不完整因子條件下內凹六邊形微結構面內動態性能研究*

趙 穎，馬 杰，桑 葉，王凱鋒，馬芳武

（1.西南大學工程技術學院，重慶 400715；2.吉林大學，汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130022）

前言

微結構材料具備力學性能良好、輕質高性能等優點，使其在汽車、航空等領域得到廣泛應用［1-3］。通過對微元胞進行再設計，可使其宏觀動力學性能得到大幅度改善。根據力學性能的不同，微結構材料可分為正泊松比微結構和負泊松比微結構。其中負泊松比微結構材料呈現“壓縮-收縮”的負泊松比效應，這一特殊變形模式使其抗沖擊性能得到顯著提升。因此，開展負泊松比微結構材料在車輛碰撞安全方面的研究具有重要意義。

若要深入了解微結構材料的宏觀變形模式，常采用有限元仿真分析法［4］。微結構材料的宏觀動力學性能與宏觀結構參數、梯度分布、沖擊速度、微觀拓撲和基體材料等因素密切相關［5-9］。鄧小林等［10］研究了一種全參數化正弦蜂窩結構，該蜂窩結構的輕微拉脹效應可增強其面內吸能特性。盧子興等［11］研究了具有手性和反手性構型的負泊松比蜂窩材料，通過研究該材料在不同沖擊速度下的變形模式和能量吸收等動態力學響應特性，給出了不同沖擊速度下的變形模式。此外，負泊松比微結構還同時具備抗凹陷、抗斷裂、高剪切強度和高可設計性等特點［12］。然而，微結構材料在加工制造或使用過程中會出現損傷，產生不完整因素，若要確定不完整因素對其整體性能的影響，須對含有不完整因素（如胞壁質量分布不均勻、胞壁彎曲、胞壁錯位、孔徑尺寸不均勻、胞壁缺失和元胞缺失等［13］）的微結構材料進行研究。Zhang等［14］研究了蜂窩材料局部缺陷對其面內變形模式以及平臺應力的影響規律。李振等［15］以內凹六邊形蜂窩結構為研究對象，揭示了微結構面內力學性能對胞元缺失的敏感程度。Ajdari等［16］研究了隨機胞壁或胞元缺失對正六邊形蜂窩結構屈服強度的影響。上述研究在一定程度上揭示了不同缺陷和缺陷率對蜂窩材料動態響應特性的影響，但以局部變形為主要特征的微結構材料動態響應必須考慮不完整因素分布不均勻的影響。基于此，本文中提出一種內凹六邊形負泊松比微結構，其代表性元胞如圖1所示。通過引入不完整因子（incomplete factor，IF）來定義胞壁缺失，采用MATLAB隨機選取設置不同IF的微元胞，建立仿真分析模型，分別研究其在不同沖擊速度和不同IF下的面內沖擊動力學性能。圖1中，h為元胞豎直胞壁高度，a為元胞水平胞壁長度，H為元胞高度，c為元胞寬度，m、n分別為元胞長短胞壁的厚度，α、θ分別為側邊和底邊內凹角。

圖1 內凹六邊形代表性微元胞

1 計算模型

1.1 有限元模型

內凹六邊形負泊松比微結構的有限元計算模型如圖2所示，L1和L2分別為微結構的寬度和高度。采用Hyperworks和Ls?dyna聯合仿真分析方法對其動力學特性進行分析。基體材料采用Q235合金鋼，密度ρ=7.85 g/cm3，彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.28，屈服應力σ=235 MPa。計算過程選用殼單元進行離散，結合微元胞尺寸，經過反復試算，有限元網格的初始尺寸為0.5 mm，該有限元模型的面外（沿z軸方向）厚度設定為2 mm。為保證收斂，在厚度方向取3個積分點，計算中采用單面自動接觸算法。剛性墻與內凹六邊形微結構接觸的動靜摩擦因數分別設置為0.2。設定剛性墻以沖擊速度v對該有限元模型施加沖擊載荷，有限元模型底端施加6自由度全約束，左右兩側自由度釋放。同時，為保證其動態響應為面內響應，試件所有的節點面外位移均予以限制。此外，考慮到模型變形可靠性，為有效地捕捉變形特征，并保證計算效率和穩定的動態響應，在x、y方向上分別填充微元胞數目為11和12，代表性微元胞的結構參數設置如下:h=3 mm，a=4 mm，m=2 mm，n=1.5 mm，H=20mm，c=30 mm，α=165°，θ=150°。

