剛體運動三維可視化模擬和復擺相關問題探討

林炯輝，劉玉穎，宋 敏

(1.中國農業大學 工學院，北京 100083；2.中國農業大學 理學院，北京 100083)

自17世紀牛頓經典力學建立以來，就一直得到普遍的應用，它打開了近代自然科學的大門，在其基礎上發展出了彈性力學、流體力學、結構力學等多門學科. 在牛頓力學中，如果已知物體的受力和初始狀態，對于有序系統其未來的運動狀態是確定的. 學者們根據經典力學的定律和萬有引力定律曾經精確地預言彗星和小行星等的運動，并且得到了驗證.

近年來研究者們在大學物理教學中引入Matlab計算機數值模擬，培養學生用計算機進行學習和研究物理問題的能力[1-4]，將VPython引進大學物理課堂的方式也逐漸興起[5-7]. VPython可以利用簡單的代碼模擬物體在三維空間中的運動，實時觀測物體的速度變化及其運動軌跡. 質點平動、剛體定軸轉動和復擺振動是基本的運動形式，本文選用VPython軟件對剛體的平動、轉動、振動進行模擬與探究，利用轉動定律、角動量定理、動量定理等基本規律，從剛體的定軸轉動出發，研究其在恒定力矩和變化力矩作用下的運動狀態以及其能量特征，進而研究剛體的平面平行運動；通過模擬不同角度復擺的運動，觀察復擺受迫振動時的運動特征，檢驗相關結論.

1 Vpython概況

VPython是Python默認的3D模塊，有著和Python一樣風格的編程方式，可以快速創建三維場景和動畫. Vpython可創建多種實體類型，如球體、圓柱體、長方體、錐體等，通過代碼改變其在空間中的位置即可實現運動模擬. 利用VPython模擬剛體轉動的代碼框架為：① 定義常數(m，g，k等)和運動初始值(初始角位置，初始角動量等)；② 設置步長Δt，Δt越小模擬越精確；③ 進入while循環，在循環中根據當前狀態計算合外力矩；④ 用該力矩更新系統角動量；⑤ 利用角動量更新系統角位置. 程序中以差分代替微分，得到角速度、角位置對時間的迭代式(Euler-Cromer方法)：

ωi+1=ωi+f(θi,ωi,ti)Δt，

θi+1=θi+ωi+1Δt，

ti+1=ti+Δt

Δt越小，模擬的精度越高.

2 剛體轉動的VPython模擬

2.1 轉動定律簡介

在大學物理的學習中，我們依據牛頓第二定律導出了剛體定軸轉動定律M=Jα，即剛體所受的對于某定軸的合外力矩等于剛體對此定軸的轉動慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積；力矩的時間累積效應——角動量定理dL=Mdt，即剛體角動量的增量等于所受合外力矩的角沖量.

2.2 恒定力矩下勻質圓柱體的定軸轉動

有一個質量為2 kg，長度為1 m，半徑為0.1 m的勻質圓柱體，轉軸為過其質心且與圓柱體中心軸線垂直. 勻質圓柱體最初處于靜止狀態，對其施加一恒定力矩，力矩方向沿轉軸正方向，大小為2 Nm,對其運動進行分析.

對于勻質圓柱體，轉軸(圖中所示z軸)位于圓柱體中心且垂直于中心軸線，建立如圖1所示的坐標系.

圖1 勻質圓柱體，其轉軸為z軸

(1)

我們在VPython中對該勻質圓柱體的轉動進行模擬，利用VPython顯示勻質圓柱體尺寸、顏色以及轉軸位置(如圖2所示)，將棒的運動可視化.

圖2 勻質圓柱體繞定軸轉動及對應坐標系，轉軸沿z軸正向

在VPython模擬中，可以直觀地觀察它的運動過程，程序中使用的物理公式及對應的程序循環語句如下.

whilet<2:

rate(100)

torque=vector(0,0,2) #M=(0,0,2)

L=L+torque*dt#dL=M×dt

dtheta=omega*dt#dθ=|ω|×dt

theta=theta+dtheta

rod.rotate(angle=dtheta,axis=(0,0,1),origin= axle.pos)

t=t+dt

VPython模擬結果表明：t=2 s時，角位置θ=23.3044661359 rad，角速度ω=23.3021359223 rad/s，ω/θ=0.999900，與理論計算結果符合得很好.

