基于軌跡意識的試題研究

福建 黃清波 黃曉琳

(作者單位：福建省南安國光中學)

近幾年各級各類考試軌跡問題的命題不再局限于解析幾何,而是轉變為在知識的交匯處命題,將平面幾何與解析幾何、三角函數、立體幾何、平面向量等融為一體，從而使題目更加新穎、靈活,符合考試說明中提出的“以數學知識為載體,測量考生將知識遷移到不同情境的能力,從而檢測考生已有的潛在學習能力”.本文結合典例從幾個視角進行剖析，引導考生思考如何在解題中建立軌跡意識.

一、軌跡意識在解析幾何中的應用

【典型例題】(2021·衡中全國第二次聯考·12)在一張紙上有一圓C:(x+2)2+y2=r2(r>0)與點M(m,0)(m≠-2)，折疊紙片，使圓C上某一點M′恰好與點M重合，每次折疊都會留下一條直線折痕PQ，設折痕PQ與直線M′C的交點為T,則下列說法正確的是( )

A.當-2-r

C.當m=2,1≤r≤3時，點T的軌跡對應曲線的離心率取值范圍為[2,4]

【命題意圖】本小題考查軌跡問題、圓錐曲線的定義、圓錐曲線的性質與方程、命題真假判斷等基礎知識，考查抽象概括能力、推理論證能力，考查數形結合思想、函數與方程思想、化歸與轉化思想，考查數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養.

【思路探析】對于A：根據題意可得|TM|+|TC|=|CM′|=r>|CM|，則點T的軌跡是以C,M為焦點的橢圓，即可判斷A是否正確；

對于B：根據題意可得‖TM|-|TC‖=|CM′|=r<|CM|，則點T的軌跡是以C,M為焦點的雙曲線，其中2a=r=1，2c=CM=4，進而可得雙曲線方程，即可判斷B是否正確；

對于C：根據題意可得點T的軌跡是以C,M為焦點的雙曲線及方程，進而可得離心率，即可判斷C是否正確；

對于D：根據題意可得T的軌跡方程為x2-y2=2，即可判斷C是否正確；設S(p,q)，直線SN的方程, 它與y=x的交點N的坐標，即可計算S△SNO是否為定值，即可判斷D是否正確.

解：當-2-r|CM|,故點T的軌跡是以C,M為焦點的橢圓，故A正確；

【反思】一般情況下，在軌跡問題中，所有的動點等動元素都是在一個不變的背景或框架下運動的，或者說動點軌跡一般都是確定的，有的題目直接交代了，屬于“顯軌跡”，有的題目沒有明確交代，可稱為“隱軌跡”，發現這些軌跡路徑，這類問題將不再無跡可尋.

破解此類問題的關鍵：一是對圖形變化要有動態的認識——通過對圖形結構的理解、探索，能夠建立良好的形與數的聯系，迅速挖掘隱藏的軌跡,找到軌跡就找到了要害，因此解題要樹立用軌跡思想解決動態問題的意識，并且反復強化，達到熟能生巧的地步；二是熟練掌握求軌跡的方法，如熟悉幾類特殊曲線定義的定義法、求出符合各條件對應點軌跡的公共部分的交軌法、含參的動點坐標消參的參數法、直接將條件翻譯成等式并化簡得到的直譯法等.

所以A為BE的中點，

過C作CF⊥AB，垂足為F.

因此點E的軌跡方程為(x-1)2+y2=5.

二、軌跡意識在解三角形中的應用

【典型例題】已知△ABC中，角A,B,C對應的邊分別為a,b,c,記△ABC的面積為S.

【命題意圖】本小題以三角形為載體，主要考查正、余弦定理、面積公式、基本不等式等基礎知識，考查邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養.

【思路探析】本題如果能夠理解三角形中點、線的運動和靜止的關系，利用軌跡的思想數形結合地解決問題，將能出奇制勝、化繁為簡.

