幾種弧度制概念形成方式的比較與改進

浙江 毛浙東

(作者單位：浙江省寧波市北侖中學)

弧度制是高中數學中的一塊重要內容，蘊含著豐富的數學文化內涵.弧度制作為一堂經典的課例頻頻在各類教學研討活動中被展示，這也讓我們看到了弧度制“百花齊放”的一面.本文通過對幾種常見的弧度制概念形成方式的比較，博采眾家之長，對弧度制概念的教學進行改進，充分挖掘弧度制的文化價值和育人價值，從而更好地培養學生的數學核心素養.

1.幾種常見的弧度制概念形成的方式

方式1：通過類比直接給出概念

有部分教師認為，弧度的概念是人為規定的，沒有必要讓學生對概念的形成過程進行探究，更何況讓學生自主探究弧度制的概念是有難度的，弄不好就會冷場，因此很多教師會選擇類比的方式直接將定義拋給學生.

教學環節教學活動概念引入 問題1:同學們還記得哪些度量長度和度量重量的單位?問題2:對于不同的度量單位,它們之間有何關系?概念形成 師:長度可以用米、千米、英里等不同的單位測量,物體的重量可以用公斤、磅等不同的單位衡量,那么角除了用初中學過的角度制來度量,也有其他的度量方式,我們今天就來學習這種新的度量方式———弧度制.教師利用課件展示:1弧度角和弧度制的概念,并給出π=180°是弧度制和角度制的互換公式

方式2：從進制統一的角度拋出概念

教師從進制統一的角度出發，引導學生將六十進制的角度轉化為十進制的弧度制.

教學環節教學活動概念引入 問題1:初中我們學習過角度,同學們覺得1度角是如何定義的?問題2:角度制是幾進制?我們現在比較常用的是幾進制?概念形成 師:角度制下帶著度、分、秒的各單位角進行加減運算時,由于是六十進制,運算比較麻煩.是否可用十進制的度量方式,來重新定義角呢?教師課件展示:1弧度角和弧度制的概念

方式3：從生活情境中提煉概念

教師通過生活情境的創設，引導學生借助生活經驗，在生活情境中提煉出“弧長與半徑比值為定值”的數學實質，培養學生數學抽象的能力.

教學環節教學活動概念引入 問題1:用扳手擰緊螺帽,是大家非常熟悉的場景,你能從中看出扳手轉動與螺帽轉動之間有什么特點和聯系?概念形成 問題2:扳手的手柄從點A轉動到B,螺帽上的點A1也跟著轉動到了點B1,同學們從中發現幾何數量之間具有哪些相等或不等關系?師生共同探討,形成弧度制的概念和1弧度角的概念

方式4：通過弧長、半徑、角度三者關系的探究形成概念

教學環節教學活動概念引入 師:在扇形中,圓心角的大小是否與弧長和半徑有關?概念形成 探究:角度分別為30°,60°,90°的圓心角,當半徑r=1,2,3,4時,分別計算弧長l與半徑r的比值,計算完成后進行小組討論,并總結發現的規律.學生發現:當角度變化時,比值lr會變化,當角度不變時,比值lr不變,即角的大小由比值lr決定.師:我們不妨就用弧長與半徑的比值,來重新度量角,即α=lr,并稱這種度量方式為弧度制,同學們認為弧度制下的1度角該如何進行定義?學生通過討論,形成1弧度角的概念

方式5：從初中學過的弧長公式中引出概念

教師引導學生通過對已學過的弧長公式的結構進行變形和剖析，發現與本課內容相關的知識點，并啟發學生探究新的知識.

教學環節教學活動概念引入 問題1:請同學們回憶初中對1度角是如何定義的?問題2:大家還記得弧長公式嗎?概念形成 小組討論:觀察弧長公式,當圓的半徑r固定時,弧長l與圓心角的度數n之間是一種怎樣的關系?學生發現:弧長公式l=nπr180變形后可得n=180π·lr,這個公式解釋了圓心角n與lr的值一一對應,也就是說用弧長與半徑的比值lr可以表示圓心角.問題3:我們能否從中給出角度的另一種定義?你覺得應該如何定義新的1度角呢?學生發現:α=lr,并規定弧長和半徑相等的圓心角為1度

2.幾種弧度制概念形成方式的比較

在以上幾種弧度制概念的形成方式中，方式1是通過類比之前學過的長度、重量的各種度量單位，開門見山地拋出概念，這樣的教學方式比較節約時間，同時類比讓知識的延展也比較自然.方式2則抓住了人類發明弧度制的初衷，說明了為什么要學習弧度制的理由.遺憾的是這兩種形成弧度制概念的過程都過于直接，沒有讓學生進行探究和發現.由于學生沒有經歷概念的自主建構過程，會導致學生對弧度制缺乏深度的理解，同時還喪失了一次非常好的思維鍛煉機會.根據調查結論顯示，有三分之二的學生對1弧度的定義不能準確把握，大多數學生對1弧度概念的表現貧乏，并且在解決問題時這些表象之間并不互相聯系，這正是因為學生在概念學習中缺少自主探究的環節，導致對概念理解不到位.方式3創設了真實的生活情境，從生活中常見的扳手轉螺帽的過程中引出概念，這種教學方式有利于激發學生的興趣，培養學生數學抽象的能力.但是復雜的生活情境中元素過多，容易干擾學生對數學關鍵元素的提取，導致學生探究方向不明.方式4的優點在于能幫助學生找準探究的方向，課堂不會跑偏，探究會比較順利.方式5最大的亮點是從熟悉的公式出發，在學生知識的最近發展區引出概念，讓知識的建構更加自然，這種引出概念的方式成功突破了教學的難點，也很好地培養了學生的探究能力.但是這兩種方式的探究路徑過于狹窄，容易禁錮學生的想象力，不利于學生創新思維的培養.

