歐拉不等式的一個新加強
2021-07-15 09:46:16曹嘉興
數學通報 2021年5期
曹嘉興
(浙江省開化縣第二中學 324300)
眾所周知，任意三角形的外接圓半徑R不小于它的內切圓半徑r的2倍，即R≥2r.這是大數學家歐拉(Euler)在1765年建立的一個不等式,由于該不等式具有簡單而不平凡的特點,所以至今依然在幾何不等式領域里保持著高水平的地位,關于它的各種推廣和加強的研究一直是幾何不等式研究的熱點.貴刊就發表過多篇關于歐拉不等式的加強的文章[1-4],本文將給出歐拉不等式的一個新的加強,供大家參考與欣賞.
等號當且僅當△ABC為正三角形時成立.
證明在△ABC中，記BC=a邊上的高為ha，∠BAC的平分線為ta，面積為Δ.
(1)
(2)
(3)
(1)+(2)+(3)得
再利用熟知的Tsintsifas不等式[5]：
由上述證明過程不難看出等號當且僅當△ABC為正三角形時成立.
注記由柯西(Cauchy)不等式得
≤3(3s-a-b-c)=3s，
(4)
