數學建模在新高考中的實踐與思考

江蘇 張 陽

(作者單位：江蘇省蘇州市吳江高級中學)

在5G時代，數學對社會發(fā)展的巨大推動作用已成為所有人的共識，許多尖端科學技術的發(fā)展都需要數學理論的突破與應用，需要數學的思考方法，數學建模正是將數學理論與實踐相結合的橋梁.狹義的數學建模是指利用數學工具解決實際問題，廣義的數學建模泛指利用數學方法解決與數學相關的所有問題，包括數學問題本身.自上世紀九十年代中國工業(yè)與應用數學學會舉辦了大學生數學模型聯(lián)賽以來，數學建模活動迅速席卷全國.中學數學建模在《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》中第一次成為核心素養(yǎng)的重要組成部分，成為普通高中數學教學的重要內容.2020年新高考Ⅰ卷(供山東省使用)從幾個角度考查了數學建模這一核心素養(yǎng).

1.數學建模在新高考中的實踐

1.1以立體幾何為載體的數學建模

【例1】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·4)日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為

( )

A.20° B.40°

C.50° D.90°

【數學建模】

(1)模型準備(數學表征)：題中元素涉及直線、平面、球、角度、截面；需要對條件進行數學抽象，將晷面抽象為平面，晷針抽象成直線，地球抽象成球，并進一步畫出反映三者圍著的截面圖(球心和晷針所確定的平面、晷面)；

(2)模型假設(數學對應)：聯(lián)想到立體幾何，考查球體中的線、面、體三者位置關系，計算直線與平面所成角度；

(3)模型建立(數學模型)：該模型由立體圖形、平面化后的平面幾何圖形構成；

(4)模型求解：根據面面平行的性質定理和線面垂直的定義判定有關截線的關系，根據點A處的緯度，計算出晷針與點A處的水平面所成角.

如圖，CD是赤道所在平面的截線；l是點A處的水平面的截線，依題意可知OA⊥l；AB是晷針所在直線.m是晷面的截線，依題意知,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據平面平行的性質定理可知m∥CD，根據線面垂直的定義可得AB⊥m.

由于∠AOC=40°,m∥CD，所以∠OAG=∠AOC=40°，

由于∠OAG+∠GAE=∠BAE+∠GAE=90°，

所以∠BAE=∠OAG=40°，也即晷針與點A處的水平面所成角為∠BAE=40°.

1.2以三角為載體的數學建模

【數學建模】

(1)模型準備(數學表征)：題中元素有圓弧、扇形、三角值、平行、長度、距離、半徑；

(2)模型假設(數學對應)：聯(lián)想到三角函數.因為與角度有關的問題，考慮到角度與旋轉有關，可以通過構造三角形進行建模，分割后的圖形由扇形、直角三角形兩部分構成；

(3)模型建立(數學模型)：

(4)模型求解：

設OB=OA=r，由題意AM=AN=7，EF=12，所以NF=5，

因為AP=5,所以∠AGP=45°，

因為BH∥DG，所以∠AHO=45°，

因為AG與圓弧AB相切于A點，所以OA⊥AG，

即△OAH為等腰直角三角形；

1.3以統(tǒng)計案例為背景的數學建模

【例3】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·19)為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：

SO2PM2.5 [0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710

(Ⅰ)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；

(Ⅱ)根據所給數據，完成下面的2×2列聯(lián)表：

SO2PM2.5 [0,150](150,475][0,75](75,115]

(Ⅲ)根據(Ⅱ)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關？

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

【數學建模】

(1)模型準備(數學表征)：本題統(tǒng)計類型特征明顯，研究兩個分類變量間的關聯(lián)把握度問題；

(2)模型假設(數學對應)：完成數據處理，填寫2×2列聯(lián)表，理解表中各項數據的意義；

(3)模型建立(數學模型)：運用卡方值進行判斷；

(4)模型求解：

(Ⅰ)由表格可知，該市100天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的天數有32+6+18+8=64，

(Ⅱ)由所給數據，可得2×2列聯(lián)表為：

SO2PM2.5[0,150](150,475]合計[0,75]641680(75,115]101020合計7426100

(Ⅲ)根據2×2列聯(lián)表中的數據可得

因為根據臨界值表可知，有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關.