本文還探究了勻質圓柱體轉動過程中角速度、角位置隨時間的變化關系：由于恒定力矩作用，角加速度為一恒量，角速度隨時間線性增大，角位置為時間的二次函數，與時間t的平方成正比(如圖3所示).

圖3 角速度、角位置與時間關系圖像

2.3 正余弦變化的力矩下勻質圓柱體的定軸轉動

(t=0,ω=0)

(2)

-0.699cos(5t)+0.699,(t=0,θ=0)

(3)

進行VPython模擬，將力矩定義式更改為torque=3cos(5t).模擬結果表明：角速度ω、角位置θ隨時間t均做周期性變化，角速度ω、角位置θ隨時間的變化曲線如圖4所示. 理論與模擬結果均表明角速度、角位置的變化周期均等于力矩變化周期；且在運動的一個周期內，圓柱體先加速后減速(圖5a)，當角速度減為0時，轉角達到最大(圖5b).隨后勻質圓柱體反向加速(圖5c)到最大值再減速，減速至角速度為零時，此時θ=0，棒回到初始位置(圖5d).

圖4 角速度、角位置隨時間變化關系曲線

圖5 勻質圓柱體轉動的3D場景

力矩M和轉動動能E隨時間變化曲線如圖6所示，勻質圓柱體動能變化周期等于力矩周期的一半.動能為

力矩大時，轉動動能不一定大.通過動能與力矩的函數關系圖像(圖7)可知：當力矩為極值±3Nm時，動能最小為0，當力矩為0時，動能為最大值1.048 J.

圖6 動能、力矩隨時間變化關系曲線

圖7 動能與力矩關系圖像

2.4 平動加轉動

現在在轉動軸上施加一恒力，勻質圓柱體的運動變為質心的平動和繞過質心軸的轉動.由動量定理P2-P1=FΔt，得到動量迭代式P=P+Fdt，由P=mv，求得任意時刻的瞬時平動速度v和dt內的位移ds=vdt.在while循環中更新轉軸的位置(設力沿x軸正方向，故只需改變勻質圓柱體質心x坐標).

whilet<2:

P=P+F*dt

#dPtranslate=F*dt

v=P/M

rod.pos=rod.pos+v*dt

#dx=vdt

axle.pos.x=axle.pos.x+mag(v*dt)

在相同的力矩和大小不同的外力作用下，系統的運動軌跡不同，如圖8所示.力矩均為M=3cos5t，外力大小分別為0.1 N、0.5 N、1 N沿x軸正向(方向向右)，模擬結果表明：勻質圓柱體端點的軌跡呈鋸齒狀，且隨著外力的增大，“鋸齒”越來越疏松(如圖8所示).

圖8 相同的力矩和不同外力作用下勻質圓柱體的運動軌跡，力矩均為M=3cos5t

3 勻質棒的擺動(大角度、小角度)的VPython模擬

3.1 重力矩下的棒的擺動(大角度、小角度)

在大學物理振動學章節中，我們了解了簡諧振動是最簡單、最基本的振動，小角度復擺即是簡諧運動的一個特例. 在研究復擺的運動周期時，令物體作小振幅擺動(擺角<5°). 根據轉動定律得

(3)

式中l為復擺質心到轉軸的距離，當θ較小時，可近似看作sinθ≈θ，式(3)變為

解微分方程得

θ=Acos(ωt+ψ)

振動的圓頻率和周期分別為[8]

(4)

(5)

通過積分理論計算，得大擺角運動時復擺的周期為[10]

(6)

可以看出任意角度下擺的運動方程與運動周期的理論推導式都與小角度近似(sinθ≈θ)存在差異，θ0為大角度時，擺的運動已非簡諧運動.在VPython中，對一根懸掛在低摩擦軸上的桿的運動(忽略阻力)進行建模(圖9)，設桿的質量為m，桿長為L，并設立一組遞增的初始偏置角度.模擬結果如圖10所示，虛線為小角度近似得到的余弦曲線:

θ=θ0cos(ω0t),

實線為擺桿實際角位移曲線.當θ0為小角度時(<10°)，可見擺桿實際角位移圖線與簡諧運動角位移理論計算結果曲線相重合，擺桿的運動為簡諧運動；當θ0>10°時，隨著初始角的增大，實際角位移曲線與簡諧運動角位移理論計算結果曲線偏差越大，擺桿不再作簡諧運動(如圖10(c)-(f)所示)；而當θ0=180°時，擺桿達到往復擺動與圓周運動臨界點.