3.弧度制概念形成的改進方案

以上各種概念的形成方式各有所長，也有不足，那該如何進行改進呢？要回答這個問題，就要先思考人類為什么要發明弧度制，人類發明弧度制經歷了怎樣的曲折歷史，弧度制的育人功能如何更好地被開發出來?

首先，人類發明弧度制的目的就是為了統一進制，簡化運算，因此在概念的形成過程中，教師一定要向學生滲透這層重要信息；其次，根據歷史相似性，教師要對弧度制形成的曲折歷史了然于胸，這樣才能設計出好的教學情境，從而讓學生經歷真實的探究過程，積累他們的自主發現數學知識的經驗；再者，課堂除了傳授學生知識，更重要的是培養學生的思維品質，而弧度制是非常好的思維鍛煉載體，教師要努力開發弧度制的育人功能.根據以上幾點考慮，我們設計了如下的改進方案：

教學環節教學活動設計意圖概念引入 問題1:從海口到三亞直線距離有多遠?有人回答約250公里,但也有人回答約160英里,你贊同哪種說法?問題2:老師的體重約為70公斤,但有人說老師的體重約154磅,你怎么看?問題3:長度可以用公里、英里等不同的單位測量,物體的重量可以用公斤、磅等單位衡量.我們這幾天在學習角,你們還記得角是用什么單位度量的?角會有其他的度量方式嗎? 從長度、重量等學生熟知的計量單位出發,讓學生感知度量事物單位的多樣性,從而類比到角的度量可能也存在著多種方式,這種概念引入的過程是比較自然的概念形成第一階段 問題4:大家還記得1度角是如何定義的?度這個單位使用的是幾進制?問題5:請觀察等式sin30°=12,你認為等式兩邊的單位進制統一嗎?問題6:我們比較習慣十進制,那能否重新定義角,讓角也成為十進制呢? 通過讓學生對熟知的等式sin30°=12進行觀察,發現其左、右兩邊進制單位不統一,制造認知沖突,讓學生自覺地意識到,引入角的新度量單位是非常有必要的,它有利于實現進制的統一,簡化運算,而這也恰是歷史上人們引進弧度制的本意概念形成第二階段 問題7:如圖,在扇形AOB中,AB為弦,你認為角度α的大小與哪些度量有關?你覺得可以怎樣用這些度量來刻畫角α?學生觀點1:弧弦說持觀點1的學生認為角α的大小與弧AB︵和弦AB有關,一旦弧長與弦長確定,那么角也確定了.如圖,學生利用幾何畫板探究后發現,當角α的大小固定時,ABAB︵=CDCD︵,因此可以用弧與弦的比值來刻畫角.學生觀點2:弦徑說持觀點2的學生認為,角由弦和半徑共同決定,若弦長與半徑確定,那么角α也確定了,如圖,學生通過計算發現,ABOA=CDOC,即可以用弦與半徑的比值來刻畫角.學生觀點3:弧徑說持觀點3的學生認為,角由弧和半徑共同決定,如圖,他們發現ABOA︵=CDOC︵,即可以用弧與半徑的比值來刻畫角 通過設置開放性的問題,再現了人類發現弧度制的曲折歷程.古希臘的數學家希帕科斯發現,在給定半徑的圓中,弧和弦之間存在一一對應關系,并繪制了世界上第一張弦表,希帕科斯的想法與學生提出的觀點1比較吻合.印度數學家利提克斯推翻前人的想法,重新給出了正弦的定義,第一次用半弦與半徑的比值來刻畫角度,從此三角學就不再依附于圓而僅在一個直角三角形中存在了,利提克斯的這種想法與學生的觀點2不謀而合.大約在1714年,羅杰·柯特斯正式提出用弧與半徑之間的比例關系來定義角度,而這正是學生提出的觀點3.通過開放性問題的設置,讓學生充分發揮想象,得出了三種不同的觀點,而這三種觀點與歷史上弧度制形成的三個階段非常相似,學生在此過程中經歷了真實的數學概念再創造過程,體驗了發現新知的喜悅,他們的直觀想象、數據分析、數學抽象等核心素養都得到了很好的發展

續表

4.對改進方案的反思

改進后的方案，不但體現了學習弧度制的必要性，也再現了弧度制形成的歷史，并且教師通過開放性問題的設計，培養了學生的抽象能力、分析能力、創新能力、批判能力等，弧度制的育人功能被充分挖掘出來.

4.1關注了弧度制概念引入的自然性

在概念引入環節，教師從生活中存在的長度、重量等學生熟知的計量單位出發，讓學生感知度量事物的單位的多樣性，從而類比到角的度量可能也存在著多種方式，為弧度制的引入奠定了感官基礎，這種概念的引入過程是自然的.從認知心理學的角度看，具有固著點的知識在學生大腦中生長更加自然，也會更加牢固和持久.

4.2凸顯了引進弧度制的必要性

4.3尊重了學生探究的自由性

數學概念的學習是學生的自我建構過程，不同的學生會有不同的建構方式，我們應當尊重學生的個體差異，設置具有開放性的問題，讓學生能更加自由地進行探究.在概念形成的第二階段，教師就設計了具有開放性的問題，重現弧度制被發現的歷史場景，讓每個學生都能根據自己的理解，去發現新的知識，實現“百家爭鳴”.整個探究過程尊重了學生探究的自由性，讓學生經歷真實的知識再創造的過程，鍛煉了學生的創新能力，也為他們今后獨立地去發現新的數學知識積累了基本活動經驗.

4.4闡明了弧度制定義的合理性