數學學習不良中師生的表征特點研究

武曉梅

摘? 要：本研究以中師學生為研究對象，以排列組合為內容設計表征測試工具。通過與學習優秀學生對比，揭示學習不良學生的表征特點。結果表明：與學習優秀學生相比，學習不良學生表征方式單一，缺乏多種表征的習慣和能力;在表征方式上更傾向于由抽象向具體的表征;對問題深層表征能力低。

關鍵詞：表征方式;表征順序;表征深度;數學學習不良中師生

中圖分類號：G715? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? 文章編號：1672-4437（2021）02-0047-04

學習不良學生是指學習效率低下，智力正常，不能達到學校教學規定的基本要求的學生[1]。近年來中師學生中學習不良學生的比例明顯增多，提高其學習能力成為亟待解決的問題。

表征是指信息的記載或表達方式[2]。表征又稱心理表征或內在表征，它是外在事物在心理活動中內在的呈現。以往研究發現，學習不良學生與學習優秀學生相比，表征存在差異。那么中師生中數學學習不良者與優秀者存在哪些差異，他們在數學問題解決的表征中表現出哪些特點？這正是本研究要探討的問題。

一、研究方法

（一）被試

研究的取樣來自阜陽市某專科學校中師小教專業二年級的1-6個班的學生。按照標準選出學習優秀的學生69人，學習不良的學生69人。分為6個小組，每組23人。

（二）實驗材料

本研究所用的測驗是數學問題表征和數學問題解決測試。本問卷選用的是開放式的數學問題，共有3道題目組成，測驗的內容主要涉及排列組合（這部分知識學生在測驗前一學期學完）。

試題1：甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念，不同的站法有多少種？

試題2：甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念，要求老師必須站中間，不同的站法有多少種？

試題3：甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念，要求老師必須站中間，甲同學不與老師相鄰，不同的站法有多少種？

（三）實驗設計與程序

本測驗主要從三方面研究數學學習不良學生的表征特點：第一，學習不良學生表征方式是單一還是多樣;第二，在多種表征方式中是由具體到抽象，還是由抽象到具體;第三，和學習優秀學生相比，其表征深度有無差異。

測驗在2018年3月進行，由6名數學教師做主試（他們不知道測驗的具體目的），同時在6個班進行測試。測試時間分別為60分鐘。要求被試完成試題，并寫出具思考過程，標注思考時間。

二、結果與分析

（一）兩類學生使用多種表征頻數的差異比較

在測驗題作答中，被試成功使用圖形和公式表征兩種方式解答即為多種表征，如只成功使用一種表征方式為單一表征。紀桂萍等把數學問題解決中的心理表征分為形象表征和抽象表征兩種[3]。形象表征是以圖片、圖形的形式進行呈現。形象表征比較生動、形象，而且它與視覺的關聯性也比較強，因此也將它叫做圖形表征。抽象表征是以語言、文字和符號、命題、圖式等形式存在的表征。表1中，學習不良學生使用多種表征的頻數為0.89±0.69，學習優秀學生使用多種表征頻數為2.09±0.85，對兩者多種表征使用頻數的差異比較，t=-7.94（P=0.000<0.001）。結果顯示，被試在測驗題中選擇多種表征頻次存在差異。學習不良學生和學習優秀學生在問題解決過程中使用多種表征的頻數存在顯著差異，優秀學生更多使用多種表征方式。

學習不良學生更多使用單一的表征方式，對問題的理解往往不夠全面、深刻。事實上，具體的數學問題往往包含有多種信息，一種表征方式，往往只能獲得部分信息而非全部，信息遺漏會影響對問題的準確理解，甚至是造成對問題的錯誤判斷，使問題解決失敗，這一觀點已被諸多研究證實。學習優秀的學生，更傾向于選擇多種表征結合的方式。多種表征可以理解為將語言、文字、符號、圖片、具體物、活動或實際情景等多種形式相結合的綜合表征形式。借助不同的表征形式，形成對問題的不同屬性和特征的認識，獲得多方面的信息。Keller認為，數學的多種表征形式能夠形象具體的凸顯數學學習對象的兩個方面：一是數學學習對象的多元屬性可以強化其復雜性，能夠便于學生對不同表征進行轉換;二是它的多元屬性也可以淡化其復雜性，能夠便于學生對不同表征的認識聯結[4]。因此，缺乏多種表征結合習慣和能力，是導致學習不良的原因之一。

