“四基”視角下函數(shù)專題的一輪復習

安徽 何德宇 祝 峰

(作者單位：安徽省濉溪縣第二中學)

數(shù)學高考備考一輪復習，歷時長、涉及面廣、基礎性強，聚焦知識的積累和深度理解，旨在幫助學生構建扎實、系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡.這與《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》提出的“四基”課程目標高度契合，即讓學生獲得進一步學習以及未來發(fā)展所必需的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(簡稱“四基”).筆者嘗試在“四基”視角下，從夯實基礎知識、提升基本技能、領悟基本思想、積累基本活動經(jīng)驗四個方面，審視2020高考中的部分函數(shù)客觀題，體會試題對“四基”的考查要求.以期強化教師重視“四基”的意識，引領學生在一輪復習中遠離“刷題+題型+技巧”的無效之舉，回到知識的起點，體會知識的本源，感悟知識所傳遞的基本觀點和思想.

一、夯實基礎知識

從表現(xiàn)形式看，數(shù)學基礎知識主要是指數(shù)學中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等，以及由其內(nèi)容所反映出來的一些具體方法.基礎知識是一輪復習中的“根”和“本”，根深才能長成參天大樹，本固才能立于不敗之地.

首先，要明確基礎知識復習的重要性.一輪復習過程中，要強調(diào)概念、法則、公式復習的基礎性地位，重視基礎知識所蘊含的問題解決策略，努力構建重要知識之間的關聯(lián).

【例1】(2020·全國卷Ⅰ理·6)函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖像在點(1,f(1))處的切線方程為

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A.y=-2x-1 B.y=-2x+1

C.y=2x-3 D.y=2x+1

【解析】f′(x)=4x3-6x2，由導數(shù)的幾何意義知，函數(shù)f(x)的圖象在(1,f(1))處切線斜率k=f′(1)=-2，又f(1)=-1，則切線的點斜式方程為y-(-1)=-2(x-1)，即y=-2x+1.

【評析】導數(shù)概念和幾何意義、求導法則、點斜式方程是試題考查的基礎知識.要求學生熟練掌握利用導數(shù)求函數(shù)圖象切線方程的基本程序.

其次，要回到概念、原理解題.數(shù)學概念往往具有鮮明的直觀背景，簡單、易懂且威力無窮.核心概念最有力量，要讓學生養(yǎng)成“不斷回到概念去，從基本概念出發(fā)認識問題、思考問題、解決問題”的習慣.一輪復習中應不斷提醒學生遠離“題型+技巧”的雕蟲小技，集中注意力于核心概念是復習有效性的基本保障.

【例2】(2020·浙江卷·4)函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[-π,π]上的圖象可能是

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A

B

C

D

【評析】試題考查正比例函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義和性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的定義、性質(zhì)和直觀體現(xiàn).回到這些概念和原理即可解決問題.

最后，要關注對基礎知識之間聯(lián)系性的理解，從知識間的聯(lián)系中尋找解決問題的思路.值得注意的是，學生解題的靈活性并非來自于大量反復的練習，也無法靠題型歸類和技巧總結獲得，而是來自于基礎知識聯(lián)系通道的順暢，來自于對基礎知識關聯(lián)性、結構性、系統(tǒng)性的整體把握.

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二、提升基本技能

數(shù)學基本技能主要指能夠按照一定的程序與步驟進行熟練操作的數(shù)學行為與本領.在函數(shù)專題中，涉及的基本技能包括閱讀理解技能、函數(shù)語言的表達技能、運算(估算)技能、推理與論證技能、識圖作圖技能等.這些基本技能以函數(shù)知識為基礎，由知識轉化而來.技能的訓練和提升無法脫離知識的支撐和思想的引領，離開知識和思想，孤立地談技能的獲得是不切實際的.

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A.60 B.63

C.66 D.69

【評析】試題借助指數(shù)運算、對數(shù)運算、指對互化三個基本的數(shù)學知識，考查學生的閱讀理解和運算(估算)能力.

【例5】(2020·全國卷Ⅱ理·11)若2x-2y<3-x-3-y，則

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A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

【解析】由2x-2y<3-x-3-y得2x-3-x<2y-3-y.令f(t)=2t-3-t，y=2x為R上的增函數(shù)，y=3-x為R上的減函數(shù)，所以f(t)為R上的增函數(shù)，故x0，則y-x+1>1，所以ln(y-x+1)>0，即A正確.

【評析】數(shù)式大小的判斷問題，考查學生的數(shù)學運算、推理論證能力，以及從函數(shù)視角發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力.

【例6】(2020·全國卷Ⅲ·理·12)已知55<84，134<85.設a=log53，b=log85，c=log138，則

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A.a

C.b

綜上所述，a

【評析】指數(shù)式、對數(shù)式的大小比較問題.涉及不等式的性質(zhì)、對數(shù)式與指數(shù)式的互化、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用，集中考查了學生的數(shù)學運算、分析轉化和推理論證能力.