圖2 內凹六邊形負泊松比微結構有限元模型

1.2 模型可靠性

為驗證有限元模型可靠性，建立與文獻［17］中相似的計算模型，沖擊速度為v=20 m/s時，內凹六邊形微結構的沖擊變形模式如圖3所示。通過對比可知，在基體材料性能、邊界條件和加載條件完全相同的條件下，計算結果與文獻［17］中的面內變形模式基本吻合。

圖3 內凹六邊形微結構沿y軸沖擊下的面內變形模式

為進一步驗證有限元模型的可靠性，圖4給出了該微結構在面內沖擊作用下的能量曲線，包括動能曲線、內能曲線、總能量曲線、滑移能曲線和沙漏能曲線。其中沙漏能是衡量網格質量好壞的1個重要指標，也是驗證沖擊仿真模型的有效方法。一般情況下，將沙漏能控制在系統總能量的5%以內。由圖4可知，在整個沖擊過程中，內能的增加量等于動能的減少量，表明總能量守恒，且沙漏能與滑移能之和遠遠小于總能量的5%，進一步驗證了仿真模型的準確性。

圖4 內凹六邊形微結構在面內沖擊載荷下的能量曲線

1.3 不完整因子下相對密度

微結構材料相對密度為在組成微結構的最小單元中，微結構材料的等效密度與制造胞壁所用材料密度之比［18-19］。因此，無胞壁缺失時微結構的等效密度為

式中:S1和S2分別為最小單元內胞壁和1/2代表性微元胞的面積，如圖5所示。

圖5 相對密度求解

將S1、S2分別代入式（1），可得該內凹六邊形微結構的相對密度:

將前文中所設置的微元胞結構參數代入式（2），可得其相對密度為0.11。根據文獻［9］，在引入不同IF（0、1%、2%、3%、4%、5%）后，該內凹六邊形微結構的相對密度ρ′RD可通過以下公式獲得。

1.4 臨界速度模型建立

在沖擊載荷作用下，當沖擊速度超過陷波波速，微結構材料的變形開始由整體變形向局部變形轉變，材料開始形成局部變形帶，陷波波速又稱第1臨界速度［20］。

式中:εcr為微結構材料的初始應變（即應力達到第1次應力峰值時對應的應變）；σ′(ε)為微結構材料線彈性階段彈性模量；ΔρRD為微結構材料的相對密度；ρS為基體材料密度。

隨著沖擊速度的進一步增加，局部變形帶以沖擊波的形式從沖擊端向固定端傳播，第2臨界速度［20］為

式中:σc，ys為靜態平臺應力值；εD為密實應變。

若要獲取第2臨界速度，首先需要得到其準靜態平臺應力值，因此，設置沖擊速度v=2 mm/min，通過仿真分析得到其準靜態平臺應力值，聯合式（4）和式（5），可得到壁厚為2 mm時的臨界速度vcr1=12.36 m/s和vcr2=74.62 m/s，選取沖擊速度為8、20、50和90 m/s。

2 計算結果與討論

2.1 內凹六邊形微結構材料面內沖擊響應

基于上述所建立的有限元模型，分別得到該微結構在相同沖擊速度與不同IF和相同IF與不同沖擊速度下的變形模式，如圖6所示。

圖6 在不同IF下內凹六邊形微結構的變形模式

由圖6可知，當v=8 m/s時，其整體變形呈壓縮-收縮的“＞＜”型負泊松比變形模式，但隨著IF的增加，其負泊松比特性明顯減弱。當IF=0時，內凹六邊形微結構變形模式為“壓縮-收縮”的負泊松比變形模式。當IF=1%時，不完整微元胞附近形成“X”型放射狀的局部變形帶，隨著應變的增加，由于坍塌區內的微元胞胞壁互相接觸，所形成的局部變形帶迅速擴大，最終擴展至整個微結構。當IF繼續增大時，塑性坍塌區域增大且擴展至整個微結構的時間縮短，從而造成到達密實區的時間縮短，其內凹變形趨勢減弱。當IF達到5%時，“壓縮-收縮”的負泊松比變形變得不夠明顯。

當速度增加至20 m/s時，內凹六邊形微結構首先在沖擊端形成局部變形帶，如圖6（j）中標記所示，隨著壓縮應變的增加，固定端開始出現局部變形帶。壓縮應變繼續增加時，沖擊端和固定端的局部變形帶逐漸向中間傳遞，直至壓縮密實。在沖擊過程中該微結構仍會表現出負泊松比特性，但不如低速沖擊時明顯。

