指向數學核心素養的任務設計
——以球面距離教學為例

周寧醫

(上海市浦東教育發展研究院 200127)

1 引言

隨著《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《數學課程標準》)的頒布，一個迫切需要研究的問題顯現出來，就是如何在課堂教學層面上培養學生的數學核心素養？與之前的課程標準相比較，新的課程標準在指導思想、課程理念、教學方式、教學評價等方面發生了變革，要使新的課程改革真正落實，課堂教學的研究必須先行.

《數學課程標準》提出了6個數學核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析，并且規劃好了路線圖：反映數學學科核心素養的四個方面，它們分別為“情境與問題”、“知識與技能”、“思維與表達”、“交流與反思”；聚焦數學學科核心素養的四個主題，它們分別為函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動；評價數學學科核心素養的三個水平[2].美好的藍圖需要依托日常教學的呈現來達到培養數學學科核心素養之目的.數學核心素養是在學習過程中形成的，不能脫離內容與過程.教師應該明確不同的學習主題對核心素養的培養有所側重.如：幾何與代數主題，重點提升的是直觀想象、邏輯推理、數學運算和數學抽象素養；概率與統計主題，重點提升的是數據分析、數學建模、邏輯推理和數學運算素養.可見，主題和六個方面的數學核心素養之間并不是一一對應的關系.了解了這些特點，教師就需要深入研究數學核心素養達成的任務設計，只有這樣，才能提高教學的針對性，實現精準培養.

“指向數學核心素養的任務設計”類似于項目學習：一是把握數學內容的本質；二是創設適合的教學情境(包括現實情境、數學情境、科學情境等)，提出合理的問題，引導學生學習相應的數學理論(中學數學課本范疇內的概念、公式、法則等)；三是啟發學生獨立思考，鼓勵學生參與集體交流；四是讓學生在掌握數學知識和技能的同時，感悟數學的本質，讓學生在積累數學思維經驗中，逐步習得數學核心素養.

本文以“球面距離”教學為例，呈現“指向數學核心素養的任務設計”的過程.筆者認為，以課堂教學為陣地，以數學內容為主線，以情境與問題、知識與技能、思維與表達和交流與反思為路徑，在潤物細無聲處培育數學核心素養.

2 情境與問題

(1)情境

人民網約翰內斯堡2015年10月30日電，2015年是南非的“中國”年，當地時間10月30日上午8點10分，迎著非洲大陸最南端美麗的晨曦，中國國際航空股份有限公司北京—約翰內斯堡CA867/B2035次首航航班波音777-300ER“微笑中國號”平穩地降落在約翰內斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機場，標志著中國國航開通北京至約翰內斯堡這條新航線首飛成功.

航班號為CA867/B2035的波音777-300ER型客機于北京時間10月29日23時15分從北京首都機場起飛，于次日當地時間7時35分到達約翰內斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機場.

(2)問題

如何設計從北京直飛約翰內斯堡的最近航線.

3 知識與技能

3.1 知識

平面上的兩點之間線段最短，該線段的長度就是兩點之間的距離.類似地，要定義球面上兩點之間的距離，也應該在球面上找到聯結兩點的最短距離，該路徑長度就是球面上兩點之間的距離.可以證明，在聯結球面上兩點的路徑中，通過該兩點的大圓劣弧最短，因此該弧的長度就是這兩點的球面距離[3].

3.2 技能

例1已知地球的半徑約為6371千米，上海的位置約為東經121°27′，北緯31°8′，臺北的位置約為東經121°27′，北緯25°5′，求兩個城市之間的距離(結果精確到1千米)[4].

解：因為上海和臺灣在同一經線上，所以它們在地球的同一個大圓上.設地球的球心為O，上海、臺北分別為點A、B，由上海、臺北的經度知，∠AOB=6°3′,地球半徑r=6371千米.可計算得AB的弧長

所以上海和臺北兩個城市之間的距離約為672千米.

例2已知北京的位置約為東經116°，北緯40°，紐約的位置約為西經74°，北緯40°.求兩個城市之間的距離(結果精確到1千米)[5].

分析：雖然北京和紐約在同一條緯線上，但這條緯線并不是地球的大圓，所以要找到通過北京和紐約的大圓.

由已知條件知

∠AOC=∠BOC=40°,

∠COD=360°-(116°+74°)=170°，

地球半徑r=6371(km).

由余弦定理得

AB2=CD2

=OC2+OD2-2OC·OD·cos ∠COD,

其中OA=OB=r，OC=OD=rcos 40°.

所以北京和紐約兩個城市之間的距離約為11062千米.

4 思維與表達

4.1 整理思維

通過上述兩例學習，已初步掌握了地球上同經度或同緯度兩點的球面距離計算.那么，地球上任意兩點的球面距離如何計算呢？

4.2 數學建模

一般地，設地球上不同兩點A，B，點A的經度為α、緯度分ψ，點B的經度為β、緯度為φ，地球半徑為R，試求A，B兩點的球面距離.

為了方便表達，約定東經、北緯為正角，西經、南緯為負角.

如圖，取球心O為原點，經度為0°的大圓與赤道平面的交線為x軸，赤道平面內過球心O且與x軸垂直的直線為y軸，過球心O與北極N的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則點A，B的球面坐標分別為：

A(R·cosψ·cosα,R·cosψ·sinα,R·sinψ),

B(R·cosφ·cosβ,R·cosφ·sinβ,R·sinφ).

