化歸與轉化思想在含參問題中的應用

安徽 陳曉明

(作者單位：安徽省寧國中學)

化歸與轉化思想是高考考查的一種重要數學思想，它是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之等價轉化，進而解決問題的一種思想.本文對兩道試題進行研究，以期找到應用化歸與轉化思想求解問題的策略.在我們的教學中，要更多地關注學生對數學思想方法感悟的充分性與全面性，要創設大量的機會給學生思考、探究、總結、提煉，讓數學思想方法在教學中能真正地落到實處.

化歸與轉化思想的應用包括以下三個方面：(1)將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題；(2)將難解的問題通過變換轉化為易解的問題；(3)將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題.

本學期筆者所在學校(省級示范高中)高一年級兩次大型考試數學試題的壓軸題都是考查含參問題(求參數取值范圍)，得分率極低，主要原因就是學生不知道如何將問題進行化歸與轉化，充分體現了學生化歸與轉化思想的缺失.在試卷講評課上筆者帶領學生對試題進行研究，以期找到此類問題的求解策略.

【例1】已知f(x)=1-x2，若函數y=f(|2x-1|)-3k·|2x-1|+2k有兩個零點，求實數k的取值范圍.

教師：誰來談談你的想法？

學生1：我認為求實數k的取值范圍要根據函數y=f(|2x-1|)-3k·|2x-1|+2k有兩個零點的條件，可是函數解析式太復雜了，我不敢嘗試，害怕浪費了時間卻無功而返.

教師：函數的零點問題通常怎么去研究？

學生2：函數y=f(|2x-1|)-3k·|2x-1|+2k=1-(2x-1)2-3k·|2x-1|+2k有兩個零點，即方程1-(2x-1)2-3k·|2x-1|+2k=0有兩個不同的實根.可這個方程依然很復雜，怎么判斷它有兩個不同的實根我不知道.

教師：很好，把函數的零點問題轉化為對應方程根的問題，這個方程能進一步轉化嗎？

教師：很厲害，我們離目標越來越近了.問題已進一步轉化，化歸為一個關于x的方程t=|2x-1|(t為常數)有且只有兩個實根來確定參數t的值或范圍的問題，我們以前遇到過這種問題嗎？我們是怎么解決的？

這時大家如夢方醒，紛紛動起筆來，原來原問題經過一步步轉化，竟然變成了一個我們熟悉的問題.

學生4：關于x的方程t=|2x-1|(t為常數)有且只有兩個實根可進一步轉化為兩個函數y=t(t為常數)與y=|2x-1|的圖象有且只有兩個交點，即兩條水平直線y=t1，y=t2與函數y=|2x-1|的圖象有且只有兩個交點.如圖所示，好像要分類討論，具體分幾類我不能確定.

教師：那大家思考一下到底有幾種情況？

大家七嘴八舌地討論起來，經過一番爭論，最終確定應該有3種情況：(1)當t1<0,01時，滿足題意.不過如何根據方程t2+3kt-(2k+1)=0的根t的范圍求實數k的取值范圍又引起了同學們的困惑.筆者看出了大家的心思.

教師：現在問題可轉化為一個什么問題？

學生(齊聲回答)：二次函數零點的分布問題.

教師：對呀，再次把方程的根的問題轉化為對應函數零點的問題，二次函數零點的分布是一個難點，看誰能解決這個問題？

學生5：令g(t)=t2+3kt-(2k+1)，

教師：真是了不起，能攻破“二次函數零點的分布”這座堡壘不容易啊！

看到別人得到表揚，大家都躍躍欲試，平時一向比較內斂的李同學竟然也舉手了.

教師：真聰明，前面的解法屬于幾何法，沒想到代數法也能求解，真是數形結合啊！既然大家對二次函數零點的分布有興趣，而它又是考試的重點和難點，接下來我們進一步進行研究.

【拓展】對于一般的二次函數f(x)=ax2+bx+c(a>0)，分別在下列情況下求a,b,c滿足的關系式.

(1)有兩個正零點；(2)有兩個負零點；(3)有一正一負兩個零點.

經過學生討論，很快有了結論：

推廣：兩個零點均比k大(兩個正零點其實就是兩個零點均比0大)：

(接下來將各式展開、重組，利用韋達定理可得到系數滿足的條件)

推廣：兩個零點均比k小(兩個負零點其實就是兩個零點均比0小)：

推廣：兩個零點一個比k大，一個比k小(一正一負兩個零點其實就是一個比0大，一個比0小)：

教師：集體的智慧是無窮的，經過大家的努力，我們得到了這么多收獲，二次函數零點的分布還有哪些情況？需要滿足怎樣的條件？我們同學可以在課后進一步研究.

為了進一步熟悉此類題型，筆者趁熱打鐵.

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A.b<0且c>0 B.b>0且c<0

C.b<0且c=0 D.b≥0且c=0

學生7：如圖所示，只要方程f2(x)+bf(x)+c=0中能解出f(x)的兩個值，其中一個值等于0(可得c=0),另一個值大于0(f2(x)+bf(x)=0可得b=-f(x)<0),故本題正確答案是C.

教師：漂亮，看似很恐怖的一道題原來這么簡單地解決了！看來復合方程并不可怕.學生7同樣利用換元法，將方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個不同實數解的問題轉化為關于t的二次方程t2+bt+c=0有兩個不等的實根，其中一根為0(可得c=0)，另一根為正數(t2+bt=0，可得b=-t<0).這樣就自然地將復雜問題轉化為我們熟悉的簡單問題，體現了化歸與轉化的思想.

本文提出了一種Fisher分布下具有閉合的虛警概率解析表達式的極化SAR圖像CFAR檢測新方法.實驗結果表明，在Fisher分布區域檢測結果中，新方法品質因數高于或等于其他檢測方法；在非Fisher分布區域，本文方法的檢測效果仍良好，具有較強的魯棒性.

教師：有了前面化歸與轉化思想的應用，本試題你能做怎樣的化歸與轉化？

結束語

在數學的教與學過程中，讓學生獲得數學的基本思想是數學課程標準的重要目標，也是數學核心素養的重要體現.在上述例子中除了應用化歸與轉化的思想，還滲透了數形結合、分類討論、函數與方程等數學思想方法.每一種數學思想方法在數學學習中都起著至關重要的作用.

俗話說，沒有思想就沒有高立意.因為數學知識的教學只是信息的傳遞，而數學思想方法的教學，才能使學生形成觀點和技能，數學學習的根本目的就在于掌握這種具有普遍意義和廣泛遷移價值的策略性知識.要學生真正從思想深處接受、領悟并掌握一種數學方法，必須有一個體驗、感悟、浸潤的過程.