（二）兩類學生表征的順序比較

分析學生的思考過程和解題過程發現，兩類被試選擇表征順序和解題思路存在差異。無論學習優秀的學生還是學習不良的學生都試圖通過多種表征方式去尋找不同的解決思路。從表2可以看出，兩類學生在兩種表征方式使用的先后順序上存在差異：第1題，學習優秀學生中52人成功解題，，其中41人使用具體到抽象表征，11人使用抽象到具體圖形表征;學習不良學生中29人成功解題，其中10人使用具體到抽象表征，19人使用抽象到具體圖形表征。第2題，學習優秀學生中47人成功解題，其中38人使用具體到抽象表征，9人使用抽象到具體圖形表征;學習不良學生中17人成功解題，其中6人使用具體到抽象表征，11人使用抽象到具體圖形表征。第3題，學習優秀學生中47人成功解題，其中37人使用具體到抽象表征，10人使用抽象到具體圖形表征;學習不良學生中16人成功解題，其中4人使用具體到抽象表征，12人使用抽象到具體圖形表征。卡方分析結果分別為15.71、10.90、17.84，P分別為0.000<0.01、0.002<0.01、P=0.000<0.01。結果表明，學習優秀的學生更傾向于具體圖形—抽象表征，而學習不良者更愿意從抽象到具體圖形表征。

長期以來的爭論專注于使用具體表征還是抽象表征，特別是，數學和科學。盡管具體到抽象應該是一個連續體，人們通常很極端，把具體和抽象對立起來。Bruner于1966年最先提出CRA技術，允許學習者開始有益于具體情境，鼓勵他們超越具體情境，逐漸去除無關的細節，抽象概括它們[5]。Fyfe[6]、Ching B.H.-H.， Wu X研究發現，具體到抽象的表征順序是成功學習的關鍵[7]。思維的發展是從具體到抽象的，知識的學習也是由感性上升到理性的。因此，學生在認識事物或問題解決中，也應遵循從具體圖形到抽象表征的過程。具體表征形式具有外顯性、展開性和直觀具體性。首先進行直接觀察，容易理解具體物體、實際情境，激活現實世界的知識。其次具體表征既具有具體性，又具有形象性，更有利于學生從感性上升到抽象概念，形成知識之間本質、內在聯系，它可以幫助學習者理解模糊且復雜的抽象概念。因此，如果具體材料先于抽象材料，學習者可以用已經理解的具體材料或情境來解釋意義模糊的抽象材料。而學習不良者更多選擇從抽象到具體的表征，抽象材料會使得學習者在沒有被理解的情況下，操縱無意義的符號[8]。研究發現以抽象的形式解決問題經常導致無效的解答策略[9]，習得程序的不靈活的運用[10]，或出現非邏輯錯誤[11]。

因此，問題解決中由抽象到具體的順序，導致學生沒能充分理解問題。直接使用抽象表征形式，是學習不良者解題失敗的重要原因之一

（三）兩類學生表征深度比較

辛自強教授提出了“表征復雜性模型”，以此來考察或區分兒童的表征能力。他認為數學問題，特別是數學應用題最本質的屬性往往是題目所涉及數量或集合關系的復雜性。以最基本的算術應用題為例，一般只涉及三個集合，其中兩個集合已知，求第三個。在這些問題中，三個集合存在一定的關系（比如部分-整體關系），我們稱之為集合之間的初級關系。如果集合的集合又與別的集合發生了關系，那就是建立在初級關系基礎上的二級關系，依次類推，可以有三級關系、四級關系等。這種由關系的層級數決定的問題的復雜性，可以稱為關系的等級復雜性，而對問題表征的質量主要取決于能理解的關系的最高層次，即表征深度。

