基于波利亞解題理論求解不良結(jié)構(gòu)問題
——以2020年新高考全國卷第17題為例

華南師范大學數(shù)學科學學院(510631) 孫健 鐘琳

2020年新高考引入了不良結(jié)構(gòu)問題,此類問題引導學生的思維從知識的習得與記憶更多轉(zhuǎn)向問題的解決、策略的選擇,使學生從單一情境下的被動參與者轉(zhuǎn)變成主動投入復雜情境的問題解決者[1],考查了學生構(gòu)建問題、分析問題、解決問題的能力,對學生思維的靈活性有了較高要求,是新時代下人才選拔體系的必然要求.面對此類問題,“波利亞解題理論”提供了有效的思維方式.鑒于此,筆者以2020年新高考全國卷第17 題為例,深入探討波利亞解題理論在不良結(jié)構(gòu)問題中的具體應用.

一、預備知識

定義1 (結(jié)構(gòu)不良問題)當問題的初始狀態(tài)、目標狀態(tài)、算子都明確時為結(jié)構(gòu)良好問題,與之相對的,若初始狀態(tài)、目標狀態(tài)至少有一個沒有明確界定而造成解決途徑、評價標準、標準答案不唯一的問題則是不良結(jié)構(gòu)問題[2].

定義2 解三角形是指從三角形的已知元素求出三角形未知元素的過程[3].

二、原題呈現(xiàn)

三、試題剖析

(一)弄清問題

(二)擬定方案

擬定方案是在正確理解和表征題目后對已有知識遷移的過程,是探索解題思路的重要一環(huán),即在識別題目中的未知量、已知量和條件后對題目進行更深的理解,從而得到一些隱藏信息,然后把所有信息進行整合概括,從而形成知識的遷移,得到解決問題的方案.

(三)執(zhí)行方案

(四)回顧反思

1.你能校驗結(jié)果嗎? 針對此題,不同的選擇策略對應不同的解題過程以及不同的結(jié)果,檢驗結(jié)果是否合理只需驗證所得結(jié)果是否滿足全部已知條件、是否滿足構(gòu)成三角形的要素(即兩邊之和大于第三邊).

2.你能否一眼看出哪個備選條件便于求解? 針對缺少初始狀態(tài)的不良結(jié)構(gòu)問題,若想快速鎖定最佳的解答方案則需要對已知條件有一定的把控,這就要求在平常的學習中真正理解數(shù)學概念,了解相關(guān)定理公式結(jié)構(gòu),鍛煉邏輯思維、培養(yǎng)判斷意識,能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為我們所熟知的數(shù)學問題,進行學習遷移,然后運用所學的知識方法進行求解.

3.遇到缺少初始狀態(tài)的不良結(jié)構(gòu)問題,是先選擇還是先分析已有條件? 這兩種情況對應著不同的思維方式,若先分析已有的條件,則有利于之后的條件選擇,讓學生能夠選擇出更有利的備選條件從而使得自己構(gòu)造的問題簡單易解,降低解題難度;若先進行選擇,便使得初始狀態(tài)、目標狀態(tài)明確清晰,根據(jù)波利亞解題理論更有利于讓學生回憶起相似題目從而進行知識遷移,同時也可能由于選擇不當而增加解題難度,浪費解題時間.不同的學生須根據(jù)實際情況進行選擇,無論哪種情況都需要學生對相關(guān)數(shù)學知識有準確的把控,能夠迅速鎖定最適合自己的解決方案.

4.你能不能進行推廣?