由一道聯賽試題談一類無理函數值域的求法
——兼論基于深度學習的解題教學策略

廣東省珠海市斗門區第一中學(519000) 李凱

2019年全國高中數學聯賽江蘇賽區市級選拔賽第8 題是一道求值域的題,本題看似簡單,但對高中學生來講,得到最終答案非常不易,筆者經過探究找到了這類值域問題的統一解法.

一、題目展示與解法探究

(一)方法分析

(二)典例剖析

(三)方法總結

三角換元法和數形結合法各有千秋,三角換元法需要對換元之后的式子再次變形,挖掘幾何意義或進行三角恒等變形后利用三角函數的性質求解;而數形結合法思路簡單,最后產生的圖形都是高中生比較熟悉的圓,橢圓,雙曲線;用此種方法更加通用,更加適宜高中生接受和掌握.

由于導數法求最值和值域是我們在教學中強調比較多的并且掌握的比較好,也是求最值和值域的通性通法,我們這里也要加以說明.在例1 和例2 中由于函數的定義域分別為[?1,1]與[0,2],它們分別都是有界閉區間,而且導函數也不是太復雜且極點可以求得,根據“有界閉區間上連續函數的最值必在極點處或區間端點處取得”即可以求得函數值域.而對于例3 和例4,由于函數定義域并非有界閉區間,在用導數法求值域中可能會出現需要求極限的情況.

三、教學思考

(1)滲透數與形對立與統一的思想

數與形是我們在討論一個數學對象必須同時考慮的兩個方面.華羅庚先生曾說過:數缺形時少直觀,形缺數時難入微.這是一個對數與形對立統一的精美概括.在上面討論值域的過程中,直接用導數法求值域,就是純粹用代數,在解題中可能遇到困境.而三角換元與轉化為方程都很好的體會到了數形結合思想,非常容易理解,而且求解容易.一般而言,直觀的圖形容易找到突破口并且記憶方便,純代數的方法適用性廣,兩者結合起來就更好.

(2)通法與特法在教學中要并行滲透

在數學解題中沒有一種解法放之四海而皆準,常常我們把適用比較廣的方法稱為通用方法,比如導數法求值域適用性廣,當然要重點研究.但是碰到無理式后,求導比較復雜,極點難求,另外有時定義域非有界閉區間,可能需要求極限,直接求極值難以求得值域.這時用三角換元,數形結合相對比較簡單,就可以看作處理這類問題的特殊方法.特法與通法并行才能加深對知識的深層次理解.

(3)在教學中要注意將特例上升到一般模型來探究

將特例上升到一般探究符合深度學習中的“對學習對象進行深度加工”的特點,在前面的拓展中,將學生遇到的一個解題困境一般化,抽象出這類問題的一般模型,提出解決方法,并用典例來加深理解.提出了這樣一些“有挑戰性”的問題,能吸引學生的學習興趣,能提高學生的數學抽象,數學建模素養.數學家波利亞曾指出:當你找到一個蘑菇時,用心觀察,就能找到一堆蘑菇.“抽象,推理,模型”是最重要的三個數學思想,在解題教學中尤其要強調.

(4)大單元整體教學的思想

在解題教學中,學生常常面臨著“懂而不會”,“懂一題而不能通一類題”的困境,究其原因,是因為沒有看清問題的全局,只看到了一個問題的某一方面,當遷移到另一問題時不能應用.古人云:孔子登東山而小魯,登泰山而小天下.大詞人蘇軾在《題西林壁》中感慨“不識廬山真面目,只緣身在此山中”.這都強調了,站得高才能看的遠,把握整體才能更好的欣賞把握局部.以求函數值域為例,從整體來看,基本初等函數的性質以及導數滲透到各個角落.但從局部來看,又有所不同,比如對于含有指數函數,對數函數,冪函數的函數求值域,由于求導簡單,而且往往具備很好的凸性,導數法必為首選;對于無理函數,求導往往復雜,這時對式子進行三角換元或數形結合的轉化效果會更佳.