張清

【摘要】教師在數學教學過程中一味地讓學生死記硬背知識的內容、結論、公式和定理等是難以培養學生數學素養的.對于《余弦定理》這一課，教師怎樣把握好本節課的教學目標和重難點？怎樣很好地培養學生的數學思想？本文結合具體的課堂實例，從無效教學角度進行深刻反思，以便達到構建高效課堂的目的.

【關鍵詞】余弦定理;數學素養;數學思想;高效課堂

一、課堂實錄

1.復習回顧

師：上兩節課我們學習了正弦定理，哪位同學能敘述其內容？

生：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，且為定值，該定值為三角形外接圓半徑的2倍.

師：很好！上節課我們還講到正弦定理可以求解兩類有關三角形問題，大家還記得嗎？

生：已知兩角和任意一邊、已知兩邊和其中一邊的對角求解三角形.

師：你的回答非常棒！

2.新課導入

師：下面看這樣一個問題：某施工隊為了開鑿一條山地隧道，需測算隧道通過這座山的長度.工程技術人員先在地面上選一個適當位置A，量出A到山腳B，C的距離，分別是 AC=5 km，AB=8 km，再用測角儀測出A對山腳B，C的張角∠BAC=60°，最后計算出山腳的長度BC.（課件展示）如果你是工程技術人員，你會算出BC嗎？

學生的回答千差萬別，有的說不會，有的說會，有的說可能會吧，有的保持沉默……

師：好，咱們先不急著回答能不能算出來.面對一個實際問題，我們要解決的話，第一步應怎樣？哪位學生能說一下？

生：實際問題數學化.

師：你的想法非常好！

師將這個實際問題數學化的圖形在白板上畫出來，進一步問學生：用正弦定理能算出BC嗎？

生：不能，因為在這個圖形中只知道一個角，如果用正弦定理算的話還需要知道一個角，所以無法計算.

師：你回答的理由非常充分，請坐！這是一個實際問題，我們還是需要得到最終結果的，那么我們怎么通過三角形的兩邊及其夾角求第三邊呢？這就是本節課我們要學習的內容.

3.課堂探究

探究點1：在三角形中，已知兩邊和它們的夾角，求第三邊.

師：我們還是回到剛剛的問題上來，我們既然用正弦定理不能求解，那么能否換種途徑解決這個問題呢？

課堂一片安靜，學生都在低頭思考.

師：這個問題涉及求長度，我們想想之前學過的哪些內容涉及求長度.

生：兩點間距離、向量的模等都涉及求長度.

師：回答得很不錯！下面老師就為大家展示一種方法——向量法來解決這個問題.師板書求解過程.

向量法：設CB=a，CA=b，AB=c，由向量減法的三角形法則得c=a-b，

∴c2=c·c=（a-b）·（a-b）=a·a+b·b-2a·b

=a2+b2-2abcos C=a2+b2-2abcos C，

∴c2=a2+b2-2abcos C.（其中|a|=a，|b|=b，|c|=c.）

師：如果把三角形角按逆時針方向換個標記，我們又可以得到什么新式子？

生：a2=b2+c2-2bccos A.

師：回答得很對！我接著問你，如果把三角形角再按逆時針方向換個標記，又可以得到什么？

生：b2=a2+c2-2accos B.

師：很好，請坐！現在我們已經得到在一個三角形中的3個結論，大家再發揮聰明才智想想還有沒有其余方法可以證明這些式子？4個人一組在下面合作交流下，等下我找兩個人上來寫出你們的想法.

此時教師在下面巡視.同學們討論得非常激烈，真正有著思想火花的碰撞.過了一會兒，教師找了一男生一女生上臺寫出他們的不同證明過程.

生：女生利用幾何法，過頂點C向AB引垂線，垂足為D，然后在Rt△CBD中利用勾股定理順利求出BC的表達式，和向量法得出的結果一樣.男生在白板上建立了直角坐標系，但最終證明過程壓根沒用到坐標，其實也是用幾何法在證明.

