數學歸納推理能力再探：內涵與表現①

吳惠玲 郭玉峰

(1.北京師范大學數學科學學院 100875；2.深圳外國語學校 518110)

1 問題提出

數學歸納推理能力對學生學習、數學學科發展、數學問題解決等有重要作用[1-4]，數學歸納推理與數學演繹推理一起，影響和推動數學的進展[5].《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱為“2017數學課標”)明確指出，邏輯推理素養是六大數學核心素養之一，并給出主要表現與相應的水平劃分.而歸納推理作為邏輯推理的一個重要組成部分，無論教材編寫還是教學實踐，研究清楚數學歸納推理的內涵與學生具體表現等無疑有重要意義.

歸納推理在邏輯學、心理學和數學領域都有研究且各自關注點不盡相同.如，關注歸納推理形成過程所體現的形式共性[6]、信息加工過程[7]、任務表現[1]、歸納推理的邏輯性[8]等.歸納推理是一類重要的推理形式，與演繹推理不同.演繹推理可以得到必然的結論[9]，而歸納推理的本質是前提與結論的或然性聯系，那么類比推理也屬于歸納推理[8].從已有研究可見，結論的或然性和推理過程的邏輯性是歸納推理的特點.如何將二者的敘述相整合，刻畫學生的數學歸納推理能力，是本研究亟待解決的問題之一.

數學歸納推理能力內涵包含的主成分是什么？它體現在數學歸納推理活動中.一些研究從推理的環節[10, 11]或數學內容特點[12]劃分數學歸納推理過程，宏觀認識趨于一致，即包括從特殊到一般的猜想過程以及猜想的檢驗過程.也有研究認為，數學歸納推理的認知過程常出現類的形成、類比、類的擴展等行為.[13]伍春蘭等分析學生猜想線面垂直判定定理的過程，學生能夠進行聯想、自我檢驗.[14]對知識間關聯的認識和想象與聯想類比密切相關.[15]較為全面的是，Jeannotte 和 Kieran[16]從認知溝通的理論角度，給出9個數學推理詞匯，描述發現相似性或差異性過程及檢驗猜想的過程.史亮[17]則統計《普通高中數學課程標準(實驗版)》中關于歸納推理的詞匯.“2017數學課標”涉及的數學歸納推理，其主要表現以及水平二和三仍較為模糊.除了理論視角，如何用實證研究分析能力結構要素？以上研究較為全面地展示了數學歸納推理能力的成分，但未明確數學歸納推理能力的主成分.在教學實踐中，教師抓住主成分，更能有針對性培養學生的數學歸納推理能力.因此，明確數學歸納推理能力的主成分，借此分析數學歸納推理能力的現狀，是本研究擬解決的另一方面.

總之，本文希望在數學歸納推理能力內涵基礎上，結合數學歸納推理過程、相關操作詞匯以及數學家的數學猜想實例，給出數學歸納推理能力的可能成分.進一步借助測試題，通過探索性因素分析法更深入揭示數學歸納推理能力的主成分，借助兩次聚類分析分別得到主成分下的學生表現層次以及不同主成分的關系，從而構建數學歸納推理的框架結構，為課程建設和教學實踐提供一定的參考和借鑒.

2 研究設計

小學階段主要進行枚舉歸納推理，小學高年級則逐漸開始科學歸納推理，用以理解數學概念和命題.[12]本研究希望揭示高中學生數學歸納推理的特點.考慮到測試的便利性以及數據的可靠性，研究對象選取高二年級學生.測試題編制原則是：(1)題目所涉及的數學知識是高二學生已學過的，包括高一以及高一之前的知識；(2)題目可以從特例入手，借助觀察、分析、比較、聯想等方式，得到猜想.(3)題目類型是學生未接觸過的.教材中呈現的數學歸納推理任務為本研究測試題的設計和開發提供了思路.測試卷共3大題，2道類比題，1道歸納題.測試時長40分鐘.

