課堂教學中的困惑與對策

張躍紅

(南京師范大學附屬中學 210003)

一線教師每天都與課堂教學打交道，難免會遇到各種各樣的困惑.在這些困惑中，有些是共性的，也有些是個性的.針對困惑，教師也有著各自不同的處理辦法.本文結合筆者的教學實踐，針對在課堂教學中通常會出現的困惑，談一些想法及做法與同行交流.

1 有關探究的困惑與對策

眾所周知，數學探究是高中數學課程中引入的一種新的學習方式，它有助于學生初步了解數學概念和結論產生的過程，初步嘗試數學研究的過程，有助于發展學生的創新意識和實踐能力.

但是要不要探究？如何探究？一直是困擾著一線教師的問題.因為有些教師在課堂教學中，實施的探究活動并未達到良好的教學效果，不但浪費了大量的教學時間，影響了教學進度，同時也讓學生失去了參與的興趣，挫傷了教師的積極性，探究活動則變成了“雞肋”，食之無味，棄之可惜.

真正的探究活動要“探”在能力的獲得上.教師首先要想清楚，通過探究活動要培養學生哪些方面的能力.同時，也要考慮學生自身能力、教學內容、教學時間等方面因素的影響.首先，探究教學需要學生具備相當的知識儲備和較高的思維水平，因為只有達到了一定的水平，才能真正探究起來，否則就是被教師“牽著鼻子走”進行假探究”；其次，探究式教學內容不宜過深和過淺，否則都會變成“假探究”.內容過淺，沒有探究的必要；過深，學生聽教師講解尚且困難，自己探究更會困難重重；最后，由于探究式教學往往費時很多，就要選擇合適的時機，同時也可以適當地調整教學形式；如果課堂時間有限，可以把學生分成小組，利用課余時間進行探究活動，課內進行展示.

鑒于此，可以把“正弦定理”一課設計成“研究三角形邊角關系”的單元教學課.

本節課采用探究式教學方法.教師將學生分成若干小組，利用課余時間進行探究.課堂上采用小組匯報的形式，交流展示他們的研究成果.

整節課分成以下4個環節.

環節1 小組匯報 展示成果

學生通過探究發現三角形的邊角關系中，存在三個定理，分別是：

參與匯報的小組，主要呈現出三種得到這些定理的方法，分別是：

(1)將一般三角形化為特殊三角形(化斜為直)，通過直角三角形的邊角關系得到三個定理；

(2)借助向量進行研究，通過將向量等式數量化的方法(即將向量等式平方，或者利用數量積運算)得到定理內容；

(3)借助坐標系進行研究，通過建立平面直角坐標系，利用等面積法，或者距離公式得到定理內容.

環節2 回顧過程 反思方法

教師請同學們回顧，是如何想到利用構造直角三角形、向量和坐標系的方法來研究三角形邊角關系的？

設計意圖是挖掘各種研究方法背后隱藏的“金子”，使研究方法系統化，進而形成學生自己的研究能力.

各個小組的代表分別談了他們的想法：(1)“化斜為直”是“一般”到“特殊”思想方法的體現；(2)向量具有“代數”與“幾何”特征，是解決三角形問題的有利工具；(3)坐標系是將“幾何問題”轉化為“代數問題”的有效途徑.同時，每個小組又對不同研究方法進行了比較、分析，指出各種方法的利弊以及需要注意的問題.

環節3 觀察定理 思考用途

教師引導學生觀察這三個定理的結構特征及用途，并歸納總結出應如何觀察等式特征，從哪些角度進行觀察；如何使用這三個定理解決問題，以及使用時需要注意的問題，教給學生方法.

環節4 領悟聯系 拓展延伸

教師引導學生再研究：

(1)每個定理都有三個等式，等式之間是否可以相互轉化？

(2)三個定理之間是否存在某種聯系？

學生們經過討論研究發現，每個定理的三個等式可以相互轉化，知道其中兩個就可以得到第三個.三個定理間存在聯系，三個定理之間可以相互證明，即用正弦定理可證明余弦定理，用余弦定理可證明射影定理，等等.