師：我們一起看看這兩位同學的證明過程.女生把要求的這條邊轉化成了直角三角形的斜邊，然后利用勾股定理求出斜邊，她的證明方法完全正確;男生利用建系做的，看完他的證明，我都找不到坐標的影子啊！（底下一片笑聲）

師利用這位男生建好的坐標系，采用了第三種證明方法——坐標法，把該問題轉化為求兩點間距離，快速得出相同的結果.

師：我們重新把3個式子寫在一起.

探究點2：余弦定理.

師：我們再來看看這3個式子，大家能否用文字語言表述它蘊含的意思，哪位自告奮勇來回答？

生：三角形任意一邊的平方等于另兩邊的平方和減去這兩邊與它夾角余弦值乘積的兩倍.

師：回答得很好！老師給出余弦定理的內容，這個定理功能是知道三角形兩邊及其夾角就可以求第三邊.

師：請同學們思考：式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，那么能否由三邊求出一角？

生：式子中有4個量，可以.

師：你說能由三邊求一角，依據是什么呢？

生：余弦定理含有三邊一角四個量，所以已知三邊把余弦定理公式變形就可以求角的余弦值，進而可以求角.

師：你把這個問題分析得很透徹，非常好！這就是接下來要講的余弦定理推論.師板書余弦定理的3個推論.

師：同學們再來思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，我們如何看這兩個定理之間的關系？

學生說了很多，但不夠簡練，師引導.

生：勾股定理是余弦定理的特殊情況，余弦定理是勾股定理的普遍情況.

師：回答基本正確，我們用一句話概括兩定理的關系應該是勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.

探究點3：余弦定理及其推論的基本作用.

師：同學們學習了余弦定理及其推論以后，想想它們有什么作用？

生：可以解決兩類新的三角形問題，一類是已知兩邊及其夾角可以求另一邊及兩角;另一類是已知三邊可以求三個角.

師：你已經把本節課的精華都分析出來了，非常棒，請坐.

4.典例解析

例：在△ABC中，已知b=3，c=23，A=30°，求B，C和a.

師讓學生先思考解題思路，然后自己板書出詳細過程，最后概括這是一類屬于已知兩邊及夾角解三角形的問題.

師：下面看兩道變式訓練，我找兩位同學上來分別做這兩個小題，其余同學在底下動筆做.

變式訓練：在△ABC中，根據下列條件解三角形.

（1）b=3，c=33，B=30°.（2）a=2，b=22，c=6+2.

師：兩位上黑板的同學都寫出了一點解題過程，從他們的過程來看，知道列式但不會計算或者計算出錯導致最終得不出結果.底下大部分同學也是如此，極少數同學做出了第（1）小題的部分結果，第（2）問沒發現有人做對.

師在白板上先從兩位同學的解法中找出錯誤，然后順著他們的思路把這道題完整做完，對第（1）小題還提供了不同的解法，最后總結下兩道小題的不同之處，第（1）小題屬于已知兩邊及一邊所對的角解三角形，第（2）小題屬于已知三邊求解三角形問題.

師：到目前為止，我們已經學習了幾種類型的解三角形問題？

生在底下七嘴八舌，然后每組找了一個代表起來回答，他們回答得都不完整.

師：把你們所有人不同的回答放在一起才是正確答案.到目前為止，我們學習了四種類型，分別為：一邊和兩角、兩邊和夾角、三邊以及兩邊和其中一邊的對角.下面我提出一個問題，遇到這四類中的一類解三角形題目，我們該用什么定理進行求解？

學生在底下思考片刻.

師用課件展示四類情況，用表格列出了已知條件、所用定理、一般解法及解的個數等內容.

師點擊PPT，直接跳到課堂總結.

5.課堂總結

師：學習了本節課知識后，你們有什么收獲？

生：我學到了余弦定理內容和推論及用余弦定理解另外兩類三角形，使我受益匪淺！

師：你已經很好地掌握了本節課的核心知識和應用，你有沒有學到什么數學思想呢？

生：數形結合思想、類比思想等.

師：除此以外，還有其余的嗎？

生：好像沒有了.

師：我們花了很多時間在講定理證明，這其中就蘊含了轉化與化歸的數學思想，這個思想也是我們本節課所學到的最重要的思想.

