問(wèn)渠那得清如許 為有源頭活水來(lái)
——從一道高考題的溯源與探究中談解析幾何題的命制

安徽 萬(wàn) 勝

(作者單位：安徽省蕪湖市第一中學(xué))

每年的高考真題都是命題者的智慧結(jié)晶，而每年的解析幾何高考真題，一般都具有初等幾何或高等幾何背景.筆者對(duì)2020年高考全國(guó)卷Ⅰ理科中的解析幾何第20題的題源進(jìn)行分析與探究，分別從初等幾何和高等幾何的范疇思考本題，從具體實(shí)例中揭示研究圓錐曲線性質(zhì)的初等幾何與高等幾何的兩種思考方法，同時(shí)以此來(lái)觀察高等幾何與初等幾何的聯(lián)系，從該高考題背景中探尋規(guī)律，揭示試題題源，命制新題，以期對(duì)一般的解析幾何試題的命制規(guī)律具有一定的指導(dǎo)作用，供教師參考.

一、試題呈現(xiàn)

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).

二、初等幾何、變換溯源

事實(shí)上，題目1中體現(xiàn)了關(guān)于阿波羅尼斯圓的命題，是其在伸壓變換下，由圓變?yōu)闄E圓所對(duì)應(yīng)的結(jié)論，其中有如下命題與結(jié)論：

命題1：如圖1，設(shè)AB是圓O的一條直徑，點(diǎn)P是與AB垂直且與圓O相離的定直線上的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA,PB與圓的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為C,D，則直線CD過(guò)直徑AB上的定點(diǎn)S.其逆命題也成立.

圖1

(注：為方便比較，引用上述命題與結(jié)論時(shí)，部分字母有所調(diào)整；同時(shí)為了符合人教版教材編寫內(nèi)容，本文中變換呈現(xiàn)方式也有所調(diào)整.)

顯然，追根溯源，2020年全國(guó)卷Ⅰ理科第20題(Ⅱ)是本結(jié)論的特殊情況.這種基于橢圓與圓的伸壓關(guān)系，回到圓這樣的初等幾何基本圖形，利用平面幾何中圓的性質(zhì)衍生出橢圓相關(guān)結(jié)論(事實(shí)上還可以類比橢圓的性質(zhì)，進(jìn)一步類比產(chǎn)生雙曲線與拋物線的類似性質(zhì))，不失為一種較好的研究圓錐曲線性質(zhì)的方法.

三、延伸探究、思考本質(zhì)

1.特殊到一般、實(shí)驗(yàn)探索

欣賞著如此美妙的初等幾何性質(zhì)與本題的關(guān)系，筆者仍然感到美中不足，該題中的A,B兩點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)，能否推廣到一般情形呢？如圖2，即若AB為橢圓E的任意一條弦，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.直線CD過(guò)定點(diǎn)嗎？

圖2

能否從該橢圓伸壓變換前所對(duì)應(yīng)的圓出發(fā)，若AB為該圓的任意一條弦，得到性質(zhì)，進(jìn)而產(chǎn)生橢圓相關(guān)結(jié)論呢？

考慮到從圓的角度出發(fā)，用初等幾何方法來(lái)推導(dǎo)的困難性，以及從橢圓出發(fā)運(yùn)算的復(fù)雜性，況且該結(jié)論的正確性也具有未知性.

為此，筆者想到先用信息技術(shù)輔助驗(yàn)證，因而不妨選擇橢圓用幾何畫板軟件進(jìn)行作圖驗(yàn)證，如圖3，從直線族CD的包絡(luò)圖形可知，直線CD并不過(guò)某定點(diǎn).

圖3

2.高等幾何、本質(zhì)溯源

為了揭示本題所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律，給出如下橢圓中的一般性質(zhì)：

圖4

由此易知，結(jié)論1為命題2的特殊情形.同時(shí)，易知AD,BC的交點(diǎn)Q也在該極線l上，從而可以僅僅利用直尺作出點(diǎn)S關(guān)于該橢圓的極線l(如圖5及圖6).

圖5

圖6

3.理解本質(zhì)、直尺作圖

從高等幾何的范疇看，點(diǎn)列與線束之間的射影是對(duì)應(yīng)的.所以只需作出極線l上點(diǎn)列關(guān)于該橢圓所對(duì)應(yīng)的極線束的交點(diǎn)，也是該極線l所對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)，即本題中的定點(diǎn).當(dāng)然考慮極線l上P,Q兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極線p,q的交點(diǎn)即可.

如圖7，對(duì)于橢圓外一點(diǎn)P，仿照?qǐng)D5和圖6作圖方法：過(guò)點(diǎn)P作橢圓E的兩條割線l1,l2交橢圓E于點(diǎn)A,B和C,D，設(shè)AC,BD的交點(diǎn)為T，AD,BC的交點(diǎn)為R，則點(diǎn)P關(guān)于橢圓E的極線p即直線RT.同理可以作出點(diǎn)Q的極線q，這樣兩直線p,q的交點(diǎn)即為所求極點(diǎn).

圖7

更為奇妙的是，如圖8，對(duì)于該橢圓外一點(diǎn)P，其極線p與橢圓E交于兩點(diǎn)M,N.易知點(diǎn)M的極線必過(guò)點(diǎn)P，而由命題2可知橢圓上的點(diǎn)的極線即為該點(diǎn)處的切線，所以直線PM與橢圓E相切，同理：直線PN與橢圓E相切.這樣，既給出了橢圓外一點(diǎn)P關(guān)于該橢圓的極線作法(只需過(guò)點(diǎn)P作出橢圓的兩條切線，兩切點(diǎn)連線即為極線)，同時(shí)該過(guò)程也給出了僅僅用直尺作出橢圓切線的方法.

圖8

這樣，我們可以用高等幾何知識(shí)為理論依據(jù).如圖9，用類似于圖9的方法僅僅用直尺由圓外一點(diǎn)P作出該圓的兩條切線PM,PN，進(jìn)而得出點(diǎn)P關(guān)于該圓的極線MN；如圖10，在直線l取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)Q，作出其關(guān)于該圓的極線M1N1，則直線MN與直線M1N1交點(diǎn)S即為直線l關(guān)于該圓的極點(diǎn).

圖9 圖10

四、理論實(shí)踐、編制新題

基于以上論述，完善筆者的猜想，可將2020年全國(guó)卷Ⅰ理科第20題推廣，進(jìn)而可以編制新的試題.

對(duì)于題目1，我們?cè)噲D修改題中已知直線AB的位置，利用潛在的極點(diǎn)與極線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)極線上動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生動(dòng)直線CD，進(jìn)而由動(dòng)直線CD所過(guò)的定點(diǎn)得到該極線所對(duì)應(yīng)的極點(diǎn).

這樣可以編制如下關(guān)于圓的試題.

圖11

圖12

當(dāng)然，本題可推廣至一般情形.

五、歸納過(guò)程、清晰規(guī)律

追根溯源，才能站得高，看得清晰.以上探究過(guò)程蘊(yùn)含著2020年全國(guó)卷Ⅰ理科第20題的背景.同時(shí)，也揭示了高中平面解析幾何試題的一類編制方法：一方面可以從初等幾何圖形的性質(zhì)中衍生出圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)；另一方面可以用高等幾何的知識(shí)作為理論依據(jù)，拓寬初等幾何研究的思路，在更高的范疇內(nèi)討論問(wèn)題，理解問(wèn)題，加深對(duì)于初等幾何的理解和概括，從而對(duì)于其中的問(wèn)題理解更加清晰，再利用類比思想，恰當(dāng)變換從而命制解析幾何試題.