第1題：關于正四面體性質的類比.考察目的：(1)能否認識到正三角形和正四面體的相似性；(2)能否依據正三角形的某些性質，對正四面體的性質產生實質的聯想，例如平面內關于邊的問題，往往對應于空間中的平面問題；(3)能否得出正四面體性質的某個普遍規律；(4)能否用語言描述猜想.

第2題：關于空間四面體勾股定理的類比.考察目的：(1)能否認識到直角三角形和3個面兩兩垂直的四面體間的相似性；(2)能否根據直角三角形的勾股定理，產生空間四面體關于棱長或面積的聯想，并得出普遍規律；(3)對所得的猜想，是否會檢驗.例如演繹證明、用具體例子增強說服力、舉反例推翻等.(4)能否用語言描述猜想.

第3題：探究一元n次實系數方程的根與系數關系.考察目的：(1)能否分析特殊例子的根與系數關系，并寫出特例的結論；(2)能否發現特例之間的共性和差異性；(3)如果猜出n為具體值時的根與系數關系，能否進一步得到一元n次實系數方程的普遍規律.

本研究給出數學歸納推理的8個成分假設(具體見第3.2節)，三道測試題與這些成分假設的對應關系以及具體分值(通過層次分析法得到)如表1，滿分為100.

表1 研究假設維度與對應題目與分值

根據預測結果分別調整題目的提問方式、增設題目梯度、調整題量，以及調整區分度不大的題目等，形成最終測試問卷.考慮學生的數學層次分布與問卷發放的便利性，最終測試對象是山西一所重點中學(編碼SX)、廣東一所省級中學(編碼G)、廣西一所重點中學(編碼GX)的高二學生，其中發放問卷425份，回收問卷395，回收率93%.回收問卷中的作廢問卷是：存在一道空白的完整大題，或多于3個空白的小題，或兩張問卷答案一樣，這樣有效問卷共368份.

表2 問卷數量情況統計

測試題的信效度來源于正式測試的數據，基于368個數據樣本，本次問卷調查的信度(Cronbach α)是0.772，問卷各題項間的一致性較為合適.各維度與總分之間在顯著水平為0.01(雙側)下，相關性是顯著的(0.429～0.808之間).可見總分與各維度之間的相關性良好，即調查問卷具有較好的效度.因此，可對這批數據進行下一步分析，操作軟件是IBM SPSS Statistics 20.

3 研究結果一：數學歸納推理能力的內涵

3.1 內涵界定

根據以上分析，借助“2017數學課標”關于邏輯推理素養的界定，“從一些事實和命題出發，依據規則推出其它命題的素養”，本研究界定數學歸納推理能力的內涵是，“從具有某一性質的一些特例(或一類事物)出發，猜想包含這些特例的一類事物(或具有共同屬性的其他類事物)也具有一致的性質，并說明猜想合理性的能力.”包括以下要點：

第一，數學歸納推理是前提和結論之間存在或然性的推理形式，前提和結論之間的關系不是必然的；

第二，同數學演繹推理一樣，數學歸納推理也是有邏輯的.界定中用文字語言的形式敘述這一邏輯性，也即性質傳遞性[8]：Ⅰ(歸納)：對于集合A和性質P，x→P，若x∈A，則A→P；Ⅱ(類比)：集合A和集合B都具有屬性Q，對于性質P，若A→P，則B→P.

第三，對于高中學生的數學歸納推理，本研究更關注這樣兩個方面：(1)歸納：分析歸納多個特殊事物的屬性，得出一類事物(包含這多個特殊事物)的一般屬性，或找到具備此屬性的、合適的數學研究對象集合.值得注意的是，特殊事物不一定多個，也可以是某個極端的，或具有主導性的.(2)類比：分析比較兩類事物間的相似屬性，從而聯想到它們在其它屬性上也有相似之處.

例如，一個主導作用的歸納[18]：面α和面β的夾角是θ，面積為A的多邊形在面α內，猜想其投影在面β所形成的圖形的面積是多少？矩形是一種便于處理且主導的特殊情形，底邊平行于面α和面β的交線l，設底邊為a，高為b，則投影圖形的底邊為a，高為bcosθ，面積為abcosθ.這可以推廣到一直角邊平行于交線l的直角三角形的投影面積，再推廣至任意三角形的投影面積，進而推廣至多邊形的投影面積為Acosθ.

