數學通報2530號問題引發的研究

華南師范大學數學科學學院(510631) 葉秀錦

《數學通報》2020年2月2530 號問題已知a,b,c ∈[?2,2],a+b+c=0,求a3+b3+c3的最大值.

供題人張云華老師構造了一個函數(x?2)(x+1)2=x3?3x?2,利用這個函數恒不大于0 的性質,得到a3+b3+c3≤3(a+b+c)+6= 6,最終指出a,b,c中有1 個2 和2 個1 時取得最大值[1].仔細研讀這個構造的函數的方法,領悟到它有3 個要點:(1)可以與0 比較大小(即0 是其值域的上確界);(2)消去x2項,將x3項和x項聯系起來;(3)函數構造的不等式等號最終可以取到.由此我們將原問題進行一個推廣.

原題目的取值范圍是可以取到負數的,如果我們把原題目的取值范圍改為[0,2],再把和改為2(因為取值變大了,和必須增大,否則只有全等于0 一個可能性),得到如下變式.

變式已知a,b,c ∈[0,2],a+b+c=2,求a3+b3+c3的最大值.

解析如果我們按照原題的解法,構造函數f(x)=(x?2)(x+1)2=x3?3x?2 ≤0,等號成立當且僅當a,b,c ∈{?1,2}.又?1 /∈[0,2],故a=b=c=2,a+b+c=6,這明顯是不可能的,違反了構造函數要點(3).我們應該用一種全新的構造函數方法,依照三個構造函數要點,我們可以構造函數f(x)=x(x?2)(x+2)=x3?4x≤0,等號成立當且僅當x ∈{0,2}.于是a3?4a≤0,b3?4b≤0,c3?4c≤0,a3+b3+c3≤4a+4b+4c=8.設等號成立時a,b,c中有m個2,3?m個0,有2m=2,m=1,等號成立時a,b,c有1 個2,2 個0.

如果我們在原題中采取這種新的構造函數方法,構造函數f(x)=x(x?2)(x+2)=x3?4x,由于這時0 不再其值域的上界,從而對于解題而言失效.

從上分析可知取值是否非負時,構造的函數是不同的.同時我們類似原式推廣可得到變式的推廣1.

分析類似變式,構造函數f(x)= (x?a)(x?b)(x+a+b)≤0 可解.

在得到這些推廣后,筆者嘗試將原題和變式由x3推廣到xn,原題的推廣失敗了,變式的推廣成功了.變式的推廣首先要解決構造函數的問題,這是一個多項式恒等問題.