數(shù)學問題解答

2021年4月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

(華中師范大學國家數(shù)字化學習工程技術研究中心 彭翕成 430079)

即sinAsin(π-A-C-A-C)

即sinA·2sin(A+C)cos(A+C)

即sin(2A+C)=2sinC，

sin(2A+C)-2sinC

=sin(A+C)cosA+cos(A+C)sinA-2sinC

=0，

即bcosA+acos(A+C)-2c

2597證明2103-23能被1000整除.

(江西省共青城市國科共青城實驗學校 姜坤崇 332020)

=2(221-2)(281+261+241+221+2)

=4194300(281+261+241+221+2).

因為，21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,…,所以數(shù)列{2n}(n是正整數(shù))的個位數(shù)字數(shù)列2,4,8,6,2,4,8,6,…是周期為4的周期數(shù)列.因為281=24×20+1,所以281的個位數(shù)字為2.同理，261,241,221的個位數(shù)字亦都為2,所以281+261+241+221+2的個位數(shù)字為0,從而4194300(281+261+241+221+2)可寫為1000m(m為整數(shù))的形式，所以2103-23能被1000整除.

2598如圖，已知在△ABC中AC+BC=3AB，G、I分別是△ABC的重心、內(nèi)心，求證：GI⊥AB.

(江蘇省無錫市第一中學 李廣修 214031)

由三角形的內(nèi)切圓的切線長公式、橢圓的焦半徑公式，得

因為xD>xA，所以

|AD|=xD-xA=xD+1=xI+1，

又由三角形的重心坐標公式，得

所以xG=xI，故GI⊥x軸，即GI⊥AB.

2599設ai(i=1,2,…,n)是正實數(shù)，n≥3,求證：

(1)

(四川成都金牛西林巷18號晨曦數(shù)學工作室 宿曉陽 610031)

證明由均值不等式，有

兩邊同除以n，即得不等式(1).

2600△ABC中，AB=AC，D、E分別是AB、AC延長線上的點，F(xiàn)、G分別是CD、AC上的點，且滿足DF=3FC,GC=2AG.求證：BD=2CE，DE⊥EA，EF⊥DG這三個條件，任意已知兩個，可得第三個.

(山西省臨縣一中 李有貴 033200)

BD=2CE等價于

AD=2CE+AC=2AE-AC,

(1)

(2)

(3)

命題得證.

2021年5月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2601已知a,b,c∈R,a+b+c=abc,求證：

(a2+1)(b2+1)(c2+1)

≥(ab+bc+ca-1)2.

(陜西省咸陽師范學院教育科學學院 安振平 712000)

2602已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，點F1，F(xiàn)2在BC上，且∠CAF1=∠BAF2，AF1，AF2與CD分別交于點E1，E2.

(北京市朝陽區(qū)教育研究中心 蔣曉東 100028；北京市朝陽區(qū)芳草地國際學校富力分校 郭文征 100121)

2603設△ABC的三邊長為a,b,c,對應的高線、旁切圓半徑、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑和面積分別為ha,hb,hc,ra,rb,rc,R,r,Δ,則

(天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)

2604已知a，b，c>0，且abc=1.

(湖北省公安縣第一中學 楊先義 434300)

(安徽省六安第二中學 陶興紅 237005)