基于帶置信區間穩定圖的鐵路連續梁橋模態參數識別

王秋萍 秦世強

武漢理工大學土木工程與建筑學院，武漢430070

高速鐵路橋梁運營過程中，列車和橋梁形成一個車橋耦合系統，系統的動力響應十分復雜，會影響行車安全。為評價車橋耦合動力學行為，準確識別結構的模態參數十分重要［1-2］。模態參數包括頻率、阻尼比和模態振型，是結構基本的動力參數，也是進行結構動力分析、損傷識別的基本參數。與傳統測力法相比，環境激勵的模態參數識別方法通過測試結構在風、水流、地脈動等環境荷載下的微幅振動響應，結合時域、頻域算法識別結構模態參數，具有測試簡便、無須額外激勵設備，不會對結構造成損傷等優點。因此，環境激勵的模態參數識別方法在橋梁工程領域得到廣泛關注和應用［3-4］。

隨機子空間識別（Stochastic Subspace Identification，SSI）是一種時域識別方法，是環境激勵模態參數識別中較為可靠的一種算法。西寧北川河橋［5］、岸橋［6］、Millau高架橋［7］等已經驗證了SSI算法的實用性。基于環境激勵下的結構動力響應，通過SSI算法識別結構模態參數分為四個步驟：①數據采集；②數據預處理；③系統矩陣識別；④模態參數識別。第4步也稱作模態分析后處理，主要是利用穩定圖方法來確定各個測試組數據識別的頻率和阻尼比，并整合各個測試組的信息識別模態振型。對于分多個測試組完成的橋梁環境振動測試，這種后處理十分繁瑣，不僅要處理多個測試組的數據，而且須要區分穩定圖中虛假模態，使得整個模態分析過程效率大幅降低。

許多學者針對這個問題開展了研究。樊江玲等［8］在穩定圖中引入了一種可表征各階模態貢獻量的分量能量指標作為穩定判據，從而剔除虛假模態。陳永高等［9］引入余弦相似定理，提出頻率相似度和振型相似度，從而剔除穩定圖中虛假模態。Reynders等［10］提出模態轉移范數ni的概念來區分系統真實模態和虛假模態，ni越小，該階模態是虛假模態的可能性就越高。常軍等［11］提出一種兩階段穩定圖的方法，首先對輸出信號進行分段構造穩定圖，然后對各段識別的模態參數再一次用穩定圖方法分析，從而去除虛假模態。Cara等［12］通過研究各階模態對實測響應的貢獻，確定了系統階次的選定方法，避免系統階次過高帶來虛假模態或過低引起模態遺漏。

在上述研究基礎上，針對穩定圖中存在的系統階次確定較為隨意和虛假模態問題，本文提出基于奇異熵增量的系統階次計算方法和帶置信區間的穩定圖，并通過一座高速鐵路連續梁橋對帶置信區間穩定圖的效果進行驗證。

1 隨機子空間識別

結構的隨機狀態空間模型為

式中：x k、x k+1分別為系統在第k、k+1個時間點處的狀態向量；y k為測試到的輸出響應向量；w k、v k分別為測試過程誤差和系統建模誤差，均假定為互不相關的白噪聲；A、C分別為系統的狀態矩陣和輸出矩陣。

隨機子空間識別的主要思路是通過實測輸出響應向量y k識別系統矩陣（AC），結構的模態參數可通過系統矩陣特征值分解獲取。有兩種方式識別系統矩陣：①直接從響應數據出發構建Hankel矩陣，引入卡爾曼濾波、正交投影和QR分解，稱為數據驅動的SSI（SSI-data）；②從響應數據的協方差出發構建輸出協方差矩陣（Toeplitz矩陣），引入奇異值分解，稱為協方差驅動的SSI（SSI-cov）。兩種方式得到的結果近似，但計算效率不同；另外，SSI-cov識別過程更容易量化模態參數的方差［13］。因此，本文選擇SSI-cov作為試驗模態分析算法。SSI算法較成熟，不再贅述其理論過程。詳細的SSI算法實現過程可以參考文獻［6］。

2 系統階次的確定

系統階次n是SSI算法中須要確定的一個參數。由于模態以共軛對形式出現，因此系統階次取偶數。系統階次取值過小會導致結構真實模態遺漏，而取值過大會出現虛假模態。因此，合理地估計系統階次十分重要。