3.2 內涵成分再探

表3 可能的內涵成分解釋

根據以上研究結果，運用探索性因素分析法提取整合數學歸納推理能力的主成分.探索性因素分析法的八個原始變量為：分析、比較、分類、聯想、概括、類比猜想、歸納猜想、驗證.反映象相關矩陣(表4)良好，主對角線元素的絕對值均大于0.6，基本大于0.8，主對角線外的元素絕對值絕大部分較小；KMO=0.768以及Bartlett球體檢驗的p值小于0.05.以上三個考慮因素均認為該問卷的數據適合做因素分析.通過主成分方法，結合先前的文獻分析和表5的累積方差貢獻率，相比于2個主成分而言，抽取4個主成分更好(此時的累積方差貢獻率為84.141%).

表4 反映像矩陣

表5 解釋的總方差

由于成分矩陣的維度與成分之間的關系糅合在一起，不明顯，成分解釋難度加大，故借助旋轉變換方法得到旋轉矩陣(如表6).成分1對“聯想”、“概括”、“類比猜想”三個維度的載荷較大，命名成分1為聯想類推；成分2對“觀察分析”、“比較”、“歸納猜想”三個維度的載荷較大，命名成分2為比較遞推；成分3對“分類”維度的載荷較大，命名成分3為分類；成分4對“驗證”維度的載荷較大，命名成分4為驗證.

表6 抽取4個成分的旋轉矩陣

4 研究結果二：高二學生數學歸納推理能力的表現

數學歸納推理能力的主成分包括分類、聯想類推、比較遞推、驗證，學生在這四個主成分的表現如何？四個主成分間有何關系？本研究將學生測試成績的總分、成分1得分、成分2得分、成分3得分、成分4得分作為變量，對368份測試樣本進行聚類分析.借助兩次聚類分析分別得到這四個主成分下的學生表現層次以及不同主成分之間的關系，得到以下數據結果.

4.1 高二學生數學歸納推理能力的表現層次

為了對學生的數學歸納推理能力按照各成分進行分層，用距離表示樣本之間的關系，具體方法為：平方歐氏距離.由表7可見，第365步到第366步的聚類系數變化(7.331-5.921=1.41)與第364步到第365步的聚類系數變化(5.921-5.288=0.633)的相差較大，認為聚類為3類是合理的.再者，考慮到層次區分在實際操作的便利與明顯，本研究將數學歸納推理能力的表現劃分為三個層次.

表7 聚類表

根據以上分類結果，統計三個類別下學生的得分均值與得分率，如下表8：

表8 三個類別下的各變量得分均值與得分率

4.2 高二學生數學歸納推理能力的不同成分之間的關系

數學歸納推理能力的四個主成分可分別劃分三個層次，反映學生可能處于的不同認知階段，以及在這些主成分的表現有何特點.除此之外，主成分間存在怎樣的關系？此時，學生的得分高低不是主要關注點，關注的是學生各個變量上分數的相似程度，也即各成分間有何關系.為此，本文選擇用相似系數描述樣本之間的關系，具體方法為：夾角余弦.

表9顯示了層次聚類分析的聚類過程，類與類之間的距離采用一種使用較廣、聚類效果較好的方法——類平均法.相鄰步驟聚類系數的變化遠大于前面相鄰步驟聚類系數的變化，這在統計意義上認為聚類分析進行到這一步是較為合理的.[19]由表9可知，第364步到第365步的聚類系數變化(0.524-0.333=0.191)遠大于第363步到第364步的聚類系數變化(0.525-0.524=0.001)，認為聚類為4類是合理的.

表9 聚類表

根據以上分類結果，統計四個類別學生的各成分與總成績的得分均值和得分率，如下表10：

表10 四類情況的各變量得分均值與得分率

5 研究結論

(1)數學歸納推理能力內涵體現結論的或然性及推理的邏輯性，主成分明確推理關鍵環節

內涵界定中的猜想合理性要求學生意識到結論是或然成立的，從特例(或一類事物)的性質到包含這些特例的一類事物(或具有共同屬性的其他類事物)的一致性質猜想，揭示了推理的邏輯性.

