數學單元教學設計的標準與案例

何小亞 張 敏 李湖南 羅 靜 張艷虹

(華南師范大學數學科學學院 510631)

數學單元教學設計指的是，對中小學數學教材中若干小節或一章的內容進行的整體性設計.數學單元設計能解決數學概念原理孤立分散、輕重不分、認識膚淺等問題.通過數學單元設計，能抓住核心概念、原理及其邏輯聯系，深化數學知識的理解，整體把握知識體系，最終達到華羅庚先生的“把書讀薄”之境界.下面，以人教版高中數學新教材第五章三角函數[1]為例，介紹數學單元教學設計的標準.

1 課程教材分析

(1)基本內容：把單元基本內容以結構框架或思維導圖的方式呈現出來.

三角函數章節知識內容結構

(2)核心內容：篩選出核心概念、核心原理，明確數學主線.

A.核心概念：單位圓、弧度制；正弦、余弦、正切函數.

B.核心原理：正余弦平方關系、弦切關系；誘導公式；兩角差的余弦公式.

C.數學主線：基本初等函數是函數家族中最簡單的函數.在數學世界和真實世界中，有許多難題最終要化歸為復雜的函數問題，而面對復雜的函數問題，我們必須將此函數問題化歸為簡單的基本初等函數問題，從而使難題獲解.本單元簡單化的思路：一是角度層面，把任意角化歸為銳角處理；二是函數層面，把復雜的三角函數化歸為簡單的正弦、余弦、正切函數處理.

(3)地位作用：厘清單元知識的前后聯系；明確跨學科的、知識應用的橫向聯系；把握單元內容的功能定位.

初中是在初三的圖形與幾何—圖形的變化—圖形的相似中介紹了銳角三角函數(sinA，cosA，tanA).高中的三角函數是初中的三角函數的推廣深化(銳角推廣為任意角；角度推廣為實數).單位圓在三角函數單元中處于聯系的中心地位，借助單位圓，引入弧度制和同角三角函數的基本關系；直觀簡潔地揭示了正弦、余弦、正切函數的定義和性質；利用單位圓的對稱性，證明了誘導公式.用三角函數模型能解決大量的周期性問題.借助于信息技術的支持，三角函數模型能解決大量復雜的實際問題.

2 教學目標分析

結合課程標準的要求[2]，按照三維目標的操作性理論[3]去明確、分析.

2.1 知識與技能

言語信息；認知技能；動作技能.主要回答知道什么？理解什么？會做什么？

(1)任意角和弧度制

理解任意角的概念和弧度制，以及引入弧度制的必要性,會做弧度與角度的互化.

(2)三角函數

①借助單位圓理解任意角三角函數的定義；②借助單位圓中的三角函數線推導出誘導公式,并畫出三角函數的圖像；③借助圖像理解正弦函數、余弦函數在[0,2π],正切函數在(-π/2,π/2)上的性質(如周期性、奇偶性、單調性、最大最小值，等等)；④理解同角三角函數的基本關系式；⑤借助計算機畫出y=Asin(ωx+φ)的圖像,觀察3個參數對函數圖像變化的影響；⑥能用三角函數解決簡單的實際問題,知道三角函數是描述周期變化的函數模型.

(3)三角恒等變換

①用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程；

②能用兩角差的余弦公式推導出兩角和與差公式，倍半角公式；

③運用公式進行簡單的恒等變形(包括推導出積化和差、和差化積、半角公式).

2.2 過程與方法

數學教學不能只滿足于“雙基”(基礎知識和基本技能)的教學，還應該通過大大小小的環節去追求更高大上的目標：數學思想方法的把握；數學問題解決與思維品質的改善；數學能力(含數學關鍵能力——數學核心素養)的提升；數學眼光的形成；基本活動經驗的積累.

A.數學思想方法：化歸思想、函數思想、方程思想；數形結合、分類討論、換元法、待定系數法.

B.數學問題解決與思維品質的改善：數學思維品質，可以從廣闊性、深刻性、靈活性、獨創性、批判性、嚴謹性這些角度去思考.

