù)所對應(yīng)的兩個點的位置關(guān)系，使學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)互為相反數(shù)的規(guī)律。教師繼續(xù)提出問題：“數(shù)軸上與原點的距離是2的點有幾個？這些點表示的數(shù)分別是什么？5呢？”在學(xué)生回答后，教師總結(jié)：“每組中的兩個數(shù)只有符號不同，它們所對應(yīng)的兩點分別在原點兩側(cè)，到原點的距離相等。”讓學(xué)生從代數(shù)與幾何兩個視角歸納出相反數(shù)的概念。隨后教師組織學(xué)生辨析：絕對值相等、符號不同的兩個數(shù)叫作互為相反數(shù);2.5是-2.5的相反數(shù);1與-1互為相反數(shù)，使學(xué)生進一步熟悉相反數(shù)的概念。

教師通過現(xiàn)場演示的方式提供素材，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生動、真實的素材建立數(shù)學(xué)模型，輔助理解相反數(shù)的概念，使學(xué)生結(jié)合數(shù)軸發(fā)現(xiàn)相反數(shù)的代數(shù)定義和幾何定義的一致性。

三、靈活引用生活資源，促進學(xué)生總結(jié)概念

建模思想的運用其實就是建立數(shù)學(xué)模型，屬于數(shù)學(xué)思考方法的一種，是一個觀察、思考、歸類、抽象與總結(jié)的過程，也是一個捕捉、篩選和整理信息的過程，更是一個思想和方法產(chǎn)生與選擇的過程。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念的形成不是一次實現(xiàn)的，要從經(jīng)過多個層次的比較、分析和綜合。教師需根據(jù)不同概念靈活引用生活中的一些資源，引領(lǐng)學(xué)生先獨立思考，再合作探究，且給予實時點撥與引導(dǎo)，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)概念進行總結(jié)。

比如在進行“平行線”概念教學(xué)時，教師先在多媒體課件中出示以下實物圖片：雙杠、跑道、高壓電線、鐵軌和公路標線等，引領(lǐng)學(xué)生從生活資源中提取素材，將圖片中的直線抽象出來畫到練習(xí)紙上，建立數(shù)學(xué)模型，并討論：“這幾組直線有什么共同點？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)這幾組直線向兩端延伸后也不會相交，揭示出“平行”的概念。接著，教師要求學(xué)生每人拿出兩支筆表示直線，提問：“這兩條直線之間存在哪些位置關(guān)系？”讓學(xué)生把得到的結(jié)論用幾何圖形畫出來，即重合、相交和不相交三種。設(shè)問：“這三種位置關(guān)系假如用兩條直線的交點個數(shù)來表示，分別是幾個交點？”學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)分別是無數(shù)個、一個與沒有。之后，教師講解：“對兩條直線相交的情況以及三條直線相交的情況大家都已進行過研究，下面就要開始研究兩條直線沒有交點的情況，這樣的兩條直線叫作平行線。”讓學(xué)生回過頭來，結(jié)合多媒體資源總結(jié)出平行線的概念。

如此，教師靈活引入生活中的實例，將抽象、陌生的數(shù)學(xué)知識變得具體、熟悉，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察圖片總結(jié)出平行線的概念，使其深化理解，并培養(yǎng)學(xué)生從反面思考問題的能力。

四、組織學(xué)生探究概念，主動建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

概念是人類在認識過程中從感性認識上升到理性認識，把所感知事物的共同本質(zhì)特點抽象出來加以概括，是自我認知意識的一種表達，形成概念式思維慣性。在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，為落實建模思想，教師準備好素材以后，要組織學(xué)生認真探究數(shù)學(xué)概念的形成過程，除傳統(tǒng)的動腦思考以外，還需加入動手操作與動口交流，使學(xué)生在腦、手、口相互配合中主動建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，借此培養(yǎng)學(xué)生的抽象、概括與創(chuàng)新能力。

