明算理，優方法，提素養
——以2021年“八省(市)聯考”第7題為例

重慶 李海堂

(作者單位：重慶市榮昌中學)

解析幾何的本質是用代數的方法研究幾何圖形的性質.解決解析幾何問題的常規處理思路是借助曲線的幾何位置關系等價轉換為代數關系，通過合理的運算探尋到量的關系，再翻譯成幾何特征，體現了數形結合思想.解析幾何的內容比較豐富，既有對平面圖形的認識和圖形的量的處理，又有較復雜的運算，備受命題者的青睞，在高考試卷以及各級各類的模擬考試中都會出現，具有較強的區分功能.因此，如何探究其解題思路，優化其運算路徑，簡化其運算過程，都具有非常現實的意義.本文以2021年八省(市)聯考第7題解析幾何為例，對此題進行了解法探究以及結論的推廣.

一、試題呈現

已知拋物線y2=2px上三點A(2,2)，B，C，直線AB，AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為

( )

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

本題雖然是一道選擇題，但考查的知識點比較多，主要考查直線方程，拋物線的標準方程，直線與拋物線、直線與圓的位置關系等基礎知識，在解題過程中，涉及函數與方程、數形結合、化歸與轉化等基本數學思想，同時考查了直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養，突出能力立意，彰顯數學思想方法.解題思路較寬，為學生提供了多樣化的選擇，要完整準確解答該題，學生必須要有較強的推理能力、探究能力和運算能力.

二、解法探究

(一)列式求解，解出交點

解法一：由已知把A(2,2)代入拋物線y2=2px，得p=1，

因此拋物線方程為y2=2x，

圓(x-2)2+y2=1的圓心設為D(2,0)，注意到AD⊥x軸，則kAB+kAC=0，

設AB：x=my-2m+2，m>0，

則AC：x=-my+2m+2，

設B(x1,y1)，則2y1=4m-4，所以y1=2m-2，

故x1=2m2-4m+2.

即B(2m2-4m+2,2m-2)，

即3x+6y+4=0，故選B.

點評：得到①式后，有些學生不能正確因式分解，導致運算不能順利進行.要引導學生用求根公式求出B點的縱坐標，或者借助韋達定理2+y1=2m，2y1=4m-4，解出y1，也就是用字母m表示B，C兩點的坐標.此題還可以先求斜率再直接求出B，C兩點的坐標，若求斜率的話，學生一看到直線方程有根號就畏懼，容易算錯.在平時的教學中要讓學生比較不同的算法，哪個運算更簡單和更直接，要培養學生邊做邊算邊思考的習慣，在細微之處培養學生的運算素養.

(二)設點求解，簡化運算

同理3x2+6y2+4=0，所以B(x1,y1)，C(x2,y2)都在直線3x+6y+4=0上，故選B.

點評：根據點B在拋物線上，由拋物線方程設出點B的坐標，由A，B兩點坐標寫出直線AB的方程，再由AB與圓相切得到B點縱坐標的等量關系式，又根據B點在拋物線上，繼而轉化為點B橫坐標與縱坐標的二元一次方程，然后用曲線與方程的關系使問題得以解決.此種方法設而不求，運算簡便，解法優美.

(三)幾何直觀，理性分析

又根據B，C兩點在拋物線上，

又設B，C的中點為H(x3,y3)，

點評：此種解法抓住了特殊角，由直線AB，AC的傾斜角求出其斜率，通過點差法求出B，C兩點的縱坐標及BC中點的坐標，從而得出BC的直線方程，運算比較簡單也容易算出.其實這里可以推廣到一般的拋物線BC恒過定點以及BC的中點與BC斜率之間的關系，如果在平時的練習中總結一些結論并記住它就很容易得出答案.

(四)退化曲線，探尋本質

解法五：若把直線AB和AC的方程3(x-2)2-(y-2)2=0和拋物線y2=2x聯立得到經過A，B，C三點的曲線系方程可設為3(x-2)2-(y-2)2+λ(y2-2x)=0，整理得3x2+(λ-1)y2-(12+2λ)x+4y+8=0，而點A(2,2)處的拋物線y2=2x的切線方程AG為x-2y+2=0，設BC的直線方程為ax+by+c=0，則過AG，BC的退化的二次曲線方程為(ax+by+c)(x-2y+2)=0與3x2+(λ-1)y2-(12+2λ)x+4y+8=0相同，比較對應系數得a=3,b=6,c=4，從而直線BC的方程為3x+6y+4=0，故選B.

點評：解法四、解法五均用到了曲線系的思想來處理這道題，當然解法五也可以通過因式分解化成兩個關于x,y的一次方程的乘積的形式，也可以將切線AG和直線BC的組合曲線與拋物線組成新的曲線系，即是(x-2y+2)(ax+by+c)+μ(y2-2x)=0，此曲線系表示直線AB和AC的方程3(x-2)2-(y-2)2=0，比較對應的系數即可.

上述的5種解題思路是充分理解了問題解決的目標、靈活抓住問題條件中不同的數學形式表達，明算理、優方法指導下的一次解題歷練.一題多解，不是解題追求的目標，更重要的是提煉解決問題的通性通法，形成數學的方法與思想，促進學生數學素養的提高.

三、問題推廣

以解法三作為基礎，進行拓展，得到圓錐曲線的一般規律.

結論1：圓錐曲線的弦AB的斜率k可由該弦的中點坐標P(x0,y0)來表示.

結論2：已知圓錐曲線上的一個定點A(x0，y0)和兩個動點B，C(不與A重合)，若直線AB和直線AC的斜率之積為常數λ，即kAB·kAC=λ(λ≠0).

證明：①設直線AB的方程為m(x-x0)+n(y-y0)=1，

上式變為b2(x-x0)2+a2(y-y0)2+2b2x0(x-x0)+2a2y0(y-y0)=0，

所以b2(x-x0)2+a2(y-y0)2+[2b2x0(x-x0)+2a2y0(y-y0)][m(x-x0)+n(y-y0)]=0,

得a2(1+2ny0)k2+2(a2my0+b2nx0)k+b2(2mx0+1)=0,

因為kAB·kAC=λ(λ≠0)，所以b2(2mx0+1)=λa2(1+2ny0).

又m(x-x0)+n(y-y0)=1，與上式消去m整理得

2n[λa2y0(x-x0)+b2x0(y-y0)]+(λa2-b2)(x-x0)-2b2x0=0，

②證明只需把橢圓里的b2換成-b2即可.

四、結束語