尋問題模型之源 挖教材潛在之能①

吳莉娜

(江蘇省常州高級中學 213003)

“數學教材為‘教’與‘學’活動提供學習主題、基本線索和具體內容，是實現數學課程目標、發展學生數學學科核心素養的重要教學資源.”[1]面對各種教學情境，怎樣利用好教材的“源”，是每一個教師需要研究的問題.本文以2017全國新課標平面向量試題為載體,探索高中數學教學如何回歸教材，挖掘教材的潛在功能，對教材典型問題進行引申、推廣，在教學中有意識地引導學生尋找問題模型的源頭，運用數學思想方法解決問題，提高學生的思維品質和創造性解決問題的能力，從而提升學生的數學素養.

1 問題由來

本題題面簡約，背景清晰，主要考查：(1)平面向量基本定理的應用；(2)平面向量的坐標運算；(3)直線與圓的位置關系.

解析如圖1以B為坐標原點，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，

圖1

則A(0,1)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,1)，

設圓C上任意一點P(x,y)，

又點P(x,y)在圓C上，

=2-sin(θ-φ)≤3，

多角度、多層次地考查學生對基礎知識、基本技能以及數學思想方法的掌握情況.諸如此類的，已知圖形關系求基向量系數問題或者已知系數條件求圖形的有關問題，在歷年的高考真題與模擬題中屢見不鮮，能有效地考查學生思維的靈活性和敏捷性.而學生在解決此類問題時，往往思路并不清晰且解題繁瑣，得分率普遍不高.

2 追本溯源

針對這個問題的典型性，筆者認為有必要對其展開研究，細細品味，發揮試題教學的價值.于是研究了幾套教材向量部分的編寫，發現教材中都可以找到此類問題的源頭所在，下面以人教版和蘇教版教材來談一談.

人教版教材

圖2

蘇教版教材

圖3

3 撥云見日

圖4

圖5

圖6

因此由等和線結論2，我們可以另起爐灶來建構新的思路解決引例.

圖7

4 延伸拓展

雖然引例的解題思路和方法并不唯一，但是相比較而言，利用向量等和線結論求解向量線性運算中共起點基向量的系數和問題，比建系轉化為代數問題求解更顯自然和流暢，能有效降低知識綜合性要求與運算能力要求.不僅拓展了學生對平面向量的認知，而且對培養學生數形結合思想大有裨益.在歷年的全國高考題、模考題中，以等和線為背景的平面向量問題受到了命題者的青睞.

應用1等和線結論應用于基向量系數的線性關系式aλ+bμ的最值問題.

圖8

分析本題通過改編將系數和問題推廣為系數的線性關系式，由于向量的數乘運算從形的角度，可以通過將原向量在共線的前提下，進行伸長、壓縮等操作，那么從理論上來說，所有的系數之間的線性關系，我們都可以通過調節基底向量，使得所求系數線性關系變換為兩個新基底向量的系數和問題，然后尋找到系數的線性關系式取得最值的等和線，利用等和線結論2解決問題.

應用2等和線結論應用于條件中三個向量不共起點時基向量系數和的問題.

圖9

應用3等和線結論應用于基向量的終點運動變化的一類動態問題.

圖10

5 源清流澈

“向量理論具有深刻的數學內涵、豐富的物理背景.向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數的橋梁.”[1]因此，平面向量是高中數學的核心內容和重要思想方法，也是高考中經常考查的內容.怎樣讓學生理解向量的內涵，充分認識向量的“橋梁”作用，在教學中，我們從一個典型問題出發，通過以上變式問題的層層深入探究，讓學生發現利用等和線結論解決向量線性運算的基底系數和問題，可以巧妙的將復雜的求值、最值等一系列代數問題轉化為幾何圖形問題，將具體的代數式運算轉化為距離的長度比例關系問題，用統一的數學模型溝通了相關問題，完美地呈現了數形結合思想在解題中的優勢，提高了學生的思維品質和創造性解決問題的能力，從而達到提升學生數學素養的目的.

費里德曼在《怎么學會解數學題》中提出：“如果我們著手解答一道習題，那么，第一件事就想知道：這是道什么題？它是什么形式，屬于哪種類型？換句話說，就是需要識別給定習題的類型.”[2]教材中的每一個例題、習題的設置都有其目的和作用，體現著本節知識所應達到的能力要求，教學不僅要緊扣教材中的基礎知識，還要發現和應用教材習題中蘊含的數學思想方法，更要挖掘和利用教材習題潛在的功能.因此，指導學生回歸教材，依“綱”固“本”，挖掘教材的潛在功能，對教材典型問題進行引申、推廣，教材素材之“源”清楚，學生思維之“流”才能清澈，“源于教材，高于教材”，帶領學生領略更靚麗的風景.