三、領悟基本思想

函數(shù)專題中的基本數(shù)學思想是對函數(shù)相關知識、結構以及數(shù)學方法的本質(zhì)性認識.蘊含在這些知識的形成、發(fā)展和應用的過程中，是對函數(shù)知識和方法在更高層次上的抽象和概括.函數(shù)專題一輪復習中，核心的數(shù)學思想為函數(shù)思想，即從函數(shù)的視角看問題、用函數(shù)的語言描述問題、用函數(shù)的方法解決問題.同時還涉及諸如方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、分類討論思想、歸納思想、演繹思想等.

【例7】(2020·全國卷Ⅰ理·12)若2a+log2a=4b+2log4b，則

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A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

【解法一】構造一個函數(shù)

2a+log2a=4b+2log4b轉化為2a+log2a=22b+log4b2.令f(x)=2x+log2x，f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).

假設a≥2b，則f(a)≥f(2b)，即2a+log2a≥22b+log22b.所以22b+log4b2≥22b+log22b，故log4b2≥log22b，log2b≥log22b，b≥2b，所以b≤0，這與b>0矛盾，故選B.

夏日的夜晚，明凈的月亮掛在天空，皎潔的月光灑在荷塘里，池面平靜得如明鏡一般，滿塘月色。朵朵荷花挺立在水中央，池塘邊傳來陣陣蟲鳴，蟋蟀愉快地叫著，蟈蟈歡快地開著“演唱會”，青蛙也隨著美妙的樂曲聲在水面荷葉上一蹦一跳，展現(xiàn)出優(yōu)美的舞姿，打破了水面的平靜。

【評析】從函數(shù)的視角觀察、分析、解決問題是函數(shù)思想的集中體現(xiàn).充分利用等式2a+log2a=22b+log4b2的結構特點，構造函數(shù)f(x)=2x+log2x，利用其單調(diào)性，通過反證法解決問題.教學中可引導學生體會函數(shù)思想、化歸與轉化思想、演繹推理思想在解題中發(fā)揮的作用.

【解法二】構造兩個函數(shù)

由2a+log2a=4b+2log4b得，2a+log2a=4b+log2b，

令2a+log2a=4b+log2b=t，則a為函數(shù)y=log2x與y=-2x+t圖象交點的橫坐標；b為函數(shù)y=log2x與y=-4x+t圖象交點的橫坐標.

如圖所示，a>b，2a+log2a=4b+log2b，即2a-4b=log2b-log2a.函數(shù)y=log2x在(0,+∞)上為增函數(shù)，所以log2a>log2b.故2a-4b=log2b-log2a<0，即2a<22b.又因為函數(shù)y=2x在(0,+∞)上為增函數(shù)，所以a<2b.

【評析】從函數(shù)的視角看問題，視a和b分別為相關函數(shù)圖象交點的橫坐標，借助函數(shù)圖象，直觀看出a和b的大小關系.在此基礎上，利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決問題.教學中，可引領學生領悟函數(shù)思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想的應用.

由2a+log2a=4b+2log4b，令b=1，則2a+log2a=41+2log41=4，可知a∈(1,2)，排除A，D；令a=2，可得4b+2log4b=22+log22=5，可知b∈(1,2)，排除C，故選B.

【評析】體現(xiàn)了歸納思想，特殊值檢驗法是客觀題求解中非常有效的一種策略，是歸納推理的具體應用.

【例8】(2020·全國卷Ⅱ理·9)設函數(shù)f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，則f(x)

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【評析】分類討論思想的應用，考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，特別是復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法.

四、積累基本活動經(jīng)驗

數(shù)學基本活動經(jīng)驗主要包括數(shù)學實踐活動經(jīng)驗和數(shù)學思維經(jīng)驗兩個方面.一輪復習中，更關注數(shù)學思維經(jīng)驗的積累.具體是指，學生經(jīng)歷歸納推理和演繹推理過程后，所積淀形成的思考問題的方式.常從特殊問題入手，借助數(shù)字演算等尋求結果或探索規(guī)律，進而推導出更一般性的結論.如例7中的解法三是歸納推理，解法一、二則是以演算、轉化、反證為手段的演繹推理.高考備考一輪復習是高中數(shù)學學習的特殊階段，對數(shù)學基本活動經(jīng)驗的積累有著特殊意義，教學過程中以下兩點值得關注.

一是要關注數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)及其相互聯(lián)系.數(shù)學基本活動經(jīng)驗的積淀，是以對數(shù)學內(nèi)容本質(zhì)及其聯(lián)系的理解和把握為前提的.一輪復習教學與新課或新課過程中的復習教學有著本質(zhì)區(qū)別.一輪復習教學，是在學生已經(jīng)完整學習完高中數(shù)學知識的基礎上展開.這為學生對數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)把握及其相互聯(lián)系的理解提供了充分可能.如前文所述的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、方程與不等式、函數(shù)與不等式、函數(shù)圖象切線與圓錐曲線切線等重要知識關聯(lián)性的把握，正是基于此.

二是要關注學生數(shù)學思維品質(zhì)的優(yōu)化.數(shù)學思維是從量變到質(zhì)變，在潛移默化中逐漸形成的.學生只有經(jīng)歷高思維含量的數(shù)學學習過程，才能建立起正確的數(shù)學思維方式.具體表現(xiàn)為從具體到抽象、從特殊到一般，以及舉一反三、觸類旁通地想問題.

五、結語