1.4以時事熱點為背景的數學建模

【例4】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·6)基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：I(t)=ert描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28，T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)

( )

A.1.2天 B.1.8天

C.2.5天 D.3.5天

【數學建模】

(1)模型建立(數學模型)：本題中已經給出數學模型，讀懂模型是前提，清楚題中變量的意義；

(2)模型求解：

設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間為t1天，

則e0.38t+t1=2e0.38t，所以e0.38t1=2，所以0.38t1=ln2，

1.5以數學工具應用為背景的數學建模

【數學建模】

(1)模型準備(數學表征)：題中涉及的元素有直四棱柱、棱長、角度、球心、球面、未知的交線；

(3)模型建立(數學模型)：取BC中點M，以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DM所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系；

(4)模型求解：

圖中各點坐標分別為

x2+(z-2)2=2,建立如圖所示的平面直角坐標系，

2.數學建模在教學中的思考

數學建模是數學學科核心素養(yǎng)之一，在解決問題的過程中，數學建模并不是孤立存在的，還需要聚合數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象、數據分析等其他核心素養(yǎng)進行解題，所以數學建模更多的是一種設計解題方案，尋求最優(yōu)解題路徑的過程.

2.1優(yōu)化數學建模流程 探尋數學建模本質

如圖是數學建模活動的一般過程

上述流程注重完整性，從如何產生問題，到建模解模驗模全流程，面面俱到.但對于高中生來說，數學建模的重點是在確定問題的前提下，如何建立合理的數學模型，并解決模型.所以高中數學建模的流程還可以進一步優(yōu)化.

如圖的流程關注學生從現實問題到數學模型的生成，即提煉現實問題中的元素數量關系、位置關系，結合所學數學知識，建立數學模型，求解數學模型，將數學的解與現實問題的解進行對應，并對現實問題給予合理解釋.四個環(huán)節(jié)的本質是四個對應過程，現實問題與數學模型的對應，數學模型與數學求解的對應，數學解答與現實問題解答對應，現實解答與現實問題的對應.其中現實與數學的對應是數學學習的靈魂，是數學的魅力所在，兩者是雙向的，即現實可以對應數學，數學也應可以對應現實.前者比較容易，后者則很難，高中數學學習可以設置兩個層級，一是數學問題對應數學模型，二是現實問題對應數學問題再對應為數學模型.所以數學建模不能狹義地理解為數學應用題，而應泛指一切用數學工具解決問題的過程.

2.2剖析數學建模要素 全面提升數學素養(yǎng)

從問題到數學問題，是數學建模的重要環(huán)節(jié)，在這一環(huán)節(jié)中有三項要素參與，分別是學生的數學知識儲備、問題的數學表征、數學表征與知識儲備間的對應能力，如圖所示.

A是問題表征的結果，B是學生知識儲備情況，f則是對應關系，在數學建模活動中，A，B，f是教學重點，教會學生從問題中提煉有效信息并進行表征，是一種數學抽象能力；對元素的形與數的轉換需要學生具有直觀想象能力；在教學中加強基礎知識教學，形成良好的數學功底，讓數學應用成為一種自覺行為，需要縝密的邏輯推理能力.

因此高中數學教學應該在問題表征、概念教學、對應關系建立三個方面加強.

(1)數學表征

所給出的問題主要有陳述性知識、程序性知識與策略性知識.陳述性知識是問題中的數學概念系與命題系，將問題中的概念體系進行抽象，對問題中的命題與命題網絡進行描述，形成問題的原始條件與目標.程序性知識是對陳述性知識進行合理組合，使其內部具有一定的邏輯關聯(lián).策略性知識是對經過程序加工過的陳述性知識進行初步加工，常見形式有“如果……那么……”，即根據所給條件意味著什么，往往是這一條件還能推導出什么樣的結論，是對條件的深入理解.

