數(shù)學推廣：概念、特征及教育價值①

劉成龍 余小芬

(四川省內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 641100)

推廣是數(shù)學研究的重要手段，數(shù)學自身的發(fā)展在很大程度上依賴于推廣.[1]從數(shù)學的發(fā)展歷史來看，數(shù)學研究者們總是在已有知識的基礎上，通過推廣不斷向未知的領(lǐng)域擴展.這一過程中，許多數(shù)學結(jié)果的發(fā)現(xiàn)都歸因于“幸運的推廣”[2]，比如：大數(shù)學家費馬通過推廣畢達哥拉斯方程x2+y2=z2，提出了舉世聞名的費馬猜想：“xn+yn=zn(n≥3)是否有整數(shù)解”.雖然推廣的重要作用得到了數(shù)學研究者們的普遍認同，但從數(shù)學教學實踐來看，一些教師并未充分認識數(shù)學推廣的教育價值.因此，下文在厘清數(shù)學推廣概念、特征的基礎上，分析數(shù)學推廣所具有的教育價值.

1 數(shù)學推廣的概念界定

什么是數(shù)學推廣呢？張景中院士認為：“數(shù)學中的推廣就是擴大命題條件中有關(guān)對象的范圍，或擴大結(jié)論的范圍，即從一個事物的研究過渡到包含這一事物的研究”[1]；羅增儒教授指出：“數(shù)學推廣是這樣一種研究方法，從一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合，或從一個較小集合過渡到考慮包含該集合的更大集合”[3]；鄭隆炘教授將數(shù)學推廣定義為“在一定范圍內(nèi)或一定層次上對數(shù)學概念、定理、法則進行拓展，使之在更大范圍或更高層次上成立，此外，也指對條件、結(jié)論進行結(jié)構(gòu)分析以后，進行適當變化，使得到的新命題為真”[4]；汪純中教授認為：“把一個數(shù)學命題中的某些特殊的條件一般化(比如取消某些條件過強的限制)，從而得到更普通的結(jié)論，叫做數(shù)學命題的推廣”.[5]盡管上述數(shù)學推廣的概念表述不同，但都強調(diào)了對象范圍變大，都體現(xiàn)了研究過程.當然，差異也較為明顯：一些界定要求推廣后的命題為真，一些界定對此未做要求.是否一定要求推廣后得到的命題為真呢？我們認為推廣后命題的真假性可不作要求，比如，前文所述的費馬猜想是畢達哥拉斯方程的推廣，但推廣提出358年后才被數(shù)學家安德魯·懷爾斯所證明.此外，一些定義側(cè)重于問題結(jié)構(gòu)上推廣，而忽視從問題解決方法上推廣.基于此，我們把握推廣的“抓手”(問題結(jié)構(gòu)或問題解決方法)和本質(zhì)(研究過程)，重新界定數(shù)學推廣的概念：數(shù)學推廣是指根據(jù)問題結(jié)構(gòu)或解決方法，將數(shù)學問題從一個較小的范圍拓展到更大范圍的研究過程.

2 數(shù)學推廣的特征分析

2.1 問題性

數(shù)學推廣的過程是問題伴隨的過程.首先，問題是推廣的生長點，推廣必須基于數(shù)學問題展開，正所謂“沒有問題，何來推廣”；其次，問題是推廣的驅(qū)動點，推廣實質(zhì)上是原問題作為初始問題觸發(fā)新問題產(chǎn)生的反復、螺旋上升的過程，問題驅(qū)動著推廣活動的開展和深化；最后，問題是推廣的落腳點，推廣目的是在更大范圍上生成新問題，且推廣的最終成果以問題呈現(xiàn).

