新課程理念下的三角函數圖象變換教學

安徽 王東旭

(作者單位：安徽省滁州二中)

三角函數圖象變換歷來是高中數學教學的重點和難點，也是高考常常眷顧的考點.其中周期變換和相位變換，理解起來比較困難，極易造成混亂.新課程理念注重學生課堂學習方式的轉變，強調學生的自主探究，注重學習的遷移.數學新課程理念還強調數學核心素養對人的思維的培育.本文基于新課程理念，以教育學的基本理論為指導，針對以上兩個難點提出破解策略.

一、問題描述

三角函數的周期變換，即由函數y=Asinx到y=Asinωx的變換，學生經常錯誤地認為是在縱坐標不變的情況下，橫坐標變為原來的ω倍(假定ω>0)；三角函數的相位變換，即對于函數y=Asinωx到y=Asin(ωx+φ)(φ>0)的變換，學生經常錯誤的認為是向左平移φ個單位.

二、課程設計主線

以問題為導向的“拋錨式”教學模式，是將知識拋錨在一定的問題情境中，以激發學生的好奇心為內驅力.教師通過在課堂上不斷地提出問題，讓學生在教師的指引下自主完成相關任務.以周期變換為例，簡要敘述課程設計主線.

學習方式：將班級分成兩大組，每組推選組長.小組內部獨立完成教師提出的各項要求和問題，內部要積極合作交流，達成解決問題的方案，組內互幫互助.小組之間圍繞著問題進行PK！

問題1：函數y=sinx與y=sin2x圖象之間有何關系?如何研究？

教師提示：可以通過我們熟悉的“五點法”作圖觀察圖象來解決.

過程：學生在教師事先準備好的表格和坐標系上作圖.

每小組內部討論，遴選出質量較高的圖示，教師在多媒體上進行投影，分享給其他同學.

教師點評，并給出準確的作圖.

問題2：如何用數學語言描述函數y=sinx與y=sin2x圖象之間的關系?

小組討論，并派代表發言……緊接著教師點評，并給出規范化的表達……舉一反三，教師追問……

小組討論，并派代表發言……緊接著教師點評，并給出規范化的表達……

問題4：根據以上具體函數圖象之間的變換規律，能否對函數y=sinx到函數y=sinωx的變換進行描述?

有了以上學生的回答，以及教師的點評和講解，知識的生成應是水到渠成的.當然教師對以上的每個問題都要給出最精準的描述或總結，教師的描述和總結就是最終生成的知識；其次教師在教學中要引導學生注重知識的遷移，主動闡釋前后知識的聯系.

教師點評：教師的點評對學生來說既是知識性的，又是情感性的.點評的好壞不僅影響到學生對新知識的接受程度，還影響到學生的興趣、情緒、情感.因此，教師既要注重知識的總結性評價，也要注重過程性評價，還要針對不同層次的學生進行差異性評價等.例如，教師可以就小組探究結論的正確性進行點評，可以就數學語言表達的準確性進行點評，還可以就學生在參與小組合作過程中表現出的合作精神、態度和價值觀等進行點評.

鞏固與提升：讓學生口頭敘述一些函數圖象的變換，再給出相應的變式訓練.

三角函數圖象的相位變換的設計思路與周期變換基本一致，這里不再贅述.

三、課程設計的基本理念

(一)改善學生學習方式

新課程改革要求還課堂給學生，改變以往教師“滿堂灌”的教學模式.倡導學生主動參與、樂于探究、勤于思考，培養學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流合作的能力.

在探究函數圖象之間的關系時，要求學生列表、作圖、小組討論、交流、回答預設問題等等.教師只需在課堂上觀察、指導和評價，合理有序的組織課堂.充分發揮學生在課堂上的主體地位.

(二)立足數學核心素養

1.直觀想象

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》指出直觀想象是中學生著力培養的數學核心素養之一.數形結合這一思想方法是聯系代數和幾何的橋梁，是體現直觀想象核心素養的重要途徑.在數學核心素養的指引下，教師在講解這部分知識時，應充分強調“五點法作圖”對于學生理解圖象變換問題的價值.通過圖象上具體的一個個“點動”引起“圖動”，從而激發同學們對圖象變換原理的思考和認識.

2.數學抽象

“五點法作圖”最終得出函數圖象的變換方式.在推理模式上是由特殊到一般的不完全歸納推理，因此自身存在不嚴謹的一面.數學上，追求一般性原理是數學邏輯的魅力所在，也是人的直觀想象思維向抽象邏輯思維邁進的必然要求.針對水平層次較高的學生,引入函數圖象的變換的原理就更為必要.一般性原理的生成正是培養學生數學抽象核心素養的重要途徑.

再如，三角函數圖象的周期變換本質上是平面直角坐標系中坐標的伸縮變換.函數圖象的伸縮變換在人民教育出版社A版選修4-4教材中才正式引入.但在教學實踐中會不斷地遇到相關的問題，筆者認為針對水平層次較高的學生，不妨大膽地提前引入！

(三)運用信息化平臺

利用數學軟件作出函數圖象精準、快速、高效，在軟件平臺上操作，圖象可以根據需要進行局部特寫，這大大地提高課堂的效率，也能夠充分吸引學生的注意力，引起學生的無意注意.這種效果是教師手工繪制無法企及的.在三角函數圖象變換這節課，教師可以充分利用現代的教育技術，展示圖象的千變萬化，并在這個過程中不斷引導學生對圖象變換的具體過程進行思考、探索.例如，函數y=sinx與y=sin2x的圖象，可以將兩個函數圖象畫在同一個平面直角坐標系中，二者之間的關系便一目了然!

還可以設置參數ω，制作函數y=sinωx，讓函數y=sinωx的圖象隨著ω的變化而動起來，這樣在同一坐標系下函數y=sinx與y=sinωx的關系將十分清楚，教學效率大大提高，能起到事半功倍的效果！

同樣可以設置參數φ，制作函數y=sin(2x+φ)，讓函數y=sin(2x+φ)的圖象隨著φ的變化而動起來，讓學生觀察動態效果！

無論是周期變換，還是相位變換，教學中都不要急于把結論拋給學生，要結合多個具體的函數變換實例，讓學生自主探究，并結合幾何畫板操作，最終得到結論.在知識產生形成的過程中，教師要讓學生親歷從具體到抽象、從特殊到一般的探究過程，要讓學生有思考和探究的機會，發現函數圖象之間的關系，只有這樣學生才會理解的深刻！這也正是新課程改革的理念所在！

“互聯網+”已經滲透到教育行業，教師可以提前制作好微視頻，給學生觀看，或者利用網絡上優質的教學視頻、素材，作為教學的一個補充.

(四)注重學習遷移

(五)典型例題講解

例題對于數學學習的作用是不言而喻的，變式訓練既能加強學生對新知識的理解，也能培養學生良好的思維.三角函數圖象變換，容易跟三角函數的圖象和性質形成交匯.

【解法1】先周期變換，再相位變換

【解法2】先相位變換，再周期變換

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【解法1】特殊點法

【解法2】解析突破

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隨著參數t的變化，g(x)的圖象隨之變化，x1，x2的相對位置也緊跟變化，這里可以結合幾何畫板的動態效果，展示g(x)在不同位置時，|x1-x2|取得最小值時的變化情況.

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答案：D.