所以

=R2[cosψ·cosφ·cos(α-β)+sinψ·sinφ].

設∠AOB=θ，

=cosψ·cosφ·cos(α-β)+sinψ·sinφ，

cos(α-β)+sinψ·sinφ].

其中，當|α-β|≤π(180°)時，則取|α-β|;當|α-β|>π(180°)時，則取2π-(|α-β|)(或 360°-|α-β|).

推論1當A，B兩點同經度時，則α=β，

cos(α-α)+sinψ·sinφ]

=R·arccos(cosψ·cosφ+sinψ·sinφ)

=R·arccos[cos(ψ-φ)]

例1屬于此類型.

推論2當A，B兩點同緯度時，則ψ=φ，

=R·arccos[cos2φ·cos(α-β)+sin2φ]

例2屬于此類型.

4.3 問題解決

4.3.1 信息收集

根據中華地圖學社提供，北京首都機場位于：東經116°36′，北緯40°5′，翰內斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機場位于為：東經28°14′，南緯26°8′.

查閱360百科知，民航客機起飛和降落階段處于對流層，在平流層都是巡航階段，也是飛機平飛階段，民航客機一般巡航在一萬米左右高空，飛行速度一般為900 km/h左右.

4.3.2 基本假設

(1)在中學視域下，把地球抽象成一個球體(實際上地球是一旋轉橢球體，赤道半徑為6378km，極半徑為6357km)，地球自轉因素不考慮.

(2)假設飛機在飛行過程中速度變化不大，看作勻速飛行.

(3)假設飛機飛行高度恒定，始終為距地表10千米.

(4)假設飛機正常飛行，不會發生突發事件以及天氣變化等.

4.3.3 模型運用

根據收集到的信息：北京首都機場坐標B(116°36′,40°5′)，約翰內斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機場坐標Y(28°14′,-26°8′)，飛機巡航高度h=10千米，地球半徑R=6371千米，飛機巡航時沿大圓半徑H=R+h=6371+10=6381千米飛行，飛行速度v= 900 km/h.代入模型：

cos(116°36′-28°14′)-sin 40°5′·

sin 26°8′]

≈11728(千米)，

所以，從北京首都機場到約翰內斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機場的飛行時間大約需要13個小時.

5 交流與反思

5.1 誤差分析

根據人民網報道：航班號為CA867/B2035的波音777-300ER型客機于北京時間10月29日23時15分從北京首都機場起飛，于次日當地時間7時35分到達約翰內斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機場(北京與約翰內斯堡時差6小時).

也就是說，航班號為CA867/B2035的波音777-300ER型客機，從北京直飛約翰內斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機場用時14小時20分鐘.根據球面距離計算模型計算，從北京首都機場直飛約翰內斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機場，大約需要13個小時，之間還相差1小時20分鐘.

根據球面距離計算模型，計算的是北京首都機場萬米高空處到約翰內斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機場萬米高空處的飛行時間.事實上，飛機在機場跑道上滑行加速，然后仰沖飛行穿過對流層進入平流層巡航，飛機在對流層的速度是小于在平流層的速度；同理，飛機在到達目的地前需要俯沖飛行穿過對流層降落在機場跑道上，滑行減速后才停住.坐過飛機的人都知道，飛機在到達目的地前30分鐘開始俯沖下降.

根據以上分析，準確地說，從北京到約翰內斯堡的時間 = 滑行加速時間 +仰沖時間 + 巡航時間 + 俯沖時間 + 滑行減速時間，因此，球面距離計算模型所計算的時間為巡航時間.

所以按球面距離計算模型設計從北京直飛約翰內斯堡的航線是可信的.

5.2 模型反思

球面距離計算模型，默認了球面距離定義中“在聯結球面上兩點的路徑中，通過該兩點的大圓劣弧最短”的事實，事實果真如此嗎？還有待于證明.

證明如圖，聯結OO1，O1A，O1B，OA，OB，取AB的中點C，聯結O1C，OC，則O1C⊥AB，OC⊥AB.

(1)當a

設∠AO1C=α，∠AOC=β，

(2)當a=R時，顯然，L1=L.

故球面距離定義中“在聯結球面上兩點的路徑中，通過該兩點的大圓劣弧最短”成立.

6 后語

《數學課程標準》提倡引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界.本課題的任務設計是基于對生活實際問題的思考，揭示學習“球面距離”的必要性.受平面上兩點之間距離定義的啟發，類比想象曲面上兩點之間距離的定義方法，在體驗與感悟中學習知識、掌握技能、培養能力.通過對解題思維的整理，引發深度思考，從而尋找球面上任意兩點之間距離的計算方法，進而系統地開展數學建模活動.數學建模過程，需要有豐富的想象、直觀的抽象、縝密的思考、嚴格的推理、準確的運算、信息的處理等作為基礎，才能建立可靠的模型.在運用球面距離計算模型解決實際問題時發現：理想狀態與實際情況存在偏差、要注意建立數學模型的條件等，這些都需要做出合理的解釋和必須的證明.

因此，經歷“情境與問題”、“知識與技能”、“思維與表達”和“交流與反思”的過程是培養數學核心素養的基本方法和路徑.