以“三角形”相關(guān)概念教學(xué)為例，教師先拿出教具三角板，談話導(dǎo)入：“這是什么？它是什么形狀？”學(xué)生一邊觀察，一邊結(jié)合課本中的插圖思考，并找出插圖中的三角形。教師詢問：“生活中你們還在哪些地方看到過三角形？”預(yù)設(shè)晾衣架、路標、太陽能支架、屋頂、三腳架、三明治和三角鐵等，讓學(xué)生結(jié)合生活實例回顧和深入認識三角形的概念。接著，教師提問：“什么叫角平分線？怎么畫一個角的平分線？”引領(lǐng)學(xué)生任意畫一個角及其角平分線，然后遷移至三角形中，畫出三角形的角平分線，讓學(xué)生得出三角形角平分線的概念。之后，教師要求學(xué)生畫出一個△ABC，分別找出AB邊上的中點D，BC邊上的中點E，AC邊上的中點F，分別連接CD、AE和BF，引出三角形中線的概念，即三角形頂點與它對邊中點的連線，再過三角形頂點作對邊的垂線，揭示三角形高的概念——垂足與頂點間的線段。

上述案例中，教師精心設(shè)計教學(xué)流程，為學(xué)生提供大量動手操作、動腦思考與動口交流的機會，使學(xué)生積極探究三角形及其平分線、中線與高的概念，主動建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

五、利用概念解決問題，拓展應(yīng)用建模思想

數(shù)學(xué)來源于生活，又為生活提供服務(wù)。在建模思想下，不僅可以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，而且能夠運用所建立的數(shù)學(xué)模型來解決現(xiàn)實生活中的問題，讓學(xué)生充分體會到數(shù)學(xué)概念的實用性及建模思想的應(yīng)用價值，通過解題深入理解數(shù)學(xué)概念。對此，初中數(shù)學(xué)教師在概念教學(xué)中，在學(xué)生結(jié)合建模思想經(jīng)歷概念形成的探索過程以后，可以圍繞數(shù)學(xué)概念設(shè)計一些生活化問題，使學(xué)生依據(jù)建模思想建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，加深對數(shù)學(xué)概念與建模思想的認識。

例如在“一次函數(shù)”概念的教學(xué)過程中，教師先帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)一次函數(shù)的概念，使其知道一次函數(shù)與正比例函數(shù)的意義，能寫出實際問題中正比例關(guān)系與一次函數(shù)關(guān)系的解析式，理解與掌握一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念。之后，教師可以設(shè)置一些簡單的生活應(yīng)用題，如：“（1）某市為鼓勵節(jié)約用水，按照以下規(guī)定收水費，每戶每月用水量不超過5立方米時，每立方米水費為2.5元，當用水量超過5立方米時，則超出部分每立方米的水費是3元，設(shè)某戶一個月所交水費為y（元），用水量為x（立方米），寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;（2）某人在銀行存入本金1000元，月利率是0.3%，求本息和（本金與利息的和）y（元）與所存月數(shù)x之間的函數(shù)解析式，并求出15個月后的本息和。”為學(xué)生提供運用一次函數(shù)概念解決問題的機會，使學(xué)生運用所學(xué)知識建立相應(yīng)的函數(shù)模式，從而順利解答題目。

針對上述案例，教師結(jié)合一次函數(shù)的概念設(shè)計題目，幫助學(xué)生深刻理解一次函數(shù)的概念及相關(guān)知識，使他們學(xué)會靈活運用變量關(guān)系解決相關(guān)實際問題，拓展建模思想的應(yīng)用空間。

總之，在建模思想下的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師需突破以往教學(xué)模式的局限，不斷探索和創(chuàng)新概念教學(xué)方法，全面滲透建模思想，增進數(shù)學(xué)概念與實際生活之間的關(guān)系，在直觀和抽象之間搭建橋梁，讓學(xué)生主動分析、探究和建立數(shù)學(xué)模型，真正理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵。

【參考文獻】

杜成智.數(shù)學(xué)理解在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運用[J].教學(xué)與管理，2019（10）：45-47.

何瑞.基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)探究[J].科學(xué)咨詢（科技·管理），2020（01）：229.

唐玉潔.新課程標準下的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)[J].華夏教師，2020（09）：38-39.