顯然當A位于該弧的中點A′處時，△ABC面積最大.

此時，△ABC是正三角形，

(Ⅱ)如圖，以BC的中垂線所在的直線為y軸建立平面直角坐標系.

化簡得(x-3)2+y2=8(y≠0).

【反思】解決這類問題的關鍵在于抓住邊或角的某種定量關系,探索出三角形某個頂點運動的軌跡,用“形”的觀點去解決所要研究的問題.這種數形結合的解題方法,使問題的求解更加直觀形象.

A.{Sn}為遞增數列

B.{Sn}為遞減數列

C.{S2n-1}為遞增數列，{S2n}為遞減數列

D.{S2n-1}為遞減數列，{S2n}為遞增數列

解：因為an+1=an，故數列{an}為常數數列，

所以bn+cn=2a，即{bn+cn}也為常數列.

在△AnBnCn中，BnCn=an=a，AnBn+AnCn=bn+cn=2a.

故An是以Bn,Cn為焦點，長軸長為2a的橢圓，

設An(xn,yn)，由橢圓的焦半徑公式有bn-cn=-2exn，其中e為橢圓離心率.

三、軌跡意識在平面向量中的應用

【命題意圖】本小題以三角形為載體，主要考查平面向量及其應用、圓的相關知識等，考查邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養.

解：如圖，以AB的中點O為坐標原點，AB所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則A(-1,0),B(1,0)，設點P(x,y)，

即(-1-x)(1-x)+y2-2λ+1=0.

化簡得x2+y2=2λ(λ>0).

過點O作OM⊥AC，垂足為點M.

由題意知，線段AC與圓x2+y2=2λ有兩個交點，

四、軌跡意識在立體幾何中的應用

【命題意圖】本小題以四棱柱為載體，考查點線面間的位置關系，涉及動點的軌跡問題等，考查化歸與轉化思想，考查直觀想象、邏輯推理和數學運算核心素養，體現基礎性與創新性，有一定難度.

解：如圖，取B1C1的中點為E，BB1的中點為F，CC1的中點為G，

已知∠BAD=60°，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，

又四棱柱ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱，BB1⊥平面A1B1C1D1，BB1⊥D1E，

且BB1∩B1C1=B1，因此D1E⊥側面BCC1B，

設P為側面B1C1CB與球面的交線上的點，則D1E⊥EP，

【反思】解決這類問題主要有兩種方法：一種是幾何法，化立體為平面，通過幾何證明或幾何關系分析，由幾何圖形的定義，確定動點軌跡；另一種是代數法，化幾何為代數，通過向量的表示和運算將原問題轉化為代數問題，得到動點的軌跡方程，根據方程形式判斷軌跡.

【變式】(2020·安徽省合肥市三模理·10)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=6,AA1=2,M為棱BC的中點，動點P滿足∠APD=∠CPM,則點P的軌跡與長方體的面DCC1D1的交線長等于( )

【思路探析】依題意畫出圖形，由角的關系得到邊的關系，建系后由求軌跡方程的方法求得P的軌跡，進而求得交線長.

解：如圖，當P在平面DCC1D1內時，

AD⊥平面DCC1D1,CM⊥平面DCC1D1,

∠APD=∠CPM.

在Rt△PDA與Rt△PCM中，AD=6，所以MC=3,

得PD=2PC.

在平面DCC1D1中，以DC所在直線為x軸，以DC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，

則D(-3,0),C(3,0)，

整理得(x-5)2+y2=16.所以點P的軌跡是以G(5,0)為圓心，半徑為4的圓.

五、解題感悟

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》提出“在高中數學的教學中，要注重數學的不同分支和不同內容之間的聯系”，高考大綱也提出了數學整體性和綜合性的要求，軌跡問題利用基本對象的幾何要素、幾何性質的轉化，建立數與形的聯系，將立體幾何、平面幾何與解析幾何等融為一體，凸顯了知識的應用性，更好地實現問題的解決.