探尋導函數正負判斷的策略*

華南師范大學附屬中學汕尾學校(516600) 劉光明

利用導數處理函數綜合問題是高中必不可少的內容,基本流程是求導后根據導函數的正負分析原函數的單調性,然后利用單調性處理函數的極值、最值等相關問題.由此可見,導函數的正負判斷是函數綜合問題的關鍵點,如若導函數的正負判斷陷入困局,那么解決問題就會出現卡脖子現象.本文抓住這一核心問題,通過實例剖析,試圖從再導一次、分類討論、分離函數、放縮法和巧設零點等五個思考方向尋求突破導函數正負難辨困局的策略.

策略1:再導一次

策略2:分類討論

策略3:分離函數

評注“化曲為直”是處理超越函數的一種有效手段,在導函數判斷正負出現困難的時候,我們也同樣可以考慮切線放縮.常見的切線放縮有ex≥x+1,x≥ln(x+1),x≥sinx.

策略5:巧設零點

導函數的零點存在但不容易求解出來的時,也會致使導函數的單調性判斷受阻,此時可以利用零點存在性定理分析導函數的零點,通過“設而不求”巧妙架設溝通單調性的橋梁.

“問題是數學的心臟”,在備考教學中要從“解題”向“解決問題”進行轉變.明確癥結,方能對癥下藥.學生通過漫漫學習路,并不是所有問題都不能處理,所困惑之處無非關鍵一二,若能將卡脖子問題處理順當,則數學解題無憂矣.因此在數學備考中,教師要用好教材和研究真題,厘清數學主干知識和基本方法,從學生的思維痛點處提煉出“真問題”,充分利用微專題,以精細化的主題挖掘問題背后的突破方法.激發學生自主反思所處困局的真因,培養良好數學思維和學習習慣,掌握知識和方法,應對千變萬化的試題.