何以感受數(shù)學(xué)的溫度
——一類(lèi)“化無(wú)形為可見(jiàn)”問(wèn)題引發(fā)的思考

劉師妤

(1.華中師范大學(xué)教育學(xué)院 430079；2.湖北省武漢市英格中學(xué) 430079)

傳統(tǒng)邏輯基礎(chǔ)規(guī)律之一就是排中律，通常被表述為A是B或者不是B.集合中元素與集合的關(guān)系也是如此，更確切地說(shuō)，數(shù)學(xué)對(duì)象間關(guān)系往往都是如此確定.正如普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(人教A版)主編寄語(yǔ)中的論述：“數(shù)學(xué)是清楚的.清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的結(jié)論，數(shù)學(xué)中的命題，對(duì)就是對(duì)，錯(cuò)就是錯(cuò)，不存在絲毫的含糊.”數(shù)學(xué)因?yàn)橛辛舜_定性，能看得見(jiàn)、摸得著，才具備了“好玩”的潛質(zhì)，數(shù)學(xué)才有了可撫觸的溫度.數(shù)學(xué)之美，美在數(shù)學(xué)語(yǔ)言能化無(wú)形為可見(jiàn).儼然是開(kāi)啟自然之門(mén)的鑰匙，轉(zhuǎn)動(dòng)它就能看到曲線(xiàn)的優(yōu)美軌跡，握住它就能感受光輝的溫度，舉起它就能看到真理的距離.筆者以教學(xué)實(shí)踐中的一類(lèi)“化無(wú)形為可見(jiàn)”的問(wèn)題為例，即如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具研究含參函數(shù)的性質(zhì)，一齊感受一下數(shù)學(xué)的熾熱溫度.

零點(diǎn)存在性定理，大家都不陌生，在此不再贅述.許多一線(xiàn)教師都站位于邏輯關(guān)系上剖析該定理，認(rèn)定學(xué)習(xí)該定理的難點(diǎn)在于辨析這是一個(gè)判斷零點(diǎn)存在性的定理，而非是判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的依據(jù).實(shí)際上，從筆者及同事多年的教學(xué)實(shí)際來(lái)看，不得不說(shuō)我們?cè)凇俺跫?jí)階段”即判定區(qū)間兩端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)關(guān)系，甚至在找零點(diǎn)大致所在區(qū)間都存在很大的困難，存在太多的“一筆帶過(guò)”，如題：

從極限的視角看問(wèn)題并不是不可以，只是它的正確性要建立在對(duì)函數(shù)的性態(tài)的準(zhǔn)確把握上，數(shù)學(xué)的奠基作用、數(shù)學(xué)的原汁原味就蕩然無(wú)存了，至少在這里.

全國(guó)高考內(nèi)容改革正在邁出新的步伐，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性、科學(xué)性及數(shù)學(xué)的內(nèi)在理性正日漸突顯出來(lái)，我們要辯證的看待數(shù)學(xué)的理性與靈活性、直覺(jué)感與嚴(yán)謹(jǐn)性.

如2015年全國(guó)高考課標(biāo)(I)文科數(shù)學(xué)第21題：設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(Ⅰ)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

對(duì)于第(Ⅰ)問(wèn)，參考答案是：

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，故f′(x)沒(méi)有零點(diǎn)；

無(wú)獨(dú)有偶，這一命題思路在2016和2017年的全國(guó)Ⅰ卷中竟是驚人的相似.

如(2017全國(guó)卷Ⅰ)：已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

又如(2016全國(guó)卷Ⅰ)：已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

分析：(Ⅱ)(i)設(shè)a>0，則由(Ⅰ)知，f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

又f(1)=-e,f(2)=a，

如法炮制，仍然對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，

當(dāng)a≥2時(shí)，f(0)=-2+a≥0，

所以f(x)在[0,1)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)0

綜上，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在(-∞,1)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

為節(jié)約篇幅，當(dāng)a=0及a<0的情形略去.

再如，題2：已知函數(shù)f(x)=xsinx，判斷命題：?M>0，至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得f(x0)>M是否正確.

