淺談分類思想在初中數學解題中的應用

耿麗萍 崔君玉

【內容摘要】隨著數學教學的不斷發展，數學思維能夠極大地幫助學生探索數學的奧秘，幫助學生建立良好的數學學習習慣，使得學生對于數學學習產生濃厚的興趣，逐步培養學生的創新能力和實踐能力。教師加強數學思維的學習和教學，對于學生的智力開發具有重要作用，對于學生解決數學問題，提升自身的數學能力具有重要價值。分類思想就是初中數學解題教學中的重點，通過分類思想能夠極大地豐富學生的學習體系，對于學生學習初中數學解題產生事半功倍的效果。本文從分類思想在方程題、幾何題和分式題三方面討論初中數學解題分類思想的應用，通過具體的例題使得學生對于分類思想產生興趣。

【關鍵詞】初中數學解題? 分類思想? 教學策略? 應用

初中數學解題學習是初中生學習生涯的關鍵時期，在這階段開展分類思想的數學教學，對于學生的思維發展和學習習慣的養成具有重要作用。教師應該充分重視數學分類思想的重要性，要讓這種思維始終貫穿在初中數學解題知識的學習過程中看，這對于學生正確分析初中數學解題的核心要素，提升學生對于數學知識和題目的理解程度都具有重要作用，教師應該積極創新分類思想教學方法，這對于學生正確理解初中數學解題知識，提升自身運用數學知識解決實際問題的能力具有重要作用。

一、分類思想在方程題目中的應用

分類思想的學習對于學生數學綜合能力的提高具有重要的作用，教師應該充分這一點，要從運用這種分類思想的數學例題出發，使得學生從這些例題中學習相關的學習方式和學習方法，通過分類思想去解決方程問題。在解題例題講解的過程中要從實際出發，充分引起學生的興趣和好奇心，幫助學生建立準確的數學問題分析習慣，使得學生的數學綜合素養得到真正的提高。而分類思想在方程例題學習的過程具有非常重要的作用，方程問題涉及的問題就是一個分類討論的過程，針對不同的定義域和取值范圍，最終的方程題目的答案都是不同的。教師要通過各種有效的方式促進學生對于方程問題中分類思想的學習和掌握，充分利用分類思想在教學過程中的使用，特別是在方程問題求解的過程中的運用，使得學生能夠真正把握這個思想的精髓，在具體的題目求解過程中始終把握住重點和難點①。

比如，在學習初中數學解題例題“已知方程m2x2+（2m+1）x+1=0有實數根，求m的取值范圍”這個問題的求解就是一個非常經典的分類討論的思想。在這個問題的求解過程中，合理的分類討論對于問題的求解就是一個非常重要的過程。教師應該充分重視分類思想在問題范圍取值的重要性，從而最終合理地求解問題，幫助學生建立良好的數學問題的分類習慣。在問題的分析過程中，教師應該讓學生明確這個問題分類討論的界定條件，實現對于問題的合理分類，從而最終使得問題得到合理的解決。首先，這個問題教師應該讓學生分析，m的取值范圍：如果m=0，這時候方程變成了一個一元一次方程x+1=0，這時候問題的答案就是x=1;當m≠0時，這時候方程就變成了二元方程，這時候問題的求解就是一個比較復雜的過程，教師應該讓學生充分分析，在m≠0的條件下，這個問題的結果就會變得不同，這個問題的求解就需要二元一次方程的解的判斷條件b2?4ac，根據這個條件判斷m的取值范圍，通過這樣的分類討論的過程，教師能夠將學生的分類思想進行整體的把握和概括，從而使得學生這種分類思想得到進一步的提高和完善。在m≠0時，最終求出了m的取值氛圍，m≥?1/4。最后結合這兩個分類討論的結果進行總結和歸納，最終得到m的取值范圍，就是這兩個取值范圍的交集，從而最終求出了這個問題的最終答案：m≥?1/4。通過這樣的過程，最終實現問題的合理求解，幫助學生建立良好的分類討論的習慣。分類思想在方程方面的運用是方程求解過程中的重要部分，這對于學生方程的學習是非常必要的部分，教師應該充分重視分類思想在方程求解過程中的運用，從而提高學生對綜合數學分類思想的理解。

二、分類思想在幾何題目中的應用

學生的分類思想不是短時間就可以形成的，教師應該在具體的實際過程中教授給學生，讓學生學會在課堂上就逐步利用分類思想去求解問題的好習慣，使得學生能夠對于一個具體的數學問題進行深入的分析和理解，幫助學生建立良好的數學思維習慣，幫助學生建立分類思想，從而提高學生的能力。學生在課堂上進行例題的訓練過程中，教師應該在教學的過程中穿插分類思想，使得學生觀察數學問題之間的內在聯系，從而逐步地細化數學問題，將一個復雜的數學問題轉化為數學問題，從而使得數學問題得以求解，要幫助學生建立起合理的分類思想習慣。分類思想在初中例題幾何方面也有著非常重要的作用，通過分類思想，對于一些幾何問題進行分類，從而使得問題變得更加簡單，教師應該充分重視這種分類思想在數學幾何中的應用，要讓學生深入思考一個幾何圖形的求解不單單可以從基礎的思想出發分析，也可以從分類的角度對于問題進行深入地分析和討論，這樣幾何問題的分類解決也能夠極大地提高學生的綜合數學素養②。

