探討三角形內(nèi)角平分線在解題中的妙用

甘肅 胡全勇 陜西 童永奇

(作者單位：西北師大育才學(xué)校 陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(xué))

三角形問(wèn)題是初中平面幾何知識(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容，尤其三角形的內(nèi)角平分線，它不但在初中數(shù)學(xué)中運(yùn)用廣泛，而且在高中數(shù)學(xué)中也一直廣泛應(yīng)用.近年來(lái)，筆者重點(diǎn)研究高中數(shù)學(xué)題型的歸納與總結(jié)，如一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的命題方向有哪些，每個(gè)方向怎么解決問(wèn)題，本文就三角形內(nèi)角平分線在高中數(shù)學(xué)解題中的靈活運(yùn)用做出詳細(xì)的歸納、總結(jié).

定理1：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

定理2：三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.

類(lèi)型一：內(nèi)角平分線與平面向量基本定理的結(jié)合

將三角形內(nèi)角平分線定理2與平面向量的基本定理相結(jié)合，可迅速解決相關(guān)問(wèn)題(即實(shí)現(xiàn)“秒殺”).

類(lèi)型二：內(nèi)角平分線與向量模長(zhǎng)公式及分類(lèi)三角形的結(jié)合

典例2在△ABC，BC=4,AC=5,AB=6,點(diǎn)D在邊AB上，CD是△ABC的角平分線.

(1)求CD的長(zhǎng)；(2)求△ACD的面積.

分析：求三角形中角平分線的長(zhǎng)和求有關(guān)三角形的面積，是解三角形部分的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn).一般圖形結(jié)構(gòu)復(fù)雜，數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，因此需要細(xì)致分析，看準(zhǔn)結(jié)構(gòu)，厘清關(guān)系，最有效的方法就是讀題畫(huà)圖，把題設(shè)中的每個(gè)信息通過(guò)畫(huà)圖傳遞在腦海中加工.

解析：為了便于分析，先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示.

又注意到∠ADC+∠CDB=π，即cos∠ADC+cos∠CDB=0，所以可得

解法三(運(yùn)用平面向量基本定理和模長(zhǎng)公式)：

解法二：由海倫公式得

類(lèi)型三：內(nèi)角三角平分線與焦點(diǎn)三角形的結(jié)合

所謂焦點(diǎn)三角形是指橢圓、雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)和曲線上任意一點(diǎn)構(gòu)成的三角形，這些三角形中就有一類(lèi)特殊的與角平分線有關(guān)的命題.處理此類(lèi)問(wèn)題，一是運(yùn)用三角形內(nèi)角的兩邊上存在兩點(diǎn)關(guān)于內(nèi)角平分線對(duì)稱(chēng)；二是充分考慮橢圓和雙曲線的定義.

評(píng)析：該題的求解思路與典例3相同，可運(yùn)用雙曲線的定義直接解決目標(biāo)問(wèn)題，相對(duì)簡(jiǎn)單一些.

類(lèi)型四：內(nèi)角平分線與雙曲線過(guò)焦點(diǎn)直線的垂直問(wèn)題

以前教學(xué)雙曲線與過(guò)交點(diǎn)直線問(wèn)題，我感覺(jué)只有兩個(gè)字“頭痛”，主要是題非常小，但運(yùn)算量特別大，后來(lái)研究發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)軸是兩條漸近線構(gòu)成角的角平分線，靈活運(yùn)用導(dǎo)致運(yùn)算量非常小，有時(shí)還可以達(dá)到“秒殺”的解題效果.

1.兩交點(diǎn)位于焦點(diǎn)的異側(cè)

解析：如圖所示，AB垂直漸近線n，由于|FB|=b,|OF|=c，則|OB|=a.

評(píng)析：本題A，B兩點(diǎn)在焦點(diǎn)F的異側(cè)，巧妙運(yùn)用了焦點(diǎn)到漸近線的距離為虛半軸長(zhǎng)以及正切函數(shù)與二倍角正切公式.

2.兩交點(diǎn)位于焦點(diǎn)的同側(cè)

( )

解析：如圖，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由題設(shè)易知ON是Rt△NF1F2斜邊上的中線，從而可知OM平分∠F1ON.

評(píng)析：本題巧妙地運(yùn)用了雙曲線的漸近線的對(duì)稱(chēng)性(關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng))以及相關(guān)平面幾何知識(shí).

3.兩交點(diǎn)與焦點(diǎn)的位置不確定

解析：由于交點(diǎn)A,B與左焦點(diǎn)F的位置關(guān)系不確定，所以需要討論如下.

當(dāng)A，B在左焦點(diǎn)F的異側(cè)時(shí)，垂足為A，則|FA|=b，所以|FB|=2b，設(shè)∠FOA=α，則∠FOB=α，

評(píng)析：典例5與典例6已明確告訴焦點(diǎn)與兩交點(diǎn)的位置，而此例沒(méi)有明確告訴，故需要分類(lèi)討論.

類(lèi)型五：圓錐曲線解答題中以坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直角為角的內(nèi)角平分線

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

又因?yàn)辄c(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)，

=0，

所以∠OMA=∠OMB.

綜上，必有∠OMA=∠OMB，故得證.

評(píng)析：本題側(cè)重考查考生對(duì)直線與橢圓知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，第二問(wèn)的解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用“分類(lèi)與整合思想”“數(shù)形結(jié)合思想”以及“等價(jià)轉(zhuǎn)化思想”，同時(shí)對(duì)化簡(jiǎn)運(yùn)算能力也提出了較高的要求.