利用同構法解決一類雙切線問題*

廣東省深圳市高級中學(518040) 高軍

在高考題或各地模擬題中,經常會出現一類與雙切線(過一點作二次曲線的兩條切線)有關的問題,這類問題難度較大,對數學運算能力和轉化與化歸能力要求較高,本文主要介紹同構法在解決這類問題中的應用.所謂同構法,即在求解一些數學問題中,往往會出現一些除變量外完全相同的結構,解題時利用其同構的特點,尋求與問題的某種內在聯系,繼而利用同構后的某種性質進行解題的方法.

一、問題呈現

題目(2021年高三八省聯考數學第7 題) 已知拋物線y2= 2px上三點A(2,2),B,C,直線AB,AC是圓(x?2)2+y2=1的兩條切線,則直線BC的方程為( )

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

分析圓的切線AB,AC具有性質相似、地位相同的特點,在解題過程中,進行類比推理得到結構相同的式子,合理構造共性,可化繁為簡,輕松解決問題.

二、解法探究

三、方法應用

四、問題及變式

由上述同構法得到的三個結論,我們可以解決一系列的有關二次曲線的雙切線問題.

(一)雙切線交點的軌跡方程

(二)雙切線斜率的調和性質

(三)圓錐曲線的一個等角性質

評注 可見由同構法得出的三個結論,在解決二次曲線雙切線問題中發揮了重要作用.解決問題及變式的過程滲透方程思想、轉化與化歸數學思想,有利于培養學生四能(提出和發現問題、分析和解決問題的能力),發展學生邏輯推理、數學抽象、數學運算等數學學科核心素養.對于其它的雙切線問題,由于雙切線的性質相似、地位相同的特點,我們也可用同構法加以解決,讀者不妨試一試.

五、考題鏈接