數學歸納推理能力的四個主成分——分類、聯想類推、比較遞推、驗證是對假設成分的整合，突出歸納推理過程的重點與核心.前三個主成分屬于從特殊到一般情形的猜想過程.分類是此過程的初始階段，學生依據特例或某類推廣，確定一類事物或其他類別，是對研究對象的分類，從而更有利于學生得到更可靠的猜想.聯想類推和比較遞推均是第二步，二者沒有明顯的遞進關系.聯想類推注重聯想，更適合用于通常所說的類比推理；比較遞推關注性質的比較，更傾向教學中所理解的狹義歸納推理.驗證是猜想的檢驗過程，是對猜想可靠性和合理性的解釋和說明，體現歸納推理結論的價值.

(2)數學歸納推理能力具有明顯的三個層次

通過聚類表(表7)，將樣本學生群體分成三類，分析數學歸納推理能力的各主成分表現.類別1的各項得分均值均低于類別2和3；三個類別在“分類”成分的得分均值差別較小；類別3的“驗證”成分得分率遠高于類別1和2的.再統計各成分下各類別學生大部分集中于哪個分數段，并分析這些學生的具體作答情況.以“分類”成分為例，思考平面中的直角三角形對應于空間中的哪種四面體時，類別1的學生較容易選擇所有四面體，或有一個面是直角三角形的四面體；類別2的學生會考慮空間和平面的關系，選擇有兩個面互相垂直的四面體；類別3的學生會選擇三個面兩兩垂直的四面體.以此，概括數學歸納推理能力的“分類”、“聯想類推”、“比較遞推”、“驗證”成分的三個層次(表11)，該層次揭示了學生對事物的認識深刻程度，對簡單和復雜問題的解決程度.

表11 表現層次

(3)數學歸納推理能力的“聯想類推”與“比較遞推”不存在明顯關系，但與“分類”相關

第二次聚類分析關注數學歸納推理能力不同成分之間的關系，也即取樣學生數學歸納推理能力各成分得分的波動相似程度.結合表10以及學生具體作答情況，得到以下結論：

學生在聯想類推方面的表現與比較遞推方面的表現不存在一致的強或弱.由表10可見：類別③的聯想類推和比較遞推的得分均值整體較高，超過類別②和④；但另一種情況更為明顯：學生類別②的“聯想類推”成分得分均值比類別④多，但“比較遞推”成分得分均值比類別④少；同樣，學生類別①和②之間、類別②與③之間的聯想類推和比較遞推的得分均值高低明顯相反.進一步分析學生具體作答情況，例如，多數類別④學生能分析有n個實根的一元n次方程，猜想根與系數關系，但平面的結論類比至空間結論時，卻進行無關聯想；又或者，多數類別②能推廣出平面到空間的較為普遍結論，但對于一元n次方程，只分析n=1，n=2的情形.本研究的歸納推理采用學界的廣義觀點，也即“2017數學課標”表述的“從特殊到一般的推理”，有兩種推理方式：歸納和類比，此處的歸納是狹義的觀點，本文的比較遞推是其具體形式.數學教育把類比推理作為一類特殊的歸納推理，特別強調也就不足為奇了.對學生而言，類比推理的難度較大，往往是聯想強弱的緣故.

分類對聯想類推的影響存在兩種情況：(Ⅰ)學生對事物的分類較弱時，其聯想類推也較弱；(Ⅱ)當分類的水平較強時，對聯想類推的影響不明顯.表10顯示，學生類別④和其他類別的“分類”成分得分均值相差較多，“聯想類推”成分也如此；但類別①，②和③的“分類”和“聯想類推”成分得分均值沒有呈現一致的高或低.再結合學生具體作答情況，“分類”成分在6分及其以下的學生，其聯想類推的得分也相對較低，例如，沒有發現需要類比的性質，答非所問.“分類”得分6分以上的取樣學生，其聯想類推的得分波動較大.

