淺談可視化視角下的圓錐曲線統一定義教學

安徽 劉守文

(作者單位：合肥市第三中學)

近年來，隨著信息技術的日益發展，廣大數學教師充分將信息技術與課堂教學內容深度融合，“再創造”數學課堂教學情境，開發智慧課堂.而可視化教學是信息技術整合到數學課堂的一個新的視角，是數學課堂教學改革的發展方向之一.可視化教學的理論基礎是建構主義學習理論，“再創造”教學思想和知識的多元表征理論，其本質是利用信息技術手段直觀“再現”數學知識發生、發展的過程，具有“數學實驗”的生成性特征，旨在解決學生對抽象數學知識的理解.

利用GeoGebra軟件，數學課堂教學可以有效地實現數與形的完美結合，在探究、發現新知識，檢驗未知猜想等教學效果顯著.“圓錐曲線”是中學數學的重要內容之一，蘊含豐富的數學文化內涵，歷史文化底蘊豐厚.特別是古希臘阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》，其數學哲學文化思想博大精深、方法體系優美絕倫，是數學課堂教學思維品質優化的最佳題材.本文借助GeoGebra軟件平臺，揭示圓錐曲線統一定義的教學過程，挖掘圓錐曲線相關數學文化背景，將古代優秀數學文化成果與信息技術有效整合，以期為高中數學可視化案例教學提供些許借鑒.

一、圓錐曲線概念形成的直觀演示

圓錐曲線有豐富的歷史背景，傳說古希臘人從削尖的圓木樁中發現了“圓錐曲線”.人教A版教科書選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》的前言，引用古希臘幾何學家阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中的敘述：“如圖，用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當截面與圓錐的軸夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線.我們通常把圓、橢圓、拋物線、雙曲線統稱為圓錐曲線”.

圓錐曲線概念形成的過程，若僅靠教師講解，數學知識的發生與發展過程無法得到自然、直觀的“再現”.我們借助GeoGebra軟件，不僅能直觀演示，還可以動態地演示曲線的生成過程.

如圖，在GeoGebra的3D繪圖區畫出空間曲面x2+y2=z2(有公共頂點的兩個圓錐)和平面x=0，然后將平面x=0旋轉α角度，再按照向量μ=(λ，0，0)進行平移，建立α，λ的滑動條，控制平面旋轉角度和平移位置.教師可以通過改變平面的傾斜程度(拖動α滑動條)向學生動態直觀地展示平面與圓錐的截口曲線的變化情況，通過適當平移平面(拖動λ滑動條)可以使截口曲線更容易顯現出來.通過直觀展示，學生直觀認識了截口曲線是圓錐曲線，同時直觀感知：平面的傾斜程度決定截口曲線形狀.

截口曲線直觀演示

二、圓錐曲線統一定義生成過程演示

(一)旦德林雙球模型演示橢圓

數學是嚴謹的，學生對截口曲線是圓錐曲線的直觀感知，要通過定義來檢驗.對于橢圓，旦德林雙球模型巧妙地從純幾何角度演繹出截口曲線符合橢圓定義.

旦德林雙球模型直觀演示

(二)旦德林雙球模型演示雙曲線與拋物線

通過前面截口曲線的直觀演示，我們有一個直觀感知：平面π′的傾斜程度決定截口曲線形狀.設圓錐母線與旋轉軸的夾角為α，平面π′與xOy面的夾角為β(銳角)，如圖所示，拖動滑動條β，角β的值會發生改變，多次演示，學生會得出以下猜想結果：

(1)當α+β<90°時，截口曲線為橢圓；

(2)當α+β=90°時，截口為拋物線；

(3)當α+β>90°時，截口曲線為雙曲線.

旦德林雙球模型的關鍵之處是利用雙球與平面相切的切點，猜想切點即橢圓的兩個焦點，然后利用定義驗證.對于雙曲線、拋物線是否也可以這樣做呢？具體模型又怎么建立呢？通過類比，我們可以嘗試將旦德林雙球模型進行“變式”，即將“內公切面”改為“外公切面”，動手操作來猜想、探究結果.用動態演示來代替抽象思考，實現數學可視化教學.

如圖，建立好模型后，在截口曲線上任意取動點K，連接KF1，KF2，計算|KF1-KF2|,學生會發現KF1，KF2的值隨著動點K的改變而改變，但|KF1-KF2|的值始終是定值5.47，拖動滑動條改變平面傾斜程度，會得到同樣的結論.因此，動點K的軌跡符合雙曲線定義.

如圖，過圓錐頂點O、動點K作母線，與兩球的切點為M，N，易證KF1=KN,KF2=KM，所以|KF1-KF2|=|KN-KM|=MN.我們再利用GeoGebra的度量工具，度量出上述線段的長度，啟動點K的動畫，得出的結果與幾何證明完全一致，從而實現了定義的可視化證明.

雙曲線、拋物線定義可視化證明

當α+β=90°時，根據猜想結果，我們假設球與平面的切點F為拋物線的焦點.在這里GeoGebra作為探究的工具性價值得到了完美的體現，可以引導學生先猜想再利用GeoGebra進行可視化檢驗，很多學生的第一印象猜想準線應該是平面π′與xOy面的交線l′，作MH1⊥l′，通過GeoGebra的度量工具檢驗，發現MF≠MH1，因此需要重新探究準線.

經過探究：準線是過與切點F關于球心對稱的點G的平面π與平面π′的交線l.設MH1與直線l交于點H，由題意可知，MH⊥l，通過度量工具可以發現MF=MH，所以動點M的軌跡是拋物線.

三、圓錐曲線統一定義的證明

類似地，雙曲線也可以這樣定義，進而得出圓錐曲線的統一定義：到定點的距離與到定直線的距離之比等于定值e的點的軌跡是圓錐曲線(橢圓(01)).

(1)當α+β<90°時，β<90°-α，sinβ

(2)當α+β=90°時，β=90°-α，sinβ=sin(90°-α)，e=1，截口曲線為拋物線；

(3)當α+β>90°時，β>90°-α，sinβ>sin(90°-α)，e>1，截口曲線為雙曲線.

圓錐曲線統一定義可視化探究

四、結束語