半無限柱形區(qū)域中相互作用的Fochheimer流與Darcy流的空間衰減估計(jì)

歐陽柏平，李遠(yuǎn)飛

（廣州華商學(xué)院數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州511300）

0 引 言

Saint-Venant原理指出，如果流入管道或通道無限端的凈流量在任何時(shí)間均為零，當(dāng)距離由有限趨于無限時(shí)，流速也趨于零。早期的Saint-Venant原理主要集中于有關(guān)橢圓方程的邊值問題。1956年，BOLEY［1］首先指出Saint-Venant原理對(duì)熱方程的重要性，并對(duì)拋物方程進(jìn)行了廣泛研究。Saint-Venant原理相關(guān)進(jìn)展可參見文獻(xiàn)［2］。

近年來，有關(guān)多孔介質(zhì)模型方程解的性態(tài)研究備受關(guān)注，研究主要集中于Brinkman，Darcy，F(xiàn)orchheimer和Brinkman-Forchheimer等方程，以及多孔介質(zhì)中模型解的性態(tài)。文獻(xiàn)［3-4］以單方程組為研究對(duì)象，研究其空間衰減估計(jì)。實(shí)際上，同一區(qū)域中可能存在2個(gè)或多個(gè)方程，且這些方程之間存在相互作用，導(dǎo)致研究難度增加。AMES等［5］研究了在合適的界面條件下相互作用的多孔介質(zhì)方程組與黏性流體方程組解的加權(quán)能量函數(shù)的指數(shù)衰減估計(jì)，得到了空間衰減估計(jì)結(jié)果。除該研究外，基本無文獻(xiàn)涉及同一區(qū)域中2種或多種相互作用的流體方程組解的空間衰減估計(jì)研究。也有一些文獻(xiàn)考慮了Brinkman，Darcy類方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，如文獻(xiàn)［6-7］研究了Brinkman-Forchheimer方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性；文獻(xiàn)［8］通過添加溶解度，得到了結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的相關(guān)結(jié)果。但上述研究?jī)H考慮有界區(qū)域中單個(gè)方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［9-10］討論了2個(gè)相互作用方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。受這些文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文繼續(xù)研究2個(gè)相互作用方程組解的空間衰減估計(jì)，將有界區(qū)域推廣至無界區(qū)域。因無界區(qū)域?qū)毫?xiàng)的處理較困難，為此，較文獻(xiàn)［5］增加了非線性項(xiàng)b|u|ui，由于非線性項(xiàng)的處理更復(fù)雜，此時(shí)，文獻(xiàn)［5］的二階微分不等式方法不再適用，須采用新的方法解決此問題。因此，如何處理非線性項(xiàng)是本文的重點(diǎn)和特色。其他關(guān)于Darcy，F(xiàn)orchheimer和Brinkman-Forchheimer方程的研究參見文獻(xiàn)［11-15］。

設(shè)Ω=Ω1∪Ω2表示半無限柱體的內(nèi)部，母軸線平行于x3，x1x3平面以上部分，即x2>0部分用Ω1表示，x1x3平面以下部分，即x2<0部分用Ω2表示，L表示Ω1和Ω2的交界面。在平面x3=0上，Ω1是有界的，其側(cè)面用Γ1表示。同樣，在平面x3=0上，Ω2是有界的，其側(cè)面用Γ2表示。定義

其中，D1和D2分別表示Ω1和Ω2的橫截面。由此可得，在Ω1中，x2>0；在Ω2中，x2<0。假設(shè)流體在Ω1中由依賴于溫度的Forchheimer流體方程控制，在Ω2中由依賴于溫度的Darcy流體方程控制。設(shè)(ui，T，p)和(vi，S，q)分別表示Ω1×{t>0}和Ω2×{t>0}上的流速、溫度、壓強(qiáng)，則Ω1×{t>0}上多孔介質(zhì)的Forchheimer流體方程組為［4］

其中，b，γ為正常數(shù)，gi表示引力場(chǎng)，k表示流體（1）的熱擴(kuò)散系數(shù)。不失一般性，假設(shè)|g|≤1，則Ω2×{t>0}上多孔介質(zhì)的Darcy流體方程組為

本文的目的是構(gòu)造加權(quán)能量表達(dá)式，得到一階偏微分不等式，最終得到解的空間指數(shù)衰減估計(jì)。

本文中，逗號(hào)表示求偏導(dǎo)數(shù)，下標(biāo)，k表示對(duì)xk求偏導(dǎo)數(shù)，如u，k表示重復(fù)英文下標(biāo)表示從1到3求和，重復(fù)希臘文下標(biāo)表示從1到2求和。例如，

1 加權(quán)的能量表達(dá)式

2 空間衰減估計(jì)

研究了多孔介質(zhì)中二類相互作用的流體方程組解的空間性態(tài)，得到解的空間衰減估計(jì)。證明Saint-Venant原理適用于相互作用的流體方程組，且所用方法也適用于Darcy，F(xiàn)orchheimer和Brinkman-Forchheimer方程組。后續(xù)可繼續(xù)研究無界區(qū)域解的性態(tài)，嘗試將Forchheimer方程換成Navier-Stokes方程。由于Navier-Stokes方程的非線性項(xiàng)更復(fù)雜，構(gòu)造的微分不等式會(huì)出現(xiàn)能量的非線性次方，如何求解該不等式是一大難點(diǎn)，有待后續(xù)進(jìn)一步研究。