提高數學解題能力，突破數學易錯試題

湖北 李愛蘭

(作者單位：武漢市第十四中學)

解題是數學學習的一個基本方式與環節，是利用數學學習過程中形成的數學知識、數學思想、數學方法來解決問題，驗證認識，反思學習的過程.因此，解題能力與效果直接影響學生的學習信心和學習效果.幫助學生提高解題能力是完成教學任務、提高數學教學實效的基本要求,有助于調動學生數學學習的積極性和創造性.尤其是面對一些難度并不大，但存在各種誤區與陷阱的易錯題，往往會成為學生成績的分水嶺.掌握一定的解題能力與技巧，就能破解各種易錯題，即使不能突破壓軸題，也能立于不敗之地.因此，在教學中提高學生解題能力，幫助學生破解數學易錯題，就顯得尤為重要.

1.重視概念學習，理解知識本質

數學概念反映的數學對象的屬性是抓住了數學對象的最根本的、最重要的本質屬性，每一個概念都有一定的外延與內涵.而平時教學中對概念本質理解得不透徹，對其外延與內涵掌握得不準確，都會在解題中反映出來，導致學生解題出錯.

________.

【錯因分析】未能正確理解函數奇偶性概念的外延，即定義域需關于原點對稱.

例2.l1，l2，l3是空間中三條不同的直線，則下列說法正確的是( )

A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3

B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3

C.l1∥l2∥l3?l1,l2，l3共面

D.l1,l2，l3共點?l1,l2,l3共面

【錯解一】選A.根據垂直的傳遞性選項A正確；

【錯解二】選C.平行就共面；

【錯因分析】錯解一、二都是因為對空間中線線平行、線線垂直、共面等概念的理解不透徹所致.

【正解】選B.選項A中兩直線還有異面或者相交的位置關系；選項C中這三條直線可以是三棱柱的三條棱，因此它們不一定共面；選項D中的三條線可以構成三個兩兩相交的平面，所以它們不一定共面.

例3．(1)把三枚硬幣一起擲出，求出現兩枚正面向上，一枚反面向上的概率.

(2)某種產品100件，其中有次品5件，現從中任抽取6件，求恰有一件次品的概率.

【錯因分析】在上題的解法中有兩個錯誤：第一，100件產品，其中有5件次品與次品率為5%是兩個不同的概念；第二，該實驗不是獨立重復實驗，從100件產品中任抽6件，可當作抽了6次，每次抽1個，但每次抽到次品還是正品，顯然直接影響到下一次抽到次品還是正品，顯然直接影響到下一次抽到次品或正品的概率，具體地說，如果第一次抽出的是次品，那么次品就少了一個，第二次再抽到次品的概率就小了.這就是說各次實驗之間并非獨立的，錯用了獨立重復實驗概率公式.

2.吃透數學公式，用好解題工具

3.學會恒等變形，做到隨題應變

變形技巧在數學解題活動中是一種基本而又常用的方法，尤其是高中數學中的一些易錯題，通常難以直接目測出解題思路與最終結果.為了完成化簡、論證、求值等任務，在解題過程中，常需要對一些公式或等式進行等價性變形，找到已知與未知的契合點，化繁為簡.然而，因題目的差異，一個式子往往存在著多種變形方式，技巧性非常強，需要學生根據求解方向、已知條件、推導過程等具體情形，正確合理、思路清晰地靈活變形.如

②×2-①得6≤3a≤15, ③

4.挖掘隱含條件，拓寬解題思路

例6.設α,β是方程x2-2kx+k+6=0的兩個實根，則(α-1)2+(β-1)2的最小值是( )

C.18 D.不存在

【錯解】利用一元二次方程根與系數的關系易得α+β=2k,αβ=k+6,

【錯因分析】忽視了一元二次方程有根，即判別式Δ≥0這個隱含條件.

【正解】利用一元二次方程根與系數的關系易得α+β=2k,αβ=k+6,

又因為原方程有兩個實根α，β，

且Δ=4k2-4(k+6)≥0?k≤-2或k≥3.

當k≥3時，(α-1)2+(β-1)2的最小值是8；

當k≤-2時，(α-1)2+(β-1)2的最小值是18，故選B.

【錯因分析】沒有注意x的取值范圍要受已知條件的限制.

從而當x=-1時，x2+y2有最小值1.

例8.方程log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)-2=0的解集為________.

【錯解】log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)-2=0?log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)-log24=0，

log2(9x-1-5)=log2[4(3x-1-2)]?9x-1-5=4(3x-1-2)?(3x-1-1)(3x-1-3)=0，

3x-1-1=0或3x-1-3=0，所以x=1或x=2，所以解集為{1，2}.

【錯因分析】產生了增根x=1.實際上當3x-1-1=0時，3x-1-2<0導致對數的真數為負數，則原方程無意義.

【正解】log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)-2=0?log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)-log24=0，

log2(9x-1-5)=log2[4(3x-1-2)]?

所以解集為{2}.

5．及時分類討論，防止以偏概全

數學是一門思維嚴密、邏輯嚴謹的學科，在解決具體問題時需要考慮到每一種可能性.這就需要在解決實際問題時及時進行分類討論，防止以偏概全.一旦思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，就不能給出問題的全部答案.

例9．(1)不等式|x+1|(2x-1)≥0的解集為________.

【錯因分析】忽略了當x=-1時|x+1|=0，原不等式也成立，即x=-1為不等式的解.

【錯因分析】兩個錯誤：一是解分式不等式(方程)時未考慮分母不能為0；二是解二次不等式時沒有把二次項系數變為正再考慮兩根之外或兩根之間，從而導致解集出錯.

例10.過點(0,1)作直線，使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點，這樣的直線有( )

A.1條 B.2條

C.3條 D.0條

即k2x2+(2k-4)x+1=0，再由Δ=0,得k=1,故選A.

【錯因分析】本題的解法有兩個問題，一是將斜率不存在的情況漏掉了，另外又將斜率k=0的情形丟掉了，故本題應有三解，即直線有三條.

【正解】C.由上述分析，y軸本身即為一切線，滿足題意；解方程k2x2+(2k-4)x+1=0時，若k=0，即直線y=1也與拋物線y2=4x僅有一個公共點，又k=1時也符合題意，所以有三條直線符合題意，故選C.

例11.設等比數列{an}的前n項和為Sn.若S3+S6=2S9，求數列的公比q.

【錯解】因為S3+S6=2S9,

由q≠0得方程2q6-q3-1=0.

在等比數列中，a1≠0是顯然的，但公比q完全可能為1，因此，在解題時應先討論公比q=1的情況，再在q≠1的情況下，對式子進行整理變形.

【正解】若q=1，則有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.但a1≠0，即得S3+S6≠2S9,與題設矛盾，故q≠1.