6.課后作業

師：今天的課后作業為：①必做題，《五年高考三年模擬》的61頁3題、4題、5題;②拓展題，課件展示.

師：好，這節課就上到這里，下課，同學們再見！

生：老師再見！

二、問題發現

縱觀本節課，整個課堂教學過程很完整，教師講解思路清晰.教師從復習回顧—新課導入—課堂探究—典例解析—課堂總結—課后作業六方面很好地完成了本節課的教學要求，貼近考綱.在本節課的教學過程中，教師利用生活中的實例將實際問題數學化，從而引出本節課主題，這樣激發起了學生的學習興趣，也讓學生更加懂得了數學的應用價值.另外，教師利用三種學生熟悉的方法引導學生完成了該定理的證明，真正授人以漁，在這個過程中培養了學生的一種轉化與化歸的數學思想.但從構建高效課堂機制角度來看，本節課還存在諸多不足.

1.在新課導入環節中所選實例較為單一，并且沒有讓學生創設一個生活中的相同情境來感受問題的共性，更沒有讓學生對這個問題分組開展如火如荼的討論，只是從感觀上覺得用正弦定理不能解決.

2.在余弦定理證明過程中，教師從向量角度給出了一種完整的證明方法，接著讓學生合作討論，再用其余方法證明這個結論，但是提示的方法只能是幾何法和解析法，這就極大地束縛了學生的思考范圍，扼殺了學生的創新思維，不利于培養學生轉化與化歸思想.

3.本節課準備的內容過多，想當然地滿堂灌，這導致利用余弦定理判斷三角形形狀知識在上課時沒有講.另外課堂主要還是老師在講，學生參與的活動較少，沒有發揮學生的主觀能動性.教師找學生上去做題，一道題只找了一個學生上去做，這也是一大遺憾.

4.變式訓練（2）這個習題給出得不合理，因為全班沒有一個同學在短時間內做出，這真是失效的課堂啊！教師講完例題和變式訓練以后，對這些題目方法進行了歸納總結，美中不足的是整個歸納過程都是老師一個人在講，速度還很快，這樣教師不能及時了解學生對本節課的掌握情況.

5.作業布置環節只有大題，而且必做題都是高考題，思維拓展題比必做題還難，這不利于學生樹立學習數學的信心.

三、原因診斷

縱觀整個教學過程，我從無效教學角度進行深入診斷分析，出現問題的原因主要有以下幾點：

1.課前準備不充分，依賴教參和課件備課.雖然教師在課前把各種課件加以整合和修改，但是別人的課件未必適合我們學生的學情，未必是最全面、最優秀的課件.我們可以借鑒別人的資源，但杜絕照搬照抄.教學是一門藝術，教師需要具有獨特新穎的教學方法和理念.比如本節課，首先，教師可以引入兩三個不同的生活情境，一方面可以激發學生學習的興趣;另一方面可以從這些情境中得出問題的共性，為我們后續知識的學習加深印象.其次，教師可以讓學生舉出一些類似的實例，因為他們熟悉的才是最好的.

2.缺乏利用網絡信息的習慣，沒有對數學問題進行全方位、多角度思考.本節課開頭教師花了一些時間在講余弦定理的證明，我們不能小看這個證明，更不能忽視證明過程.2011年陜西省高考數學出了一道大題：敘述并證明余弦定理，由此可知教材上定理的證明過程也非常重要.這一定理證明主要是培養學生一種重要的數學思想——轉化與化歸思想，而我的這節課并沒有很好培養學生的這種思想.原因在于備課時教師只看了課本和《五年高考三年模擬》，在講到余弦定理證明時只用了3種方法——向量法、幾何法和解析法，而實際上這個定理的證明在網絡上已有十余種方法，其中包括用正弦定理去證.

3.新課程教育原則淡薄，課堂沒有真正發揮教師的主導性和學生的主體性，出現填鴨式教學.首先，一些教師有種錯誤想法，總認為高中數學知識多，而課時量又很少，不得不提快進度，以教師講授為主，學生參與為輔.在本節課教學過程中這一點就能被看得一清二楚，這種教育模式不適合新課改教育理念，沒有把課堂真正還給學生，不能讓學生思維得到創新，不能讓學生體會到課堂的樂趣，不能展現學生應有的才智.其次，本節課教學內容偏多.