數學表征能力是數學建模的關鍵一步，在表征時經常需要多重表征，即用多種方式來刻畫某個對象，陳述性表征行為主要有常用的文字表征、數學符號表征、圖表或圖形表征，策略性表征行為則更加注重數學知識的介入，如文字、符號、圖表(圖形)所反映出的數學性質，多重表征是學生深度學習的體現.

在教學中，教師應給予學生充足的時間進行表征活動.教會學生常用的數學表征方法，對學生表征時遇到的困難進行指導，將多重表征作為數學教學的原則和目標，自覺地實踐于自己的教學中.對于高中一些缺少嚴謹理論基礎的問題，運用現代技術對學生表征行為進行驗證肯定.

(2)概念教學

以系統(tǒng)論思想為出發(fā)點，結合大概念教學理念，進行大單元設計.在設計教學時，將內容放在整個知識體系中去理解，如三角函數定義，課本中利用單位圓進行講解，那么為什么要利用單位圓，它的必然性與工具性怎么表達.

【例6】如圖,摩天輪的半徑為50 m,圓心O點距地面的高度為60 m.摩天輪做勻速轉動,每3 min轉一圈,摩天輪上的點P的起始位置在最低點處.求在20 min時點P距離地面的高度.

【點評】此題學生都知道要建立坐標系，但是學生建系的方式各不相同，有的以地面為x軸，有的以圓的最低點為坐標原點建系.產生這些問題的根本原因是什么？更多的是學生對三角工具性的理解比較膚淺，只知道需要建系，不清楚如何建系.角的概念是由旋轉產生的，三角的定義是在旋轉基礎上通過三角函數進行幾何直觀與代數運算，而這一旋轉的中心是放在坐標原點位置，所以本題應以O為坐標原點進行建系.角、三角、三角函數是一個完整的知識體系，三角是一個大概念、三角函數是大單元.

將大單元教學應用于概念教學，需要以學期為單位，對教材邏輯結構與內容結構進行理解，結合《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》，從學情出發(fā)，以學生的認知、元認知水平為基礎，對所教學內容進行合理分割；明確每一單元需要著重培養(yǎng)學生哪些數學學科核心素養(yǎng)，有的放矢地組織教學，這些核心素養(yǎng)的落實路徑是什么；尋找統(tǒng)領每一單元的大概念是什么，這些大概念聚合了哪些概念與命題，通過大概念如何搭建知識體系.

例6中摩天輪問題的解決，需要對問題進行數學表征，其表征內容觸及“角”這一大概念(角的定義：旋轉)，在“角”大概念下聚合了三角與三角函數，其中三角函數是以角作為自變量的函數問題，所以本題可聯(lián)想到三角函數，進一步理解三角函數與旋轉角的結合點是坐標系，所以建立坐標系成為選項，建立坐標系應結合三角函數的產生，其單位圓的圓心作為坐標原點建系成為必然選擇.

(3)對應關系

問題到模型間的對應關系f，在教學中需要強化兩個方面，一是對應意識，給學生完整的解決問題的機會，不代替學生思考問題，培養(yǎng)學生自主探究、合作探究的能力，教師做顧問角色.現實課堂中，學生需要體驗解題全流程，拋棄題海戰(zhàn)術，實施精品課堂；二是概念教學，不僅要幫助學生構建知識體系，還要厘清知識產生的背景與發(fā)展方向，如統(tǒng)計教學，講清楚統(tǒng)計源自什么、統(tǒng)計的意義與價值是什么，在講解卡方統(tǒng)計量的時候，學生很迷茫，卡方統(tǒng)計量的合理性解釋就顯得很有必要了.對于高中階段一部分無法講清楚但又直接使用的知識，如函數的導數、正態(tài)分布表達式，教師可以從數學史的角度闡述，先說明其合理性，讓學生先接受知識的應用，其完整的邏輯推理留到以后解決.

3.結束語