給學生提供情境新穎的問題，讓其獨立解決問題，可以有效地提升其數學問題解決能力.例如，已知tan2θ=2tanθ+1,0<θ<2π.(1)求tan2θ的值；(2)若tanθ=2+tan3θ,試求出滿足題設條件的θ，并將其表示為有理數與π的積的形式.

C.數學能力：數學核心素養(關鍵能力)可以在此體現，但不必面面俱到，應該有所側重.例如，本單元比較突出的是：

幾何直觀：借助單位圓直觀地認識任意角、任意角的三角函數,理解三角函數的圖像及性質、誘導公式等恒等變換,從而理解三角函數在一個周期上的周期性、單調性、最大值、最小值、圖像與x軸的交點等性質.

數學建模：將三角函數作為刻畫現實世界的數學模型.首先提供豐富的實際背景,通過概括、抽象和分析,建立相應的三角函數模型,其次運用數學的思想方法研究三角函數模型,最后利用三角函數模型去更好地解釋實際問題.這種處理體現了數學知識的發生、發展過程,有助于學生理解數學的本質.

D.數學眼光：就是觀察數學世界和真實世界的一種意識，是在思考問題時數學方面的自覺意識、關注和習慣.包括：精確的眼光、嚴謹的眼光、簡潔的眼光、概括的眼光、統一的眼光[4]；理想化的眼光(將實體簡化假設為幾何模式或代數模式)、共性化的眼光(對共同屬性的敏感和發現)；數的意識、符號的意識、空間觀念、數據分析的意識、數學應用的意識.

三角函數單元在形成簡潔的眼光；概括的眼光、統一的眼光、理想化的眼光方面應該發揮重要的作用.

E.基本活動經驗：通過三角函數的應用，積累問題解決和數學建模的經驗.

2.3 情感態度價值觀

數學信念、數學興趣、數學具體內容的喜好與感受.

追求簡單化是數學的靈魂；化歸是將復雜變簡單的利器；感受三角公式的概括性(以一個有限的模式駕馭無窮的具體)；佩服正弦、余弦兄弟超強的數字壓縮功能；喜歡單位圓(數學小可愛“園園”)強大的統一聯系功能；崇拜正切變換“盼盼”，他能帶領正弦余弦兄弟由[-1，1]穿越到浩瀚的實數空間(-∞,+∞).

3 重點數學解析

3.1 函數概念的本質

初中的銳角三角函數是用直角三角形中的邊之比來定義的，其中自變量的取值是60進位制的角度、不是10進位制的實數，是函數的變量說，不符合高中的對應關系函數定義.高中的函數必須是兩個非空實數集合之間的對應，因為只有這樣才能進行基本初等函數的運算(四則運算、復合、求反函數等).

高中的三角函數是通過角的終邊與單位圓交點的縱橫坐標及其比來定義的，受制于初中函數變量說定義的局限性，這里師生容易誤將變量當成函數，而且難以理解變量x是角變量的函數.

突破難點對策是：通過冪函數、指數函數和對數函數的學習，使學生能夠理解：“函數是兩個非空數集之間的一種對應關系；在一個集合中任意取定一個數，總可以在另一個集合里找到唯一確定的數與它對應；前面的集合叫定義域，那些被唯一確定的所有數組成了叫做值域的集合；函數概念的關鍵是由誰唯一確定了誰；函數概念與兩個變量所用的符號沒有什么關系，就像人的名字一樣(圓面積S是半徑r的函數，這里并沒有x、y)；函數其實就是一個系統，一臺機器，它由兩個變量，兩個非空數集，對應法則f(比如乘2加3，平方，表格對應，箭頭對應，……)構成，不能把函數值f(x)當成函數,也不能把對應法則f當成函數.我們可以說一個變量是另一個變量的函數，但不能把變量x、y當成函數，因為函數不是變量，而是一個系統.”[5]

用單位圓來定義正弦、余弦、正切函數，似乎簡單了，但其應用的功能減弱了，因為對于一個角的終邊上，不在單位圓上的那些點的坐標條件的應用還是需要單位圓定義的三角函數坐標.因此，為了提高定義的應用功能以及“大道至簡”的原則，在利用相似三角形的性質講初中的三角函數定義與高中的新定義的聯系和統一時，順勢引入三角函數的終邊定義，并指出兩種定義的等價性.