當v=50 m/s、IF=0時，變形為“I”型局部變形模式，如圖6（m）所示。微結構材料固定端的微元胞屈服時間進一步縮短。當IF=1%時，由于沖擊速度比較大，微結構材料在沖擊端的變形比較明顯，不完整微元胞胞壁與鄰近微元胞胞壁相互擠壓形成局部變形帶，IF對微結構整體變形的影響方式與v=8 m/s、v=20 m/s類似，首先在不完整微元胞附近形成局部變形帶，隨著應變不斷增加，變形向整個微結構擴散。隨著沖擊速度增加，整個材料失效時間縮短，到達密實區的時間進一步縮短，其負泊比特性進一步減弱。

當處于高速沖擊v=90 m/s時，試件固定端材料屈服時間再次縮短，試件在靠近沖擊端形成局部變形帶，遠離沖擊端的微元胞還未發生變形，靠近沖擊端的微元胞胞壁互相擠壓造成失效，隨著應變增加，試件逐漸在靠近沖擊端的部位形成類似于“V”型的局部變形帶，如圖6（s）標記所示。相較于中低速沖擊載荷（8 m/s、20 m/s、50 m/s），在高速沖擊載荷下，局部變形帶內的微元胞變形模式基本一致，變形帶外的微元胞變形模式基本一致。當IF增加時，高速沖擊載荷下，雖呈現局部變形模式，但IF的增加對試件整體變形模式影響并不顯著。因此，IF對低速沖擊時微結構整體變形模式有較大影響，對高速沖擊時微結構整體變形模式影響不大。

同樣，可得到相同沖擊速度、不同IF下，內凹六邊形微結構的應力-應變曲線，如圖7所示。

圖7 不同IF下內凹六邊形微結構應力-應變曲線

由圖7可知，內凹六邊形的應力-應變曲線分為4個階段:彈性區、平臺應力區、平臺應力增強區和密實區。當v=8 m/s、應力-應變曲線進入平臺應力區時，IF越大，應力-應變曲線中的平臺應力區與水平應變軸的距離越短，平臺區的長度并未隨IF的增加而發生明顯的變化，因此須分析在相同IF下，不同沖擊速度對微結構面內動態響應特性的影響，以判斷IF的增加是否會對平臺區的長度產生影響。當持續壓縮至彈性應變εE時，應力-應變曲線進入平臺應力增強區，此時的應力-應變曲線與水平應變軸的距離變化規律與平臺應力區類似。當微元胞胞壁被壓縮至完全貼合時，應力-應變曲線進入密實區，隨著IF的增加，到達密實區的時間縮短。當v=20 m/s時，微結構材料的應力-應變曲線在彈性區、平臺應力區、平臺應力增強區以及密實區隨IF變化而變化的規律與v=8 m/s類似，但v=20 m/s時彈性區的應力峰值比v=8 m/s時大，雖平臺應力區長度無明顯變化，但平臺應力增強區的長度有所增加，同時，進入密實區的壓縮應變和相應的壓縮應變比8 m/s時都有所增大。當v=50 m/s時，應力-應變曲線在彈性區的應力峰值進一步增大，且達到應力峰值后，應力未出現8 m/s、20 m/s時明顯下降趨勢。平臺應力區和平臺應力增強區的應力-應變曲線仍表現為IF越大，距離水平應變軸越遠的變化規律。進入密實區后，其壓縮應變相較于20 m/s時進一步增大，壓縮至密實時的應力也有所增加。與v=50 m/s相比，v=90 m/s下微結構彈性區的應力峰值進一步增大，平臺應力區和平臺應力增強區的長度增加，且應力-應變曲線距水平應變軸的距離整體有所增加。進入密實區的時間進一步縮短，壓縮應變進一步增大，壓縮至密實區時，微結構材料的應力增大。