2 有關概念教學的困惑與對策

概念是思維的細胞，理解概念是所有數學活動的基礎，只有在概念清晰的條件下，才能進一步開展其他的數學活動，概念課的重要性是不言而喻的.

“函數的單調性”是函數概念的下位概念，它比函數的概念容易理解，但很重要，在數學中具有核心地位.有教師這樣設計這節課：上課伊始，教師給出幾個函數的圖象，讓學生觀察圖象的特征，然后給出函數單調性的定義.之后，教師對定義中的關鍵詞“任意的”進行特別強調，提醒學生注意，接下來進行鞏固練習.

但令人困惑的是，教師自認為已經講得明明白白，學生也把概念背得滾瓜爛熟，但在練習時要么錯誤百出，要么沒有解題思路，無從下手.經過教師講解，學生似乎又“明白了”，一旦自己獨立完成，問題又來了.為什么學生明明知道函數單調性的定義，卻不能利用它來解決問題呢？

究其原因，學生沒有理解概念的本質.因為概念是教師“拋給”學生的，不是通過自己的理解建立起來的.眾所周知，概念越是基本，其應用范圍就越廣，學生通過對這些概念的學習，所感悟到的數學就越本質.由此而養成的思維習慣及思維方式，將會對學生的終身發展產生根本性的影響.但往往越是基本的概念越容易被教師“一筆帶過”，因為教師認為概念是“規定”好的，直接告訴學生就行了，沒有什么好講的.但事實上，概念越是基本，往往對它們的理解和掌握也越難，需要的時間也越長.“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，為了表面上的“實惠”，舍棄概念教學的完整過程，直接將概念“拋給”學生，把節省出來的時間用于大量的訓練，以期望達到快速掌握的教學效果，這種做法只能是事與愿違.

如何設計概念課的教學？不妨以“函數的單調性”一課為例.

本課分為以下5個環節.

環節1 設置情境 引出課題

教師引導學生思考：在研究了函數的概念、圖象和表示方法之后，還有哪些方面的內容需要去研究？

函數是描述事物變化規律的數學模型，函數的變化規律顯然值得研究.通過設置現實生活中的例子(比如心電圖，股市走勢圖等等)，讓學生感受函數變化規律的意義，明確研究的內容和方法.

環節2 觀察圖象 得到直觀定義

教師給出一些函數的圖象(可以是學生熟知的一次函數、二次函數的圖象，也可以是不熟知的函數圖象)，請學生觀察這些函數圖象有哪些變化規律.意圖引導學生從形的角度，得到單調函數的直觀定義：

設函數的定義域為A，區間I?A.在區間I上，若函數的圖象(從左至右看)總是上升的，則稱函數在I上是增函數；在區間I上，若函數的圖象(從左至右看)總是下降的，則稱函數在I上是減函數.

環節3 探幽入微 得到描述性定義

憑借函數圖象觀察出的性質，僅得到了定性刻畫，只能說是對函數的變化情況有個大概了解，以此作為定義，顯然是不夠的，需要量化.如何進行量化？那就需要把函數圖象的形遷移到數.

教師可以借助幾何畫板作出一些函數的圖象，測量出其圖象上點的橫縱坐標，把它們制成表格，實現從形到數的轉化.通過觀察表格中自變量的值與對應的函數值的變化規律，引導學生把從形中看到的單調性(即圖象語言)，過渡到用自然語言來表述，進而得到函數單調性的描述性定義：

設函數的定義域為A，區間I?A.在區間I上，若隨著自變量x增大，函數值y也增大，則稱函數在區間I上是增函數；在區間I上，若隨著自變量x增大，函數值y卻減小，則稱函數在區間I上是減函數.

環節4 設置問題串 得到形式化定義

雖然得到了函數單調性的描述性定義，但它還不是量化的，要把定性的數量變化關系轉化為定量的數量變化關系.這是本課的重點，也是難點.

教師可以設置問題串：

問題1對于區間(a，b)上任意的x都有f(x)>f(a)，能否說明f(x)在此區間上單調遞增？說說理由.

