利用導數研究參數取值范圍方法賞析

廣東省廣州外國語學校(511455) 葉土生 吳小五

高中數學中,求某一個參數的取值范圍是很常見的一種題型.這類問題涉及知識點多,可考查的數學思想方法豐富,并能很好地體現“在知識交匯處命題,以能力立意”的高考宗旨,所以常受到高考命題專家的青睞.利用導數研究參數取值范圍是一種常見的考查形式,可以結合函數的單調性、對稱性、零點、最值、極值等知識考查.常見解題的方法有三種:

1.帶參直接處理.這一般將問題轉化為分類討論研究.

2.分離參數.將參數與主元分離,轉化為研究一個具體函數的最值問題或函數值范圍問題.

3.數形結合.這一方法常見于一些小題,此時要關注參數的幾何意義,轉化為研究圖像的位置關系.

下面通過具體的例子加以說明:

一、典例賞析

評注 解法二將參數m獨立出來后,將問題轉化為參數m和具體函數f(x)的函數值間關系問題.化不確定性為確定性,是處理參數取值范圍的一種常見方法.對函數求導后,一般還需研究導數的零點位置以確定函數的極值、單調區間、函數值取值范圍等.這時如能根據函數性質畫出函數的簡圖,以幫助分析問題,可以降低思維梯度,提高解題準度.

二、方法透析

思路2仔細分析不等式xlnx?ax+a≥0,可以發現不等式可以轉化為xlnx≥ax?a.左邊函數y=xlnx(x>1)是常見函數,性質明確易求.右邊y=ax?a,參數a是一條過定點(1,0)直線的斜率,幾何意義明確,將問題轉化為過(在)一點求曲線切線問題,所以數形結合也是合理的選擇.具體解答過程請讀者自行給出.

評注分離參數法一定要注意獨立出來的函數性質易于研究,函數圖像容易給出,否則,如果你的知識儲備不夠往往將陷入困境.當參數分類標準明確,函數性質清晰,帶參直接分類討論是這類問題的“通法”.學習時不能為了刻意追求“妙招”而忽視通法的訓練.當參數的幾何意義清晰明確,特別在小題中,可以先試著應用數形結合解題,這一般計算量相對會小一些.

解析本例顯然不適合帶參直接處理,因為帶參求導f′(x)= (2x+ 1)ex?a后無法進一步研究函數性質,二次求導后又需進行多重分類討論.因為f(x)<0 等價于(2x?1)ex

思路1根據例3 分析,因為參數a的幾何意義明確,所以數形結合是首選方法,將問題轉化為過一個點作已知曲線的切線問題.

例4(2017 高考全國I 卷理科第21 題) 已知函數f(x)=ae2x+ (a?2)ex?x.若f(x) 有兩個零點,求a的取值范圍.

思路1本例因為參數幾何意義不清晰,顯然不適合數形結合,另外解答題要避免以圖代證的不嚴謹表述.本例求導后f′(x)= 2ae2x+(a?2)ex?1= (aex?1)(2ex+1),發現參數a的取值范圍不同,函數的性質發生很大變化,本例需要牢牢抓住a的范圍,才能得到清晰的函數性質.所以本例選擇對a進行分類討論比較合理.結合導數零點,先明確分類標準,然后帶參分類討論是本例得以解決的關鍵.具體解答過程請參照相關資料,在此不再贅述.

思路2另外,由f(x)=0,即ae2x+(a?2)ex?x=0,得參數很容易被分離出來,所以本例利用參數分離法能不能研究呢? 又是否合理呢? 這就取決于同學們研究函數性質的能力,代數式變形能力及意志品質.因在相關資料還沒有發現用分離參數法求解本例,以下給出簡單解答.

評注以上解法并不顯得很復雜,關鍵是能否根據導數得到函數值取值范圍.另外,在解答題中要避免以圖代證的不嚴謹表述,一定要把函數的單調性和函數取值范圍等性質說明清楚才能給出結論.

三、結束語

數學學習離不開數學解題,一題多解是數學解題需要重視的一種提高自己解題能力的方法,也是一種有效途徑.但一題多解不是目的,不能為了一題多解而一題多解,要在解答過程中總結哪種方法適合哪類題型,選擇哪個方法更加合理有效.一題多解的目的在于將能力升華為多題一解,對于一道陌生的題目能快速找準解題突破口,選擇最恰當的解題方法,以最快的方法給出準確的解答,這才是一題多解的目的.

我們也常常說平時要注重“通性通法”的訓練,但何為“通性通法”? 參數的取值范圍通法是什么呢? 分類討論、數形結合、分離參數都應該是這類問題的通法.所謂“通性通法”一定是要建立在對問題形式、結構有深刻理解的基礎上,在有多種方法選擇的情況下,能迅速找到最合理有效的方法給出正確的解答,才是對通性通法最準確的理解.只有通過同學們自己深入思考,才能深刻明白方法的適用范圍,才更能深刻領悟方法的合理性,特別在高三復習過程中,要重視一題多解,更要重視多題一解,找準一類問題的通法.