一道立體幾何軌跡問題的探究

華東師范大學第二附屬中學(201203) 戴中元

一、一道立體幾何軌跡問題

例1與正方體ABCD?A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點( )

A.有且只有1 個 B.有且只有2 個

C.有且只有3 個 D.有無數個

分析為敘述方便,后面所述AB、CC1、A1D1為正方體三條棱所在直線,其中任何兩條直線都是垂直的異面直線.容易看出正方體剩下的兩個頂點D,B1到這3 條直線的距離都等于正方體的棱長,這是因為AA1是AB、A1D1的公垂線段,BC是AB、CC1的公垂線段,C1D1是CC1、A1D1的公垂線段.再根據對稱性可知正方體的體心Q到這三條棱的距離也相等.這三點都滿足要求,距離隨著點的移動連續變化,所以猜想體對角線DB1上的點都滿足要求.

解答下面證明體對角線DB1上任何一點P到三條棱AB、CC1、A1D1的距離相等.過點P作PQ⊥ABCD于點Q,PR⊥AB于點R,因為DB1在平面ABCD上的投影為DB,故Q點在面對角線DB上,且PQ⊥QR,所以?PQR是直角三角形.同理也可以作PS⊥CDD1C1于點S,PT⊥CC1于點T,可得直角?PST;作PU⊥ADD1A1于點U,PV ⊥A1D1于點V,可得直角?PUV.因為P是體對角線上的點,所以PQ=PS=PU,QR=ST=UV.故?PQR,?PST,?PUV是全等三角形,所以PR=PT=PV,即P到三條棱AB、CC1、A1D1的距離相等,所以選D.

上述解答解決了滿足要求的點的個數有無窮多個,除了以上點之外還是否有其他點呢? 下面我們就來探討這個問題.

圖1

圖2

二、到兩條垂直異面直線距離相等的點的軌跡

問題1在空間中,l1,l2是兩條距離為2 的垂直異面直線,求到這兩條直線距離相等的點的軌跡.

該類曲面為雙曲拋物面,因形狀類似于馬鞍,也稱為馬鞍面.當用平行于xoy的平面去截馬鞍面可以得到雙曲線,例如用平面z=k去截上述雙曲拋物面可得等軸雙曲線x2?y2= 4k,特別地,當k= 0 時,截得的曲線是兩條相交直線.當用平行于yoz的平面或者平行于zox的平面去截可以得到拋物線,例如用平面x=k去截雙曲拋物面可得拋物線y2+4z=k2.所以可以得到如下結論:

定理設直線l1,l2是垂直的兩條異面直線,平面α//l1,l2且α到l1,l2的距離相等.

例2(2004年高考北京卷) 在正方體ABCD?A1B1C1D1中,P是側面BB1C1C內一動點,若P到直線BC與直線C1D1的距離相等,則動點P的軌跡所在的曲線是( )

A.直線 B.圓 C.雙曲線 D.拋物線

解答因為P是BB1C1C內一點,所以P到C1D1的距離即為P到點C1的距離,所以在平面BB1C1C到直線BC和點C1(不在BC上)的點P的軌跡是以C1為焦點,為準線的拋物線.故選D.根據上述定理或直接推導可得

變式1 若將“P是側面BB1C1C內一動點”改為“P是平面A1B1C1D1內一動點”,那么P點的軌跡是以B1C1為實軸,C1D1為虛軸,且以B1為一個焦點的等軸雙曲線.

變式2若將“P到直線BC與直線C1D1的距離相同”改為“P到直線BC與直線C1D1的距離之比為1:2(或2:1)”,則動點P的軌跡是橢圓(雙曲線).

圖3

圖4

三、到三條直線(其中任何兩條直線垂直且異面)距離相等的點的軌跡

四、到空間中一直線及直線外一點距離相等的點的軌跡

五、到空間中一平面及平面外一點距離相等的點的軌跡

若將問題4 中的一條直線改為一個平面,可提出如下問題.

六、其他類似問題

問題5 求到空間中三點距離相等的點的軌跡.

解答(1)若這三點共線,則滿足要求的點不存在.(2)若三點A,B,C不共線,則確定平面α,點的軌跡是過?ABC外心且垂直于平面α的直線.

和上述問題類似,可以提出下列問題,供讀者思考.

問題6(1)求到空間中一條直線和直線外兩點距離相等的點的軌跡.(2)求到空間中兩條直線和直線外一點距離相等的點的軌跡.

問題7(1)到空間中兩個平面和一條直線距離相等的點的軌跡.(2)到空間中兩條直線和一個平面距離相等的點的軌跡.

問題8(1)求到空間中三個平面距離相等的點的軌跡.(2)求到空間中一個平面,一條直線和一個點距離相等的點的軌跡.