問題2對于給定區間上存在無數個自變量x，當自變量變大時，相應的函數值也變大，能說明函數在此區間上是單調遞增的嗎？說說理由.

問題3函數y=x在R上單調遞增的，能否用數學符號表示？

通過問題串進行一步步的引導，讓學生思考、體會，最終“水到渠成”地得到函數單調性的形式化定義：

設函數的定義域為A，區間I?A.如果對于區間I內的任意兩個值x1，x2，當x1f(x2)，則稱函數在區間I上是減函數.

環節5 回顧過程 總結方法

通過練習、小結等活動，讓學生回顧研究過程，即“圖形直觀——定性刻畫——定量刻畫”，總結研究方法，并將所獲得的研究方法用于其他知識中去.

從以上教學設計可以看出，概念教學的基本環節是：①設置現實情境，讓學生感受研究的價值和意義；②給出具體的例證，并對它們的屬性進行分析、比較；③抽象概括出所給例證的共同本質特征，進而得到概念的本質屬性；④用準確的數學語言給概念下定義；⑤運用實例從正、反兩個方面，對概念進行辨析；⑥思考概念的用途及與其他相關概念的聯系，學以致用.

值得注意的是，概念教學特別需要有耐心，需要循序漸進的滲透和提高，需要學生親身經歷從具體到抽象的概括過程，不可急于求成.

3 有關解題套路的困惑與對策

要不要教給學生解題套路，也是經常困擾一線教師的問題.因為解題套路確實讓學生和教師都嘗到了“甜頭”.對于學生而言，不需要動腦筋，只要背下來，照搬就是了；對于教師而言，也不需要動腦筋專研如何備課了，只要歸納整理好各種題型的解決辦法，然后照本宣科告訴學生，就萬事大吉了.

如果總是教給學生解題套路，結果會如何呢？勢必導致學生只會做“熟題”，不會做“生題”.

因為套路是針對某一類問題給出的固定解法，它不會變，是僵化的.一旦問題改變，其解決方法就立刻無法使用.

比如，問題1：當x∈R時，關于x的不等式kx2+kx+1>0恒成立，求實數k的取值范圍.

如果問題1的教學設計如下：

第一步，首先考慮當k=0時，1>0滿足條件；

第二步，當k≠0時，欲使當x∈R時不等式恒成立，只需開口方向向上(k>0)，并且判別式Δ=k2-4k<0即可，解得0

第三步，綜上所述，實數k的取值范圍是0≤k<4.

這樣的教學就是“解題套路”，因為它只告訴學生怎么做，卻不告訴學生為什么這樣做.

首先，為什么要考慮“k=0”的情況？其次，明明是不等式問題，怎么就聯系到了二次函數的圖象？這些問題不解決，學生無法理解其解法，只能是記下來然后照搬，一旦題目改變，就束手無策了.

要讓學生從根本上理解解決問題的方法，就需要教師講清楚原理，即解決問題的思想和方法.解決問題1的根本，就是函數與方程思想.函數、方程和不等式，好比是一家人中的“三兄弟”，“老大”函數是最有能力的，因為它比其他兩個“兄弟”多了一樣工具——圖象(這又聯系到了數學的另一個思想方法，即數形結合).當其他兩兄弟遇到困難時，“老大”函數就要出手幫助.問題1屬于不等式問題，但它遇到了困難，憑借自己的本事它解決不了(不等式本身能解決的問題，僅限于求解)，勢必要尋求 “老大”函數的幫助，這樣就需要將不等式轉化為函數.

如何轉化呢？令y1=kx2+kx+1，y2=0，原不等式kx2+kx+1>0轉化為y1>y2，問題1即轉化為：當x∈R時，函數y1的圖象恒在y2(即x軸)的上方，求實數k的取值范圍.

對于函數y1=kx2+kx+1，當然要考慮k是否為0的情況，否則我們無法判定函數的類型，也就無法畫出它的圖象.當k=0時，y1=1為常函數，顯然在x軸上方；當k≠0時，函數y1為二次函數，其圖象欲恒在x軸上方，勢必要開口向上(k>0)且與x軸無交點(Δ<0).