本實驗材料為排列組合題，試題1，只涉及排列問題，其解決過程為五人排，即P（5，5），列式正確得6分，其表征深度為初級關系;試題2中，要先將老師選出站中間，在將其他四人排列，即C（1，1）P（4，4），每個關系正確得3分，共6分，其表征深度為二級關系;試題3在選出老師站中間后，再將甲同學排在兩邊，最后排列其他三人，每個關系正確的2分，共6分，即C（1，1）C（2，1）P（3，3），其表征深度為三級關系。

分析所有被試對三類題目的重復測量的方差表明（見表3），在排列組合計算測驗上三道試題之間存在極為顯著的主效應，F=488.80， p=0.000<0. 001。前后兩個試題結果配對T檢驗表明，兩個試題之間的正確率均有極其顯著的差異t1-2= 4.12， p=0.000<0.001;t2-3=2.70，p=0.000<0.001。這說明，在三道試題的計算方面，存在明確的難度等級。

在表4中，對學習優秀（69人）和學習不良（69人）兩類學生的成績做了比較，結果表明，無論就各個試題而言，還是就整個測驗而言，兩類學生的成績都存在顯著差異。事后比較表明，學習不良學生的排列組合計算成績通常落后于優秀生。第1題，學習優秀學生成績為4.87±0.32分，學習不良學生成績為3.26±0.32分;第2題，學習優秀學生成績為4.30±0.28分，學習不良學生成績為1.78±0.28分;第3題，學習優秀學生成績為3.93±0.27分，學習不良學生成績為0.96±0.28分。方差分析結果顯示，兩類學生在三道試題存在顯著差異。由此可以看出，優秀生通常有較高的圖式水平，表征深度通常較大，理解表征問題中復雜關系的能力較好;而學習不良學生的圖式水平相對較低，不善于理解表征問題中復雜的關系。從表4可以看出，兩類學生三題的得分差值分別為1.61、2.52、2.97，隨著試題層次的升高，兩類學生得分的差距也越來越大。

三、結論與建議

本研究對數學學習不良的中師學生進行表征特點分析。通過測試了解學生對數學問題表征的選擇傾向及其對問題解決的效果的影響。研究發現，學習不良學生問題表征具有以下三方面特點：一是表征方式單一，缺乏多種表征的習慣和能力。因此，教師在日常教學中要改變傳統教學只關注抽象表征的方式。根據教學內容和學生的特點，適時將形象表征、抽象表征等多種表征結合。同時注意把握每個層面的知識點及知識點的整合。使得各種表征方式所提供的信息不是孤立的、分散的存在，而是能看到不同表征所提供信息的統一性。

二是在表征問題時，多傾向具體到抽象的方式。以往表征研究中往往只考察是否使用多種表征，很少研究不同表征順序對學習者的影響。研究發現，對學習不良學生來說，不經具體表征過程直接使用抽象表征，容易讓學生死背公式，或生搬硬套某類熟悉的題目。布魯納在1966年提出，外在刺激程度深刻影響著學生思維活動的水平。他用動作的、形象的和符號的三種表征來代表不同的外在刺激程度。并且認為，學生的思維水平是以“線性”或“單向性”的方式從動作表征到圖形表征，最后再到符號表征。實物表征能夠更直觀地感受數學對象，形象表征能夠直觀地傳達大量數學圖形信息，在具體表征基礎上再進行深度表征，更有利于提高學生解決問題的能力。三是深層表征問題的能力低。以辛自強的關系-表征復雜性模型（RRCM）為基礎確定問題的難度序列，該模型能夠有效解釋問題（解決）難度的本質，實驗結果也證明了兩類學生在表征的深度上存在顯著性差異。因此，針對學習不良學生，對教學材料的確定，對考試問題難度的排列無疑都應考慮表征深度的問題。教學中教師可以把某個領域的各種問題按照由易到難的順序組織起來，使教學或練習真正做到“循序漸進”。對于學習不良學生，學習表征低級關系是重點，應該幫助他們建立基本的圖式并學會使用基本公式，促進其表征深度，提高其圖式水平與知識基礎。

參考文獻：

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