整體思想在立體幾何解題中的應用探究

江西 魏東升

(作者單位：江西省瑞金第一中學)

立體幾何是高中數學教材中的重要內容，也是高考的必考內容．但其往往是許多學生在高中數學學習中的攔路虎，因為它不僅需要學生熟練掌握公式、定理、方法等相關的基礎知識，還需要具備較強的推理論證能力和空間想象能力．幾何學研究的對象是圖形的性質，這就要求學生能分辨圖形所給出的信息，洞察隱藏在圖形中與解決問題有關的“子圖形”，對何時需要添加輔助線，添加輔助線后能否解決問題有正確的評估等．

培養學生的推理論證能力和空間想象能力，有必要讓學生掌握一些必要的圖形處理策略和數學思想方法，如數形結合思想、化歸與轉化思想和整體思想等．前兩種思想學生接觸的較多，也比較熟悉，本文主要介紹整體思想在立體幾何解題中的應用．

所謂整體思想，就是在解決數學問題時，將要解決的問題看作一個整體，通過對問題的整體形式、整體結構、已知條件和所求問題綜合考慮后得出結論．更加直白的講整體思想就是指從問題的整體性質出發，突出對問題整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的、有意識地整體處理．

在立體幾何中運用整體思想，就是要讓學生既可以洞察到圖形中的“子圖形”，也能夠發現圖形中的“母圖形”，從而在解題中不至于“只見樹木，不見森林”．

以下通過具體實例讓大家感受立體幾何“線”“面”和“體”等三個維度中存在的立幾“森林”.

1.立幾“森林”之“線”

解析：如圖，取B1C1的中點為E，BB1的中點為F，CC1的中點為G.

評析：這個問題其實是幾何中的截弧問題，屬于球“切截接”(球內切問題、球截面問題和球外接問題)中截面問題的一種，解決這類問題的關鍵是能夠直觀想象到多面體截得的弧是其“森林”——圓的一部分，同時結合已知條件通過數學運算獲得該圓的圓心和半徑，進而得到圓弧所在扇形的圓心角，再利用弧長公式進行計算.

例2(2020·全國卷Ⅱ文·20)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

(Ⅰ)證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

解析：(Ⅰ) 證明略．(Ⅱ)如圖，因為AO∥平面EB1C1F，AO?平面A1AMN，平面A1AMN∩平面EB1C1F=PN，故AO∥PN.

因為BC∥平面EB1C1F，所以四棱錐B-EB1C1F的頂點B到底面EB1C1F的距離等于點M到底面EB1C1F的距離．

評析：對于四棱錐B-EB1C1F的體積的求解，關鍵是求出點B到底面EB1C1F的距離．這類問題的一個常見思路是直接找到點在該面的投影，對本題而言需要對底面EB1C1F進行延展，這對學生的空間想象能力要求比較高．注意到BC∥平面EB1C1F，這樣便可以利用化歸與轉化思想將點B延展到其“森林”——直線BC中點M，問題得以解決.

2.立幾“森林”之“面”

例3(2020·上海卷·15)如圖，在棱長為10的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為左側面ADD1A1上一點，已知點P到A1D1的距離為3，點P到AA1的距離為2，則過點P且與A1C平行的直線相交的面是

( )

A.AA1B1BB.BB1C1C

C.CC1D1DD.ABCD

解析：如圖，在正方體中，因為P到A1D1的距離為3，點P到AA1的距離為2，所以延長A1P必交線段AD于點R，連接CR，在△A1RC中，過點P且與A1C平行的直線PQ必交CR于點Q.又因為點C，R在平面ABCD上，所以點Q在平面ABCD上，故選D.

評析：本題的本質其實是考查正方體的截面問題.根據題意，點Q必然在由點P與直線A1C確定的平面內，即正方體的一個截面.要找到Q點所在的平面，需要找到截面與該面的交線，從而根據交線的位置可以確定Q點的位置，由此可知本題的關鍵是確定PQ所在“森林”——截面A1RC.此題另一種比較流行的做法是延展右側面以延展直線PQ，與本法有異曲同工之妙.

例4(2020·江蘇卷·15改編)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，E，F分別是A1C，A1B1的中點．求證：EF∥平面A1OB．

解析：該題的證法較多，以下僅給出部分證法的思路：

思路1：取A1C1的四分點M,連接ME,MF,由面面平行的判定定理可得平面MEF∥平面A1OB，EF?平面MEF，所以由面面平行的判定定理可得EF∥平面A1OB;

思路2：取CO中點N,連接NE，NF,由面面平行的判定定理可得平面NEF∥平面A1OB，EF?平面NEF，所以由面面平行的判定定理可得EF∥平面A1OB;

思路3：取BC中點P,連接PE，PF,由面面平行的判定定理可得平面PEF∥平面A1OB，EF?平面PEF，所以由面面平行的判定定理可得EF∥平面A1OB;

思路4：取BB1中點Q,連接QE，QF,由面面平行的判定定理可得平面QEF∥平面A1OB，EF?平面QEF，所以由面面平行的判定定理可得EF∥平面A1OB;

思路5：連接AB1交A1B于K, 連接B1C，OK,可證得EF∥B1C，OK∥B1C，所以OK∥EF，OK?平面A1OB,由線面平行的判定定理可得EF∥平面A1OB;

思路6：連接AC1則必與A1C交于E, 交A1O于R，連接AF交A1B于S,可證得R，S分別是AE，A1B的三等分點，所以EF∥RS，RS?平面A1OB,由線面平行的判斷定理可得EF∥平面A1OB;

另外還可以借助空間向量的法向量或者向量共面定理來證明，此處略.

評析：線面平行的證明一般可以通過其判定定理和面面平行的性質定理兩種思路，之所以能快速想到前四種證明思路，就是因為找到了EF所在的“森林”——三棱柱的截面EMFQPN，在這個平面內再任取一個異于E，F點(其實還可以取多個點，這樣就有更多的證法)，便能夠構造面面平行.需要指出的是，后兩種思路也可以基于線面平行的性質定理找到類似的屬于EF的“森林”，大家不妨一試.

3.立幾“森林”之“體”

例5(2016·浙江卷理·14)如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是________.

評析：此題常規思路運算量很大，上述解法其實是通過BA=BC=BP而得到其為圓錐的母線這一點，從而可以將四面體PBCD置于其“森林”——圓錐內部，高屋建瓴地把空間中的動線問題轉化為平面上的動點問題來分析，這種思路還適用于高考中大量存在的簡單幾何體體積求解問題.

例6(2019·全國卷Ⅰ理·12)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為( )

評析：對于幾何體外接球問題，解決方法一般有球心法、交匯法和補形法．對于補形法，通常是通過找到不規則幾何體與規則幾何體的聯系入手，常見的規則幾何體有長方體、棱柱、圓柱和圓臺等.本題就是利用了三條側棱相互垂直的三棱錐P-ABC與其“森林”——正方體共一個外接球這個特點，從而借正方體外接球的求法讓問題得到快速解決.

結語：在實際解題中，往往要用到多種思維方式，它們相輔相成，密不可分，組成一個有機的整體.這就要求我們要善于總結歸納立體幾何解題中的特殊與一般方法，從全局出發，多角度多視野地去思考問題.如“割補”“轉化”“數形結合”和“空間向量”等多種思想的交互使用，但有些問題如果把它看成一個整體，考查題設的整體結構和特征，弄清條件與結論的內在規律，從整體上進行推算，便會事半功倍.