還有一次，筆者給高三學(xué)生上“畫(huà)函數(shù)圖象的大致圖象”的選修課時(shí)，談到y(tǒng)=3x與y=2x的圖象差異時(shí)，在y軸的左邊并不是隨著x的增大，兩函數(shù)圖象就越接近.學(xué)生們都感覺(jué)不可思議，莫非一直我們畫(huà)的圖象都太不準(zhǔn)確？為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，筆者用幾何畫(huà)板演示了兩者的圖象，通過(guò)放縮圖象發(fā)現(xiàn)：在y軸左邊,y=3x與y=2x的圖象均以x軸負(fù)半軸為漸近線(xiàn), 當(dāng)x=0時(shí), 兩圖象交于點(diǎn)(0,1).這說(shuō)明在y軸的左邊y=3x與y=2x的圖象從左到右開(kāi)始時(shí)幾乎一樣, 后來(lái)y=2x的圖象變化加快使得y=2x與y=3x的圖象逐漸遠(yuǎn)離, 而當(dāng)x經(jīng)過(guò)某一值x0以后y=3x的圖象變化加快使得y=2x與y=3x的圖象又逐漸接近, 直到x=0時(shí)兩圖象交于點(diǎn)(0,1).原本以為學(xué)生會(huì)“善罷甘休”，哪知學(xué)生還不依不饒：“老師不常說(shuō)‘眼見(jiàn)不一定為實(shí)’嘛，那這個(gè)x0究竟為多少呢？

文[4]中談及到“要是沒(méi)有數(shù)學(xué)，你將無(wú)從理解，是什么東西讓一架巨型噴氣式飛機(jī)浮在空氣中”“數(shù)學(xué)允許我們將另外一些不可見(jiàn)——亦即尚未發(fā)生之事——變?yōu)榭梢?jiàn)，如用微積分預(yù)測(cè)明天的天氣”，都揭示著一個(gè)道理：合乎情理的事情背后是確定的、實(shí)在的對(duì)象或機(jī)理在發(fā)揮著作用.熟讀數(shù)學(xué)分析的讀者會(huì)愈加深刻感受到數(shù)學(xué)學(xué)科的溫度.該門(mén)課程以嚴(yán)格的極限定義為基礎(chǔ)，切切實(shí)實(shí)的分析無(wú)窮小量；它又不僅限于在一定范圍內(nèi)探討極限、微分與積分的性質(zhì)，它在于體現(xiàn)一種問(wèn)題分解、問(wèn)題向確定性轉(zhuǎn)化(此過(guò)程常會(huì)導(dǎo)致新的層次的問(wèn)題的產(chǎn)生)的策略與數(shù)學(xué)本原思想.

不妨再看幾個(gè)類(lèi)似的例子，以探求合理性背后的確定性.

題3(2014福建)：已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)A處的切線(xiàn)斜率為-1.

(Ⅰ)(Ⅱ)略；

(Ⅲ)證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，恒有x2

對(duì)于第三問(wèn)，大部分學(xué)生都可以感受到一種很強(qiáng)的合理性，隨著x的增大，指數(shù)型函數(shù)y=cex(c>0)的函數(shù)值總會(huì)超過(guò)冪函數(shù)y=x2的函數(shù)值，但難以用數(shù)學(xué)的方式予以表達(dá).在注重前后設(shè)問(wèn)聯(lián)系(指數(shù)函數(shù)與一次、二次、三次函數(shù)的關(guān)系)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)證法.

由(Ⅱ)知，當(dāng)x>0時(shí)，x2

從而h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

故對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0∈(x0,+∞)時(shí)，恒有x2

題4證明：對(duì)任意正數(shù)a，存在正數(shù)x，使不等式成立.

故h(x)>h(0)=0，

原不等式即為ex-(1+a)x-1<0.

令g(x)=ex-(1+a)x-1，

則g′(x)=ex-(1+a).

由g′(x)=0得ex=1+a，解得x=ln(1+a)，

當(dāng)0

當(dāng)x>ln(1+a)時(shí)，g′(x)>0.

故當(dāng)x=ln(1+a)時(shí)，g(x)取最小值g[ln(1+a)]=a(1+a)ln(1+a),

故s(a)

即g[ln(1+a)]=a-(1+a)ln(1+a)<0.

因此，存在正數(shù)x=ln(1+a)，使原不等式成立.

M·克萊因在他的著作《數(shù)學(xué)——確定性的喪失》中提到數(shù)學(xué)自古希臘起的兩千年里，經(jīng)受了災(zāi)難并最終戰(zhàn)勝了它.從“無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)”到演譯推理下建立的幾何公理體系，從“無(wú)窮小是零嗎？”到微積分在諸多領(lǐng)域的成功應(yīng)用，從“悖論的產(chǎn)生”到重新考量數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)的有效性，表面上數(shù)學(xué)的確定性正一步步喪失，實(shí)質(zhì)無(wú)盡的爭(zhēng)論、質(zhì)疑與釋疑會(huì)把數(shù)學(xué)推到一個(gè)更輝煌的高峰.同樣，我們平時(shí)的學(xué)習(xí)中碰到的看似難以“確定”的內(nèi)容又何嘗不是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維提升的助推劑、轉(zhuǎn)化劑呢.