2.2 系統(tǒng)性

數(shù)學推廣的過程是不斷完善問題系統(tǒng)的過程.錢學森認為：“系統(tǒng)是由相互作用相互依賴的若干組成部分結(jié)合而成的，具有特定功能的有機整體.”推廣通過對問題或方法的一般化，形成一個由初始問題生成的意義系統(tǒng)，揭示更為深刻、更為普遍的數(shù)學事實或規(guī)律，構(gòu)成一個結(jié)構(gòu)前后一致、邏輯連貫的問題域.特別指出，問題域中初始問題是整個系統(tǒng)的基石，在結(jié)構(gòu)或方法上支撐新問題，而推廣得到的最一般問題處于系統(tǒng)的頂層，統(tǒng)攝整個問題系統(tǒng).

2.3 研究性

數(shù)學推廣的過程是研究的過程.數(shù)學推廣不僅僅是數(shù)量上的簡單增加或呈現(xiàn)形式的簡單變化，通常是一個探索與發(fā)現(xiàn)、猜想與論證的過程.[3]這一過程涉及問題提出與問題解決方法的尋求，往往會經(jīng)歷觀察、歸納、類比、聯(lián)想、猜測、論證、反思等思維活動.由此，數(shù)學家們一致認為“數(shù)學推廣本身就是數(shù)學研究的重要方法.” 比如，米山國藏就曾指出：“每當我發(fā)現(xiàn)一個新定理，就立即集中力量從各方面考查這個定理能不能將它一般化、能不能推廣，從而一步一步進行研究工作.”[6]

2.4 創(chuàng)新性

數(shù)學推廣的過程是創(chuàng)新的過程.數(shù)學推廣不是簡單模仿、機械重復，它是一項富有創(chuàng)造性[7]、伴隨生命活力的數(shù)學活動，其實質(zhì)就是創(chuàng)新與發(fā)現(xiàn).[3]通過推廣產(chǎn)生新問題，發(fā)現(xiàn)新方法，促使新系統(tǒng)的構(gòu)建，推動該問題領(lǐng)域知識和研究方法的不斷完善.

3 數(shù)學推廣的教育價值

當教育指向核心素養(yǎng)，“知識核心時代”將真正走向“核心素養(yǎng)時代”.在關(guān)注人的素養(yǎng)發(fā)展，推進人的素養(yǎng)發(fā)展與時代發(fā)展需求相融合的進程中，“怎樣培養(yǎng)人”比“培養(yǎng)怎樣的人”更重要，“怎么教”“怎么學”比“教什么”“學什么”更重要.[8]這正如畢達哥拉斯所說，在數(shù)學的天地里，重要的不是我們知道了什么，而是我們怎么知道什么.數(shù)學推廣引領(lǐng)學生超越淺層的知識學習，進入知識內(nèi)在的邏輯領(lǐng)域，挖掘知識內(nèi)涵的豐富價值[9]，體會數(shù)學研究的重要意義，它不僅是一種重要的數(shù)學研究手段，也是一種重要的數(shù)學學習活動，具有豐富的教育價值，是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要載體.

3.1 培養(yǎng)問題意識

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(下文簡稱《課標2017》)指出：通過高中課程的學習，進一步培養(yǎng)學生“四能”，即發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.[10]其中，提出問題能力尤為重要.這是因為問題是思維的起點和動力，提出問題往往比解決問題更具創(chuàng)造的成分.正如大數(shù)學家希爾伯特所說：“從數(shù)學發(fā)展的歷史來看，數(shù)學問題的大量提出是數(shù)學充滿生命力的體現(xiàn).”認識論研究專家安德烈·焦爾博士在研究有意義的學習活動時，強調(diào)“發(fā)問”是衡量學習是否發(fā)生的一個重要標準.由此可見，提出問題對激活數(shù)學生命力，構(gòu)建有意義學習具有重要地位.那如何才能提出問題呢？研究表明，問題意識是問題提出的直接基礎[11],強烈的問題意識有助于學生更好、更快地跨越最近發(fā)展區(qū)，驅(qū)動學生主動去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題.[12]具體到數(shù)學學科，數(shù)學問題意識驅(qū)動學生自覺主動地對已有數(shù)學問題進行再提問和反思，并形成一種探索創(chuàng)新的心理品質(zhì).[13]數(shù)學推廣在將問題從“小范圍”到“大范圍”變化拓展的過程中，在將方法從“原問題”到“新問題”應用創(chuàng)新的過程中，始終將學生置身于問題情境，引導學生不斷思考如何提問，如何答問，如何再提問，這為問題意識的培養(yǎng)提供了現(xiàn)實土壤和可靠原動力.