確定系統階次的方法主要有兩種：

1）奇異值分解法。通過觀察Toeplitz矩陣奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）的結果來確定系統階次。當系統階次逐漸增大時，奇異值會逐漸減小至0。這種方法在數值模擬中比較精確，但實際工程中Toeplitz矩陣的奇異值并不是突變到0，而是緩緩地減小，通過觀察奇異值的變化很難確定系統階次。

2）穩定圖法。基本思路是給系統階次賦予一個較大的值nmax，循環求解每個系統階次對應的模態參數，然后以頻率為橫軸、系統階次為縱軸繪制穩定圖，穩定圖中的散點稱為穩定點，須滿足相鄰兩階頻率的相對誤差dfi不超過1%、相鄰兩階阻尼比的相對誤差dξi不超過5%，相鄰兩階模態振型的模態置信準則（Modal Assurance Criterion，MAC）值的相對誤差dMACi不超過1%。結構真實模態的穩定點會逐漸形成一條穩定軸，而虛假模態一般只會形成一些離散點。

目前，穩定圖方法已經成為SSI算法的通用工具，其有效性已經在許多工程實例中得到證明。合理地確定穩定圖中nmax具有一定的價值。當nmax取值較大時，循環求解各階模態參數的計算時間會顯著增加，且虛假模態會逐漸形成穩定軸，影響系統模態的拾取。本文在已有研究的基礎上，提出一種奇異熵增量加權法來估計系統階次。

熵是反映系統不確定度的一個指標。對奇異值而言，奇異熵Ek定義為

式中：k為奇異熵的階次；ΔEi為奇異熵階次i時的奇異熵增量，可以通過下式得到。

式中：λi為Toeplitz矩陣的奇異值。

奇異熵增量在低階時λi較大，在高階時λi較小，且λi隨系統階次的增加逐漸減小，這種變化規律不隨信號的噪聲情況而改變。已有研究利用奇異熵增量的一階導數來判定系統階次，當奇異熵增量的一階導數趨于穩定時，對應的階次即為系統階次。然而，這種方法仍須要作圖觀察。本文利用奇異熵增量的特性構造奇異熵階次i處的權重系數εi。εi定義為

計算得到系統階次n，即

系統階次n應取其鄰近的較大偶數。該方法簡單易行，避免了作圖觀察，且便于模態參數自動化識別。

3 帶置信區間的穩定圖

穩定圖方法中另一個問題是虛假模態。引起虛假模態的原因包括實測過程產生的信號噪聲以及計算假定帶來的模擬誤差。信號噪聲引起的虛假模態可以通過信號預處理、合理選定系統階次避免，而模擬誤差則須要量化。量化的誤差稱為模態參數的不確定度σ，能夠衡量模態參數的可信程度。在SSI算法中，模態參數最終從狀態矩陣A和輸出矩陣C獲得。因此，模態參數的不確定度由A和C的誤差導致，即識別的A和C僅僅是其真實值的估計

為了分析系統狀態的變化，首先分析可觀矩陣O i的一階擾動ΔO i， 即

式中：U、S分別為輸出協方差矩陣奇異值分解后得到的正交矩陣和對角矩陣；ΔU、ΔS分別為正交矩陣和對角矩陣的一階擾動。

由于狀態矩陣A可以寫成可觀矩陣O i的表達式，因此，狀態矩陣A的一階擾動ΔA可以表達為

式中：（·）?表示（·）的廣義逆。

此時，問題轉化為如何求解正交矩陣和對角矩陣的一階擾動ΔU和ΔS。具體步驟：基于矩陣敏感性分析推導狀態矩陣的一階擾動，并量化單個測試組識別的模態參數的不確定度；構建頻率置信區間（f±σf）和阻尼比置信區間（ξ±σξ），σf、σξ分別為頻率f和阻尼比ξ的不確定度，并將其以誤差圖的形式繪制于穩定圖中，用于輔助判斷虛假模態。置信區間越大，表明模態參數的不確定度越高，是虛假模態的可能性就越大；反之，表明是結構真實模態的可能性越大。

4 連續梁橋模態參數識別

4.1 橋梁概況

Jalon高架橋位于西班牙境內，是一座高速鐵路連續梁橋，主橋跨徑布置為（35+45×4+35）m。主橋全長250 m，采用單箱單室等高截面雙線梁，箱梁頂寬12.94 m，底寬5.90 m，截面高3.22 m，見圖1。

