一種安培環(huán)路定理的講法

耿志浩

(北京化工大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京 100029)

在常見的物理教材中，處理安培環(huán)路定理證明的方法，通常有三大類：第一類[1]是僅針對無限長載流直導(dǎo)線的磁場進行證明，然后將結(jié)論直接推廣到任意形狀閉合載流導(dǎo)線的情形，第二類[2,3]是變換畢薩定律積分形式，應(yīng)用立體角的概念理解和計算安培環(huán)路積分；第三類[4]是利用場論方法，由B=×A在數(shù)學(xué)上嚴格推出×B=μ0J，從而給出安培環(huán)路積分.但在面向非物理專業(yè)的大學(xué)物理教學(xué)實踐活動中，大都采用第一類方法對安培環(huán)路定理進行證明，之所以如此，是因為教學(xué)實踐活動與學(xué)生在這三類方法的數(shù)學(xué)接受程度之間，始終存在矛盾.

第一類方法數(shù)學(xué)簡單，但在物理直覺上說服力不強，會導(dǎo)致學(xué)生對該定理理解不深.第三類方法嚴謹，但數(shù)學(xué)明顯超出需要.第二類方法嚴謹，以文獻[2]所展示的證明過程為代表，在數(shù)學(xué)上也是一種可行的講法，但從筆者以及幾個兄弟院校的教學(xué)實踐來看，要讓學(xué)生理解任意電流回路沿著任意閉合回路所掃過的面對某點的立體角為4π，也并非易事.其中可能涉及到引入立體角的梯度、任意電流回路所掃過的閉合曲面怎么畫，以及套連時如何判斷立體角的變化等問題，其對學(xué)生空間想象能力和學(xué)時的要求很高，實際教學(xué)中能聽懂的學(xué)生并不多.

本文在這里提出一種結(jié)合第一類和第二類方法特點的新講法，其物理直覺的嚴謹性和數(shù)學(xué)的難易程度均介于兩者之間，即將證明“無限長載流直導(dǎo)線和任意形狀安培環(huán)路的特例”改為證明“任意形狀平面載流線圈和矩形安培環(huán)路的特例”.筆者通過教學(xué)實踐反復(fù)實驗了該方法，證明簡單，耗費學(xué)時少，學(xué)生感到直觀易理解，供同仁們參考.

1 安培環(huán)路定理的講法

如圖1，設(shè)通有電流I的閉合平面載流線圈l1，電流方向用dl1標示，另有垂直于線圈的矩形安培環(huán)路ABCD，記為l2，回路方向用dl2標示，l1與l2形成套連關(guān)系.

根據(jù)畢薩定律，將磁場對l2的回路積分表示為

(1)

其中er為dl1指向dl2的單位矢量，r為dl2與dl1之間的距離。根據(jù)等式(A×B)·C=(C×A)·B，將式(1)變?yōu)?/p>

(2)

圖的幾何意義

(3)

圖的幾何意義

(4)

該總面元則如圖3，由于假設(shè)的是平面載流線圈l1和垂直方向的矩形安培環(huán)路l2，故整個載流線圈l1所掃過的面元形狀是圖3中的左右兩個柱面的側(cè)面以及上下底面，且可根據(jù)(-dl2)×dl1判斷各個具體面的面元方向.

1) 在上下底面處，兩個柱面之間的部分(即圖3中最深色面元部分)，在線圈掃過時，會由于線圈左右兩側(cè)重復(fù)掃過該區(qū)域，且掃過的面元方向相反而抵消，故線圈掃過的全部面元對P點立體角有貢獻的只有左右兩個柱面的全部外表面.

圖的幾何意義

2) 左側(cè)柱的外表面對P點形成立體角時，面元法向方向全部指向柱的內(nèi)側(cè).

3) 右側(cè)柱的外表面對P點形成立體角時，面元法向方向全部指向柱的外側(cè).

由于左側(cè)柱不包含P點，所以左側(cè)柱外表面對P點立體角的貢獻為0，而右側(cè)柱包含P點，所以右側(cè)柱外表面對P點的立體角的貢獻為4π，故總立體角Ω=4π，代入式(4)，得

∮l2B·dl2=μ0I

(5)

容易看出，若載流線圈l1與安培環(huán)路ABCD沒有形成套連關(guān)系，比如將環(huán)路ABCD向右平移使其與線圈l1不相套連，則P點將完全不會被左右柱面包圍，此時總立體角Ω=0，可得

∮l2B·dl2=0

(6)

然后，可向?qū)W生表明，雖然該證明取的是矩形安培環(huán)路，但若將矩形回路彎曲一下，變?yōu)槿我庑螤畹陌才喹h(huán)路，該結(jié)論仍然成立.至此，定理講完.

2 總結(jié)

在面向非物理專業(yè)的大學(xué)物理教學(xué)實踐活動中，本文提出采用一種新的特例，即“任意形狀平面載流線圈和矩形安培環(huán)路”的特例，來講解安培環(huán)

路定理.該方法，一方面對立體角的數(shù)學(xué)論述更少，另一方面向一般情形的推廣，也從物理直覺上更易讓學(xué)生接受，更能加深學(xué)生的理解.筆者的教學(xué)實踐表明，該方法操作簡單可行，可供大家參考.