3.2 完善認知結(jié)構(gòu)

(1)完善知識結(jié)構(gòu)

(2)豐富認知模式

萊考夫認為：“認知模式是人與外部世界互動的基礎上形成的認知方式.”通俗地講，認知模式指學習者對信息的獲取、處理的方式.在(*)的推廣中，涉及多種認知模式：由2元命題、3元命題、4元命題的研究上升到n元命題，既體現(xiàn)了“假設—證偽(真)—修正”的研究方法，又滲透了“特殊到一般”的思維方式；由已有2元命題不直接跳步到n元命題研究，而是先對3元、4元等簡單情形研究，既體現(xiàn)了類比、歸納推理的基本范式，又展現(xiàn)了“以退為進”的思維策略；從單一問題(元變化)上升到關(guān)聯(lián)問題(次數(shù)變化)，再到問題系統(tǒng)(元和次都變)，既體現(xiàn)了“變與不變”的認知方式，又刻畫了靈活變通的思維品質(zhì).由此可見，推廣活動極大地豐富、發(fā)展了學習者的認知模式.

3.3 體驗研究歷程

《課標2017》將數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動作為四條主線之一，貫穿于必修、選擇性必修和選修課程之中，并且專門在必修課程中設置了6個學時加以實施.[10]由此可見，開展數(shù)學探究活動引導學生了解研究的基本方法、經(jīng)歷研究的歷程是當前數(shù)學課程的重要要求和改革方向.如何有效地開展探究活動呢？數(shù)學推廣恰好為學生提供了探究的基本方法和路徑，這是因為數(shù)學推廣本身就是數(shù)學研究的重要方法，數(shù)學問題推廣的過程本身就是數(shù)學研究的過程.具體來講，學生運用數(shù)學思維方法將問題變化拓展，獲得新結(jié)論或新問題的同時，體驗數(shù)學研究的一般步驟：確定選題——擬定計劃——收集資料——深入分析——得出結(jié)論——撰寫報告(或論文).同時，在對問題推廣的過程中，學生體會著三對相互依存的辯證關(guān)系：“特殊”和“一般”：特殊性包含于普遍性，普遍性寓于特殊性；“猜想”與“論證”：要有大膽猜想的求知勇氣，也要具備小心求證的求真精神；“樂趣”和“枯燥”：變枯燥的學習為幸福的研究，塑實事求是和勇于創(chuàng)新的科研品質(zhì).

3.4 增強創(chuàng)新能力

隨著信息革命的到來，傳統(tǒng)的知識教育模式已不能滿足社會發(fā)展的需求，給學生提供適應未來發(fā)展的核心能力才是現(xiàn)代教育的目標和歸宿.當今社會的競爭，與其說是人才的競爭，不如說是人的創(chuàng)新能力的競爭，對學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)已成為全球教育界所關(guān)注的共同話題.對數(shù)學推廣而言，從強調(diào)問題意識到經(jīng)歷研究過程，其實質(zhì)就是重視創(chuàng)新，重視學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，這是基于時代發(fā)展要求下的數(shù)學教育的魂.[16]數(shù)學推廣活動引領(lǐng)學生大膽猜想，勇于嘗試，用已有的數(shù)學知識和方法解決問題，并在問題推廣中，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，形成數(shù)學探究能力，為增強創(chuàng)新能力提供豐富“營養(yǎng)”.