圖9 擺桿Vpython建模實體

圖10 不同初始偏轉角度下擺桿實際角位移曲線與簡諧運動角位移理論曲線對比圖

令縱坐標表示角速度，橫坐標表示角位置，圓棒的運動狀態對應坐標軸上的點，這樣的圖形叫做相圖.相圖沒有直觀地顯示角速度、角位置與時間的關系，卻能反映出運動的全局性.相圖法是非線性力學中最基本的研究方法[11].將不同初始條件下擺桿的運動狀態用ω-θ相圖表示如圖11所示.

圖11 不同初始條件下擺桿受重力矩的運動狀態ω-θ相圖

由圖11可知，當θ0較小時，相圖軌線為圓形閉合曲線，表明運動為簡諧振動；θ0越大，軌線越“方”.

3.2 考慮阻尼和周期性外力矩時擺運動特性的研究

在經典力學中，已知物體初始狀態和物體運動過程中受力情況，可以通過牛頓運動定律和動量定理預測物體的運動；但自然界中并非所有物體運動都是確定且唯一的，即使給定了初始條件，物體依然可能有多條運動軌跡，非線性系統就是典型例子.當給任意角度復擺一個周期性外力矩并考慮阻力，使其受迫振動，當驅動力矩達到一定值時擺的運動狀態無法預料，且對初始條件具有敏感性，這在物理上被稱為混沌.混沌的一種著名表述是“蝴蝶效應”，初始條件的極小偏差，都將可能會引起結果的極大差異.

受迫振動微分方程為

(7)

C為阻力系數，M為力矩最大值，ωp為力矩周期變化的角頻率，上式化簡為

(8)

圖12 截取不同初始條件下擺桿受迫阻尼振動的ω -θ相圖

由于疊加原理、傅立葉變換等工具不適于求解非線性方程，而計算機性能的提高使得研究者一般采用計算機進行迭代運算對其進行數值求解.通過有阻尼受迫振動的模擬，發現在一定范圍內即使初始條件f變化很小，卻會引起復擺的運動形式有很大的不同.例如當f=1.505時，相軌跡為無規則的發散曲線；f=1.508時，相軌跡為收斂的三個極限環.與當年洛倫茲在利用計算機研究地球大氣時提出的“蝴蝶效應”相類似，對于十分接近的兩個f的值，初始時相軌跡重疊，當時間積累到一定程度后，相軌跡會出現較大偏差：設定模擬精度dt=0.001 s，f初始值相差0.00001時，程序運行200 s后，兩個復擺的運動將截然不同.隨著f值的變化，相軌跡運動呈現出由收斂、有序走向混沌的狀態.混沌狀態下相點軌跡時而做周期運動，時而做非周期運動；時而向外延伸，時而在某一位置纏繞.對于某一時刻而言復擺運動具有不確定性(如圖11(e)—(g)).如果不斷增大f值，研究f>1.7以后的狀態(不再贅述)，收斂的極限環與混沌相圖將繼續交替出現，說明復擺的周期性運動與混沌狀態交替出現.

簡單的復擺系統實際上的運動卻“不簡單”.混沌的發現對經典力學造成了沖擊，同時也令其不斷完善和發展. 隨著人們對混沌理論的深入了解，將會給我們生活帶來有利的應用. Vpython模擬可以檢驗非線性系統相關結論：1)疊加原理不再成立；2)初始條件的不同，會導致很大差異的運動形式；3)可能出現完全隨機的混沌狀態.

4 結論

本文利用VPython對剛體運動和剛體擺動進行運動模擬和數值模擬. 利用轉動定律和角動量定理，對恒定力矩和周期性變化力矩下剛體的定軸轉動運動狀態進行了探究，并進一步觀察了剛體做平面平行運動的軌跡. 探究了大、小角度下復擺的運動方程和周期差別. 有趣的是，通過對受迫阻尼振動的模擬，檢驗了非線性系統相關結論.

VPython不僅將課本知識形象化、可視化，加深了理解，還能快速解決學生學習中產生的疑問，激發學生對問題更深入地探索與思考. 在計算機技術迅猛發展，各種3D建模、數值分析軟件“百花齊放”的今天，培養學生能夠熟練運用功能強大的軟件輔助學習和研究,對深化大學物理課堂教學改革具有一定啟示.