當然，將不等式轉化為函數時，不一定非要令y1=kx2+kx+1，y2=0，只要以不等號為界，左邊一個函數，右邊一個函數即可.至于誰在左邊，誰在右邊，完全取決于題目的結構特征.

思想和方法是解決數學問題的靈魂，起到高屋建瓴的作用.無論題目千變萬化，領悟了思想和方法就能以不變應萬變.比如問題1，可變為：

關于x的不等式kx2+kx+1>0，當分別滿足下述條件時，求實數k的取值范圍.

(1)當x∈R時，不等式能成立；

(2)當x∈[1, 2]時，不等式恒成立；

(3)當x∈[1, 2]時，不等式能成立.

通過這樣的教學，解決的就不單單是一個問題1.或許某些問題的解決，確實需要教給學生一些套路，但如果全部是套路，試想，那得需要多少套路才能應對各種變化問題？反言之，學生一旦掌握了思想和方法，學會了思考和分析，建立起自己的思考體系，在面對各種紛繁復雜的新問題時，就會從容不迫，得心應手地去應對.

4 有關書寫規范的困惑與對策

近些年，由于在高考閱卷中，評分標準比較嚴格，教師擔心學生由于書寫不規范而白白失掉一些分數，在課堂教學中強調書寫規范的氛圍悄然興起.有些教師把“書寫規范”視為課堂教學最重要的任務，從而沖淡了重要知識、內容的講解；有些教師把握不了書寫標準，索性“眉毛胡子一把抓”，就要求學生寫得越多越好；有些教師矯枉過正，甚至出現了學生作業中寫的“設點P”，教師要求改成“不妨設點P”，并且讓學生重新書寫一遍的極端情況，等等.

強調書寫規范的目的，是為了讓學生有邏輯地回答問題，培養學生思維的嚴謹性.何為有邏輯地回答問題？就是要講清楚每一步驟的因果關系.沒有“因為”的存在，只給出最后的“結果”，顯然是不符合邏輯的.

所以，我們在課堂教學中，強調書寫規范固然重要，但更重要的是講清楚書寫規范背后的原因.哪些步驟該寫，哪些可以不寫，其中的原因是什么，一定要讓學生心里清清楚楚、明明白白.否則，學生只能是畏手畏腳，既害怕寫多了浪費時間，又害怕寫少了被扣分，患得患失、稀里糊涂，反倒嚴重影響了正常的答題節奏和心情.

針對書寫規范，不妨讓學生在作答時，想清楚以下幾個方面的問題：

(1)書寫的每一個邏輯段，是否能保證因果關系齊全，即有“因”有“果”；

(2)漏寫這一步，是否會出現科學性錯誤；

(3)使用了題目中沒有出現的條件，是否交待清楚了；

(4)在使用已知定理、公式、結論時，是否有特別需要說明的地方.

教師可以結合教學實際情況，對學生出現的書寫問題進行有針對性的指導.不妨嘗試一下以下做法：(1)把習題課分成“思想方法課”和“書寫規范課”.“思想方法課”目的是，教會學生如何思考、分析問題，選擇科學合理的解題思路，進而解決問題；“書寫規范課”目的是，教會學生如何會書寫，保證解題過程條理清晰，有理有據.把習題課分成這樣兩類后，教學側重點突出，目的明確，針對性會更強；(2)以學生的書寫過程作為實例進行評價，“正例”與“反例”都要選擇，師生共同評價.評價時要指出“正例”好在哪里，“反例”壞在哪里以及如何修正；(3)若教學時間允許，教師可以板書一道題目完整的解題過程，讓學生親眼看見，感受也會更加深刻；(4)書寫規范是一種習慣，在平時就要養成.對學生平時作業與大型考試的書寫要一視同仁，不能區別對待、厚此薄彼.習慣一旦養成，規范書寫就不是一件要刻意完成的任務.