硬幣“跳舞”的動力學分析

胡 立

(北京師范大學 物理學系，北京 100875)

跳舞的硬幣是2018年國際青年物理學家錦標賽(IYPT2018)的一道賽題，題目翻譯為：拿一個非常冷的瓶子，把一枚硬幣放在瓶口.過一會兒你會聽到聲音，并看到硬幣運動.本文要解釋這個現象，并探究相關參數是如何影響硬幣“舞蹈”的.

到目前為止，已有不少論文從熱力學的角度對該題進行了分析[1,2].認為硬幣“跳舞”是因為瓶內冷空氣被外界環境加熱，氣體溫度升高過程中壓強也升高，到一定程度可以使硬幣一端翹起，同時還研究了硬幣“跳舞”的周期性.然而，鮮有研究者從動力學角度入手，針對單次跳動過程中硬幣的運動狀態進行討論.

基于力學常識，我們可以先對硬幣跳動的過程做一定性分析.硬幣有一條旋轉對稱的軸線，圓環狀的瓶口也有一條旋轉對稱的軸線，倘若我們將硬幣放置在瓶口時兩者的中心軸線是重合的，在瓶內氣壓升高推動硬幣向上運動的過程中硬幣應該是被整個抬起.然而，實驗中觀察到的硬幣跳動過程卻都是一端翹起，繞著過硬幣另一端的水平軸作定軸轉動.這是因為我們在放置硬幣的過程中并不能保證硬幣和瓶口兩者軸線完全重合，總會有一個放置誤差Δx，導致在瓶內氣壓升高時硬幣更傾向于繞著遠離瓶口中心的一端作定軸轉動.

本文嘗試從硬幣的放置誤差入手，對硬幣單次“跳舞”過程進行分析，并就放置誤差對硬幣翹起高度的影響做進一步探討.

1 理論模型與硬幣的運動方程

如圖1所示，我們可以構建這樣一個模型：設瓶口內徑為2r，一元硬幣的半徑為R，過程中硬幣翹起的角度為θ，硬幣的質量為m，水的表面張力系數為σ.

圖1 硬幣“跳舞”的示意圖

初始時刻，硬幣水平地靜止在瓶口，其邊緣與瓶口接觸區域有一層薄薄的液膜，隨后在內部氣壓的作用下，硬幣更靠近瓶口中心的一端迅速向上翹起，翹起至特定高度時，硬幣與瓶口間的液膜破裂，瓶內外氣體快速交換(此過程可視為絕熱膨脹)[2]，瓶內壓強降低，導致硬幣受到的向上的支持力減小，硬幣轉動的角加速度方向變為液膜破裂前的相反方向.

硬幣在液膜破裂前的轉動過程中受到3個力提供力矩：豎直向下的重力、垂直于硬幣表面向上的支持力以及垂直于硬幣表面向下的表面張力[3].由于放置誤差的存在，硬幣受到的向上的支持力對應的力臂是(R+Δx)，硬幣的運動方程為

(1)

式中I表示硬幣繞軸轉動的轉動慣量，p1表示液膜破裂前硬幣翹起的短時間內瓶內外氣體壓差.由于硬幣可近似為薄圓盤，故其繞軸轉動慣量為[3]

(2)

在液膜破裂后的轉動過程中，硬幣的運動方程為

(3)

式中p2表示液膜破裂，內外氣體交換后的短時間內瓶內外氣體壓差(后續實驗表明p2≠0).硬幣翹起高度可表示為H=2Rsinθ.

2 實驗裝置與方法

圖2是主要的實驗裝置示意圖.其中有采用亞克力材料自行制作的瓶子，并在其內部插入采樣率為2 Hz、分辨率為0.1 Pa的壓強傳感器(插入壓強傳感器是為了探測硬幣“跳舞”過程中瓶內壓強的變化，尤其是瓶內外氣體交換前后的壓強，為數值計算提供必要參數).

實驗時，將冷卻后的瓶子連同壓力傳感器置于溫度均勻的室內桌面上，按一定的放置誤差Δx放置好硬幣，并采用高速攝像機對硬幣運動過程進行錄制.

圖2 實驗裝置示意圖

實驗裝置的參數為：R=12.5 mm,r=10.00 mm,m=6.05 g,水的表面張力系數σ≈72×10-3N/m.

實驗主要分為兩部分，一是記錄硬幣翹起高度隨時間的變化，二是測量瓶內的壓強變化，特別是硬幣運動過程中的壓強變化.因為液膜破裂后瓶內外氣體交換十分迅速，我們可以將液膜破裂前硬幣上升過程中瓶內外壓差p1視為常量，液膜破裂后短暫時間內瓶內外壓差p2視為常量.

由圖3可以發現，內外氣體交換后瓶內外壓差并不為零，這與一般文章所認為的“絕熱膨脹后內外等壓”并不相符.另外，由于壓強傳感器采樣率為2 Hz的限制，我們并不能測量出硬幣舞動過程中微小時間段內瓶內外壓差變化的確切數值，但可以選取多次測量的極值分別作為p1和p2.顯然，測量次數越多，所得極值越逼近真實值.經過多次測量，最終測得p1=196 Pa，p2=61 Pa.

圖3 硬幣連續跳動時瓶內外壓差p與時間t的關系曲線

同時，多次實驗可以發現，在不同的放置誤差下，硬幣翹起過程中液膜總是在同一高度H0=0.82 mm破裂，這也將成為數值計算時液膜破裂時間的重要判斷依據.

3 結果與分析

如圖4所示，在給定放置誤差Δx=0.7 mm的情況下，隨著時間t的增大，硬幣翹起高度H先升高后降低，且理論與實驗符合得較好.

圖4 硬幣翹起高度H與時間t的關系曲線

同時，實驗所測得的全過程時間比較短，這是因為實驗過程中液膜破裂并不完全，瓶口與硬幣的接觸部分仍有一部分殘留的液膜.倘若在理論模型中的液膜破裂后運動過程也加入部分表面張力，則理論模型的全過程時間會更接近實驗測定值.

圖5 等差地改變放置誤差Δx時H與t的理論關系曲線

在圖5中，等差地改變放置誤差Δx，發現硬幣所能達到的最大高度Hmax隨著Δx的增大而增大.這與我們的物理直覺是相符的，放置誤差越大，瓶內壓強提供的向上支持力力臂(R+Δx)越大，硬幣翹起的角加速度就越大，硬幣更容易翹起且翹起更快，進而在液膜破裂時積累了更大的角速度，能夠達到的最大高度Hmax也隨之增大.

3 結論

本文通過提出“放置誤差”這一重要概念，從動力學的角度，對硬幣“跳舞”的過程進行了分析，推導出硬幣運動的二階常微分方程，通過數值計算發現硬幣翹起的最大高度與轉動全程時間都與放置誤差存在密不可分的聯系.放置誤差越大，硬幣翹起的最大高度就越大，轉動全程所花的時間越少，并且通過實驗驗證了理論模型的正確性.