比如，在學習初中數學解題“x2?9x+18=0的兩個根是等腰三角形的腰和底，求等腰三角形的周長”針對這個問題的求解，就是一個分類討論的過程，針對這個問題的分析，教師應該充分分析這個問題的核心部分，幾何問題與方程的結合，而且還有分類討論的思想，針對x2?9x+18=0 的根可以求出來是x=3或者x=6，但是等腰三角形的特性就需要仔細分析，那個是底，那個是腰，會分成兩種情況，同時也要考慮三角形的性質，依據分類思想的過程，可以確定這個等腰三角形的過程中邊長可以是3，3，6或者6，6，3這是兩種基礎的情況，但是在分類討論結束后，還要需要對這個過程的三角形的性質進行分析，三角形的性質兩邊之和大于等于第三邊，最終分析這兩個過程的求解都是成立的，最終求出這兩個過程最終答案，這個三角形的范圍就是12或者15，通過這兩個過程問題的求解和分析，問題的周長就可以得到最終的解決。教師應該在這個幾何問題的分析和討論的過程中，要充分結合幾何圖形的性質，分析不同的幾何圖形下滿足的條件，從而最終實現這個問題的合理分析和求解。學生在分析這個問題的過程中就可以將幾何圖形的性質與方程問題進行有機地結合，然后根據幾何圖形的性質最終實現問題的合理分析，求出三角形的范圍。

三、分類思想在分式題目中的應用

分類思想的訓練需要不斷的實踐，教師應該為學生創造一個良好的數學環境，使得學生能夠在這個數學環境中進行具體的分類思想的訓練，從而不斷提升學生自身的數學意識。分類思想的訓練不僅僅是運用在分式、方程的例題求解過程中，在分式題目的例題求解過程中，分類思想也會發揮重要的作用，教師應該充分重視分類思想在分式例題過程中的訓練。通過這些例題的訓練，學生的分類思想能力也會得到本質的提升，分類思想在分式的求解的過程中具有十分重要的作用，教師應該充分重視分式題目中的分類思想的運用，使得學生在求解問題的過程中注重合理的分類，從而保證問題的結果不會落下，保證數學問題求解過程的完整性，最終使得一個數學分式問題能夠得到合理的解決。此外，教師在運用分類思想在分式問題求解過程中，要注意一些合理的情況，一些特定的情況，分類的過程中要注意邊界條件的合理界定，這樣邊界條件的合理性才能夠得到合理地區分，這是分類討論的基礎，只有分類的邊界條件合理地確定，這樣一個數學分類討論問題才能夠得到合理的解決。

比如，在學習 “分式問題的過程中? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?無解，求a的范圍”針對這個分式問題的分析，也需要分類討論的思想，這個分類討論的過程就是一個界定不同取值的條件，教師應該首先根據題目的假設條件給學生合適的引導，使得學生清楚這個分式問題是需要進行分類討論的，首先，教師應該幫助學生進行合理的問題化解，首先去掉分母，得到3（x+3）+ax=4（x-3），然后進一步地化解，得到（a-1）x=-21，針對這個a的取值范圍就要進行一定的分類討論，關于x的無解情況不是唯一的，教師一定要讓學生清楚這個問題，只有學生清楚這個x的取值不是唯一的，通過分式的分母不能夠等于零，這個基礎的條件作為基礎的出發點，從而最終實現問題的合理求解過程，最終幫助學生建立良好的數學問題的分析和理解過程，最終實現問題的合理求解。我們問題的分式進行分解，x=-3，x=3的時候這個方程都是無解的，這就是問題的出發點，分類討論這兩種情況，在分析完這兩種情況之后，教師應該幫助學生理解這個問題的具體分類討論過程，將（a-1）x=-21變成一個分式，就是x=? ? ? ? ?，結合前面的討論，? ? ? ? =?3或者? ? ? ? ?=3，這兩種結果，可以求出a的取值范圍，但是這個問題的分析不僅僅就是這兩個取值的，還要考慮一些其他的情況，因為? ? ? ? ? 這個分式的求解過程就應該仔細分析，分母不等于0 的基礎條件不應該忘記，那么這個問題的分析過程就應該考慮a-1=0，這時候分式的最終答案也是無解的，因此，這個問題的分析和理解過程就是上面討論這三個問題的答案，從而最終得到問題的答案a=8，或者a=-6，或者a=1，從而最終實現這個問題的合理求解，最終實現問題的合理解答。

總之，初中數學解題分類思想的教學對于學生的能力提高具有重要作用，通過分類思想的學習，學生對于問題的分析和理解都會不斷地深入，對于問題的本質也會更加清楚，這對于學生的發展和認知都會產生不可忽視的作用，分類思想作為初中數學解題的重要部分，必須應該引起充分的重視，教師不應該僅僅局限于初中數學解題簡單的例題的分類思想的運用，更應該發散思維，從數學問題的分析，模型的檢驗各個方面都應該運用，教師應該積極尋求方法，提升學生的分類思想意識和運用分類思想去求解具體數學問題的能力，完善學生的綜合數學素質。

【注釋】

① 楊建平. 淺談分類討論思想在中學數學教學中的應用[J]. 學周刊，2013.

② 劉英. 淺談分類討論思想在初中數學中的應用[J]. 陜西教育科研，2003（04）：48-51.

（作者單位：山東省淄博市臨淄區實驗中學;山東省淄博市臨淄區雪宮中學）