6 討論

隨著“2017數學課標”的發布，六大數學核心素養的理論研究及其在實踐中的真正貫徹落實成為關注的熱點.核心素養的重要組成部分是關鍵能力，數學歸納推理能力作為邏輯推理素養的一部分，研究清楚數學歸納推理能力的內涵和學生表現無疑對課程實施以及教學實踐有重要意義.與已有研究相比，本研究的貢獻主要有以下方面：

(1)從理論上析出了數學歸納推理能力的主成分，為實踐中有目的地指導學生提供了方向

數學歸納推理能力的主成分包括分類、聯想類推、比較遞推和驗證，細化了“2017數學課標”的邏輯推理素養主要表現關于歸納推理的部分.這并不代表全面的數學歸納推理能力，而是強調在高中數學教育階段，對學生數學歸納推理能力的發展起關鍵作用的不可或缺成分.主成分有利于教師在有限的時間內對學生的數學歸納推理行為做出快而準的觀察與分析，發現學生的薄弱之處，從而有針對性地引導學生排除障礙；另一方面，面面俱到地評價學生的數學歸納推理能力，是困難的、不切實際的，而數學歸納推理能力的主成分可以為教師提供幾個重要方面，著手評價.

(2)聚類得到數學歸納推理能力的表現層次，體現學生認知的規律性

數學歸納推理能力的三個層次是針對四個主成分進行展開的，體現了學生不同歸納推理認知階段的特點，同時也顯示了學生的發展規律，由表象到本質，由簡單到復雜.例如，“分類”的層次揭示對事物認識的深刻程度，依次為：不能發現兩類研究對象的關系、發現兩類研究對象的非本質相似之處、發現其本質相似處或一致性.“比較遞推”的層次體現學生對簡單和復雜事物的解決順序，依次為：可分析簡單熟悉的特例、將簡單特例的情形遷移至其他特例、將特例推廣至一般情形.細化和補充“2017數學課標”關于邏輯推理素養的水平劃分；有利于教師分層教學，從而有效提高學生的數學歸納推理能力.

(3)分類是數學歸納推理能力基礎且重要的部分

發展學生的數學歸納推理能力時，注重“分類”成分的基礎性是必要的.聯想類推的提升需要較強的分類.分類是在認識事物的相似和差異的基礎上，對事物進行歸類；聯想是通過熟悉的類別來思考一個新的類別，主要聯系這兩個類別的相似性.本研究結論發現，學生對事物的分類較弱時，其聯想類推也較弱；當分類的水平較強時，對聯想類推的影響不明顯.這現象反映，在進行類比推理初期，學生更需要學會如何分類；分類到達較好的水平時，學生學習如何聯想更有利于提高類比的能力，例如主動聯想、相似聯想和大跨度聯想.也即，培養學生的數學歸納推理能力并不是一蹴而就的，需講究策略.

總之，數學歸納推理能力研究可進一步推動數學核心素養的進展，但仍需從理論和實踐兩方面相互推進.本文的四個主成分呈現了學生數學學習的重要思維方式，例如，抓住問題的本質、建立待解決問題與熟悉問題的聯系、用質疑的眼光看待問題等，與數學“三會”相一致，是數學核心素養的具體體現.主成分下的三個層次水平不局限于數學知識考核，轉而關注學生的數學學習與思維過程，朝著數學核心素養測評的方向前進.朱立明[20]提到，深入數學核心素養的結構關系是其研究趨勢之一，目前關于內涵、要素、測評等研究方面仍處于淺層階段，需要不斷挖掘與驗證.因此，本文不僅補充和豐富邏輯推理素養的研究，也進一步推動數學核心素養的進展.未來，這四個主成分的創新方面也是今后進一步的研究方向.創造性的概括、類比和模式對創新的歸納推理至關重要[21].什么是創造性的分類、聯想類推、比較遞推和新穎的檢驗猜想思路，仍值得研究，這對于發展學生的創造能力具有重要作用.又如，分析學生在各種歸納推理任務情境下的表現，可以更好地補充和完善數學歸納推理能力的主成分.