3.2 角度制與弧度制

角度制適用于初等數學.用角度作為自變量表示三角函數，除了函數定義的缺陷外，還存在著另外一個問題，就是自變量的值與函數值不能進行運算(例如，60°與 sin 60°不能相加，阻礙了三角函數通過運算法則形成其它初等函數.

正是由于更簡潔這個原因, 在現代數學的文獻中, 與三角函數有關的量一律采用弧度制.

“弧度制是高中數學中另一個與接受假設相關的重要概念，由于教學中處理不當，學生難以理解引入弧度制的必要性與合理性.角度制是同一量綱范疇下的度量，學生可接受理解，但弧度制則是不同量綱范疇下的度量，學生難以理解和接受.例如，對于1800=π，學生的困惑是：左邊是一個角度，右邊是一個實數，怎么可能相等?事實上，學生的質疑是有道理的，這個等式的相等其實只是一一對應.要解除學生的困惑，首先是對“=”的理解需要從算術意義跨越至代數意義.”[6]

其次，教師可以如此說明：分別以米和厘米量一段3米長的鐵絲時，結果分別是3份和300份，即3米=300厘米.用周角的360分之一,即1度角作為一個單位去度量周角，得到360度.用1度角作為一個單位去度量周角，等價于用圓周長的360分之一(即1份)去度量了圓周長，得到了360份，而用半徑r作為一個單位(弧度)去度量圓周長2πr，得到2π份(弧度)，所以，360份=2π弧度，3600=2π弧度，即1800=π.

解決引入弧度制的必要性與合理性問題，一條思路是按照弧度制發展的歷史設計教學[7]；另一種方法是借用汽車里程表模型來說明弧度制的必要性與合理性.

3.3 對三角公式的重新審視

本單元核心的數學原理：正余弦平方關系、弦切關系；誘導公式；兩角差的余弦公式.

誘導公式是化歸的神器，能將復雜的任意角的三角函數的推理計算化歸到簡單的第一象限角的三角函數的推理計算.

兩角差的余弦公式則是兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，倍角公式，以及積化和差與和差化積等三角變換的核心公式，由其可以推演出后續其余的公式.

公式是一種數學原理，原理學習的本質是[8]P60-63：

(1)原理學習實際上是學習一些概念之間的關系；

(2)原理學習不是習得描述原理的言語信息，而是習得原理的心理意義，它是一種有意義的學習；

(3)原理學習實質上是習得產生式：只要條件信息一滿足，相應的結論的行為反應就自然出現.學習者據此指導自己的行為并解決遇到的新問題；

(4)習得原理不是孤立地掌握一個原理，而是要在原理之間建立聯系，形成原理網絡.

數學原理學習的核心是要幫助學生把握原理結構的不變性，理解數學原理的概括性(即：以一個有限的原理模式駕馭無窮的具體)，以及表達這一不變性的多樣性.

小學、初中、高中、大學的數學公式的學習，本質是一樣的，也就是：結構的確定性與字母的可變性！例如，學習兩角和的余弦公式，就要擺脫符號的約束，構建結構圖式：

cos﹙□+△﹚?cos□cos△-sin□sin△.

3.4 三角變換的透視與數學證明的本質

正弦、余弦變換是周期性壓縮變換：R→[-1,1]，但不可逆，因為它不是1-1對應；

正切變換：(-π/2, π/2)→R，是1-1對應，可逆.正切值?實數；

通過三角變換的相關證明，要讓學生明白：數學證明的本質是尋求題設和結論之間的邏輯聯系.學會數學證明的思維方式：由因導果，執果索因，上下緊逼，前后夾攻，思路貫通.

教師心中要非常清楚數學證明的教育價值：(1)理解、深化數學概念；(2)鞏固、掌握數學原理；(3)獲得數學證明的思維方式；(4)訓練提高推理能力，培養理性精神；(5)學會邏輯地表達交流；(6)理解命題，相信數學結論，獲得數學自信.