圖1 橋梁立面及橫截面

4.2 環境振動試驗

為研究該橋的動力特性，須對其進行環境振動測試。設置12個GeoSIG無線加速度傳感器，其中4個作為參考點傳感器，其余8個作為移動測點傳感器。每個測試組采樣時間約為15 min，采樣頻率為200 Hz；測點均布置于箱梁內部，每個截面共布置3個測點（參見圖1），沿橋縱向每隔2.5 m設置1個測試截面，共101個測試截面，303個測點，見圖2。

圖2 測點布置及參考點位置（單位：m）

測試組4中參考點27處橫向加速度響應見圖3。可知，在環境激勵作用下橋梁呈微幅振動狀態，最大橫向加速度未超過1×10-3m/s2。

圖3 參考點27處橫向加速度響應

4.3 識別結果分析

利用測試組4中加速度數據構建輸出協方差矩陣得到奇異值分解結果和對應的奇異熵增量，見圖4。可知：奇異值隨系統階次變化無明顯突變，很難通過觀察奇異值變化情況來確定系統階次；隨著系統階次的增加，奇異熵增量逐漸減小。按照前文方法計算得到系統階次為49.3，將系統階次設置為50時即可得到結構的低階模態。

圖4 奇異值與奇異熵增量隨系統階次變化曲線

通過分析測試組4的數據得到帶置信區間的穩定圖，見圖5。圖中頻率誤差線顯示了各個穩定點的準確程度，尤其頻率為0～1 Hz時，存在較多不確定度較高的穩定點，影響了系統模態的拾取。當頻率不確定度σf≤0.25、阻尼比不確定度σξ≤0.25時，圖5（a）中的虛假模態和離散點會被剔除，得到圖5（b）所示的穩定圖，其更利于人工拾取真實模態。此外，圖5（a）中頻率為4～6 Hz時穩定軸發生了分裂，另一個穩定軸頻率不確定度相對較高，須進一步判定是否為結構真實模態。通過引入置信區間，能夠較好地區分部分虛假模態和真實模態，有效提高拾取穩定軸的效率。

圖5 帶置信區間的穩定圖

按照上述方法對其余測試組的數據進行處理，并獲取與圖5（b）類似的帶置信區間穩定圖進行各測試組模態參數的融合，以獲得模態參數的試驗值。為了校核試驗值，采用ANSYS建立橋梁有限元模型，通過理論模態分析獲取模態頻率的有限元計算值。采用實體單元模擬混凝土箱梁，采用梁單元模擬橋墩；邊界條件按圖紙設置，在E-1處設置移動鉸支座，在E-2處設置固定支座；橋墩底部采用固結處理。

橋梁模態參數識別結果見表1，其中頻率和阻尼比的試驗值為各測試組識別結果的均值。

表1 橋梁模態參數識別結果

由表1可知：①頻率試驗值與有限元計算值吻合良好，橫向振動模態中，第1、2階頻率有限元計算值略低于試驗值，第3、7、8階頻率有限元計算值略高于試驗值；②除第8階外，其余階次頻率有限元計算值和試驗值的相對誤差未超過5.00%；③第8階頻率有限元計算值與試驗值相對誤差為8.36%，相對低階模態較高，但未超過10.00%；④由于環境激勵對橋梁的激勵程度有限，高階模態的識別誤差相對低階模態較高。豎向模態頻率的試驗值與有限元計算值基本一致。⑤最大阻尼比不超過1.37%，阻尼較低。

5 結論

1）基于奇異熵增量的系統階次計算方法簡單易行，避免通過觀察奇異值的變化情況來確定系統階次，且能夠在程序編制中直接實現，利于模態識別過程自動化。

2）帶置信區間的穩定圖能夠有效區分系統真實模態和虛假模態。由于信號受實測過程誤差等因素影響，對有些虛假模態須進一步判定，但帶置信區間的穩定圖仍能去除部分虛假模態。改進的穩定圖方法能夠有效協助用戶進行模態參數識別后處理，提高SSI算法后處理的效率。

3）帶置信區間的穩定圖識別出的橋梁模態參數試驗值與有限元計算值吻合良好，表明帶置信區間的穩定圖能有效應用于工程結構模態參數識別。