4.高估學生的運算能力，更加高估自己的教學效果.要想做出變式訓練（2），學生需要具有較強的根式運算能力，對于高一學生來說，他們各方面的能力還是有限.對于復雜的運算他們還是一頭霧水，由此導致本節課利用三邊求角教學失效.另外，課后作業布置環節也有很大問題，教師不假思索地認為自己講過的每個內容學生都能接受且效果很好，其實不然.教師不應該在第一課時后就讓學生做這樣難度的作業，他們可能會失去學習數學的信心，可謂弄巧成拙.

四、改進建議

1.以教材和考綱為主，以教參和課件為輔，精心備課，讓課堂開遍藝術之花.首先，今后教師在準備每一節課時應先拿教材和考綱，獨立構思出自己的教學設計，脫離教參，這樣方能使課堂具有藝術感和創新感.教師如有需要，可以在教學設計完成以后借鑒別人好的課件或教參，這樣就能使自己的課堂更加完整，使自己的教學目標更加明確，重難點把握得更加到位.其次，教師在教學前應更多地考慮讓數學與實際生活聯系起來，要真正讓學生體會到數學的實用價值和無窮魅力，這樣的課堂注定其樂融融.

2.充分利用好信息時代下的各種教育資源，提高自己的專業素養.根據數學學科固有的特點，教師應該提倡一題多解的方法，不要讓學生總是束縛在自己的教條主義下，更不要讓自己在課堂上表現得很無知.所以在今后數學教學中，教師應該多角度、全方位地考慮問題，如果自己沒有更多想法，就要充分利用好網絡教育資源，不要輕易地下用其余方法行不通的結論，就像這節課一樣，用正弦定理同樣可以解決，只不過推導過程有些地方難以想到罷了.如果教師在備課時能夠將網上10余種證明方法都了如指掌的話，那么我相信這節課就會很成功，更加能培養學生轉化與化歸思想，整個課堂氣氛就會高漲，學生也會更加信任老師.

3.轉變課堂教育模式，充分發揮學生的主體性和教師的主導性，課堂容量要分側重點.新課程的理念要求教師更新觀念，更新知識，轉變角色，改變課程過于注重知識傳授的傾向，讓學生學會學習，學會合作，倡導學生主動參與，在教學中尊重學生，凸顯學生的主體地位.今后教師應該在數學課堂上設計更多的活動環節，也可以讓學生設計自己感興趣的活動，真正讓每一個學生參與其中，樂在其中.此外，教師還需要壓縮課堂知識容量，加大思維容量.素質教育背景下需要培養的是創新型人才，而創新主要指的是思維創新，數學課堂正好可以培養學生創新思維.我們還要積極地支持和鼓勵學生說說自己的不同想法和做法.

4.教學過程應循序漸進，做到由淺入深、由易到難、由簡到繁.一節課有沒有效果，成不成功很大程度上取決于教學過程是否遵循教育的循序漸進原則，今后在上課之前，教師應該把資料上所有題目自己先做一遍，做到心中知悉本節內容常考題型，這樣可以對我們的教學有很大促進作用，可以使我們懂得這節課應該上到什么深度，另外對我們在課堂上選擇例題和練習題也大有裨益.題目由易到難，由簡到繁，可以讓學生既有基礎知識的收獲，又有挑戰自我的決心.

5.注重課后作業布置，做到層次分明、具有梯度、具有代表性，能較好地凸顯本節課的重難點.每一節完整的教學過程總離不開課后作業布置這個環節，而每一節成功的示范課總離不開作業的有效設計.我認為作業的有效設計不能采用舊有模式，不能依照參考資料，這樣題目會重復、單一、不具有典型性、更沒有層次性.教師在備課時應充分考慮班級所有學習程度不同的學生，為不同類型學生有針對性地布置作業，也可以將一個題目進行由易到難的若干改編，讓學習程度由弱到強的學生進行相應練習.教師在布置作業時應該主要側重基礎題，能力題和創新題可以適當加點，不宜過多.

【參考文獻】

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