同理，也可得到相同IF、不同沖擊速度下，內凹六邊形微結構的應力應變曲線，如圖8所示。

圖8 不同沖擊速度下內凹六邊形微結構應力-應變曲線

由圖8可知，速度90 m/s的應力-應變曲線距水平應變軸最遠，8 m/s、20 m/s的應力-應變曲線距水平應變軸最近，并且曲線之間距離較近，沖擊速度為50 m/s時的應力-應變曲線處于中間位置。當曲線處于彈性區時，隨著沖擊速度地增加，內凹六邊形在彈性區的應力峰值也增大。當進入平臺應力區時，速度8 m/s、20 m/s、50 m/s所對應的應力-應變曲線長度接近，v=90 m/s時平臺應力區的應力-應變曲線最長。進入平臺應力增強區后，v=90 m/s時的曲線處于最下方且長度最長，其他3個速度則位于最上方且長度較接近。而微結構材料的吸能特性主要由平臺區決定，為更直觀地對比不同沖擊速度下微結構的能量吸收特性，計算不同工況下的平臺應力是非常有必要的。

2.2 平臺應力與吸能特性對比分析

微結構材料平臺應力為

式中:εcr為屈服應變，為名義壓縮應力到達第1個應力峰值時的名義應變；εd為密實應變；σ(ε)為隨名義應變而變化的名義應力。

表1為不同IF下的平臺應力值，圖9為平臺應力變化曲線。

表1 不同IF下的平臺應力

由圖9可知，當IF為定值時，沖擊速度增加導致微結構材料慣性效應增強，其平臺應力整體呈增大趨勢。當沖擊速度為定值時，IF增加使該微結構抵抗沖擊的能力減弱，在速度較大（50 m/s、90 m/s）時，平臺應力隨IF增加呈下降趨勢，而當速度較低（8 m/s、20 m/s）時，隨IF增加平臺應力雖表現出下降趨勢，但存在較大波動，變化規律不如高速沖擊載荷時明顯。

圖9 不同工況下內凹六邊形微結構的平臺應力變化曲線

同理，還可得出相同IF、不同沖擊速度下的吸能曲線，如圖10所示。

由圖10可知，隨著壓縮應變增加，吸能曲線整體呈上升趨勢。在相同IF下，速度越大，吸能量越多，吸能曲線之間的差距也越來越大。這說明在低速沖擊下，IF增加對其吸能特性影響不大，在高速沖擊下，IF增加對其吸能特性影響較大。

圖10 不同沖擊速度下內凹六邊形微能量吸收曲線

同理，還可得出相同沖擊速度、不同IF下內凹六邊形微結構的吸能曲線，如圖11所示。

由圖11可知，在相同沖擊速度下，壓縮應變為定值時，吸能曲線距水平應變軸的距離隨IF增加逐漸減小，說明IF的存在會對吸能特性產生影響。當速度較低時，不同IF下的微結構所對應的吸能曲線之間的距離較小。隨著速度增加，曲線之間的距離呈增大趨勢。說明在低速沖擊下，IF增加對其吸能特性影響較小；而在高速沖擊下，IF增加對其吸能特性有較大影響。

圖11 不同IF下內凹六邊形能量吸收曲線

3 結論

本文中針對具有相同結構參數的內凹六邊形微結構，分別研究了其在不同IF（0、1%、2%、3%、4%、5%）和不同沖擊速度（8 m/s、20 m/s、50 m/s、90 m/s）下的面內動態性能。

（1）通過分析內凹六邊形微結構的面內變形模式，得出了不同工況下微結構的應力-應變曲線。發現:在高速沖擊下，IF的存在對其變形模式有較大影響；隨著IF增加，其“壓縮-收縮”的負泊松比特性明顯減弱，變形由穩定有序的模式變為混亂無序的模式，抗撞能力明顯減弱；而對于低速沖擊下，IF對其負泊松比特性影響較小，變形模式由穩定有序向雜亂無章變化的過程相較于高速時變緩。

（2）通過對平臺應力與吸能特性的對比分析，得出不同工況下內凹六邊形微結構的平臺應力曲線和單位體積吸能曲線。發現:沖擊速度與IF對其平臺應力和吸能性能都有顯著影響；相同沖擊速度下，隨著IF增加，平臺應力總體呈減小趨勢，而吸能特性總體呈減弱趨勢；但在低速沖擊下，平臺應力變化較為緩慢，吸能特性隨著IF增加變化并不明顯。結合內凹六邊形微結構材料變形模式的分析，進一步證明了穩定有序的變形模式有利于結構能量吸收。

（3）獲得了不同工況下，內凹六邊形微結構的變形模式、平臺應力及吸能特性。在實際應用過程中，應充分考慮微結構材料的實際工況，當處于低速沖擊載荷時，允許微結構材料存在一定的IF。而當處于高速沖擊載荷時，應盡量避免IF的存在。