嚴格單調函數的Cr迭代根問題

王 泓 萱

(重慶師范大學 數學科學學院， 重慶 401331)

0 引言

迭代根是指已知函數自復合的結果,而反過來尋找函數本身的問題.這是一個動力系統理論中的重要問題.具體地說,一個函數g的n次迭代gn可被遞歸地定義為

g0(x)=x,gn+1(x)=g°gn(x),

n=0,1,2….

如果對一個整數n≥2有

gn=f,

則說g是f的一個n階迭代根[1].近年來,迭代根問題引起了越來越多研究者的興趣,在圓的自映射[2]、集值函數[3]、高維映射[4]等方面取得了許多進展.此外,人們還討論了迭代根問題在工業生產中的應用[5].實際上,在鋼條的加工過程中會按一系列相同的機制對鋼材進行軋制,以將其直徑減小到所需的尺寸.這個過程實際上是由簡單過程的n次重復組成的,因此通過計算n階迭代根人們便能很好地掌握軋制過程中鋼材直徑參數的變化情況,而這些參數是無法在生產過程中直接測量的.

本文主要關注區間(-∞,+∞)上嚴格單調函數的Cr迭代根,與文獻[8]不同的是,本文不僅把有界閉區間擴展到了(-∞,+∞),還考慮了所有遞增、遞減的單調情形,具體分為以下三類:

(1)嚴格遞增函數的Cr遞增迭代根:f(x)是(-∞,+∞)上的嚴格遞增函數,g(x)是f(x)的Cr遞增迭代根,其中n≥2為任意正整數;

(2)嚴格遞減函數的Cr遞減迭代根:f(x)是(-∞,+∞)上的嚴格遞減函數,g(x)是f(x)的Cr遞減迭代根,其中n≥3且為奇數;

(3)嚴格遞增函數的Cr遞減迭代根:f(x)是(-∞,+∞)上的嚴格遞增函數,g(x)是f(x)的Cr遞減迭代根,其中n≥2且為偶數.

1 Cr遞增迭代根

引理[14]若Cr類的一個非線性微分同胚f在x=0處是雙曲的,r>1且為正整數,那么f局部共軛于一個Cr線性微分同胚φ,即f=φ-1°λ°φ且φ′(0)≠±1,其中λ……