一種牛頓環(huán)干涉實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理新方法

花曉彬，花世群

(江蘇大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

牛頓環(huán)干涉不僅是大學(xué)物理理論課上薄膜干涉章節(jié)的重點(diǎn)講授內(nèi)容，同時(shí)，牛頓環(huán)干涉實(shí)驗(yàn)也是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中重要的基礎(chǔ)性光學(xué)實(shí)驗(yàn)之一，因此，吸引了許多教師和學(xué)生對(duì)該問(wèn)題的研究興趣.目前國(guó)內(nèi)對(duì)牛頓環(huán)干涉的研究?jī)?nèi)容主要集中在如下3個(gè)方面：1)應(yīng)用研究，如將牛頓環(huán)干涉儀用于測(cè)量透明玻璃或液體的折射率[1,2]、玻璃材料彈性模量[3]、微振動(dòng)測(cè)量[4]、單色光波長(zhǎng)測(cè)量[5]、應(yīng)力測(cè)量[6]和基于牛頓環(huán)干涉原理的光軸平行性校準(zhǔn)方法研究等[7,8]；2)測(cè)量方法研究，如曹佳妍、鄧敏和胡解生等人分別提出在牛頓環(huán)干涉實(shí)驗(yàn)中最佳測(cè)量環(huán)數(shù)的選取方法和暗環(huán)直徑的自動(dòng)測(cè)量方法[9-11]；3)數(shù)據(jù)處理方法研究，如趙紀(jì)平和徐紅等人分析了牛頓環(huán)干涉實(shí)驗(yàn)中常用的逐差法、加權(quán)法和一元線性回歸法等方法[12,13]，比較得出不同數(shù)據(jù)處理方法的優(yōu)缺點(diǎn).本文基于牛頓環(huán)干涉實(shí)驗(yàn)中，移動(dòng)顯微鏡所測(cè)得的干涉條紋在水平方向的位置讀數(shù)，再結(jié)合相鄰兩個(gè)干涉條紋所在位置，在豎直方向空氣層厚度差為1/2波長(zhǎng)，巧妙獲取牛頓環(huán)裝置中平凸透鏡球面上測(cè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，進(jìn)而由擬合得到平凸透鏡球面測(cè)點(diǎn)所在的大圓方程，求得平凸透鏡球面的曲率半徑值.

1 測(cè)量原理

圖1所示的牛頓環(huán)干涉裝置，由一個(gè)曲率半徑較大的平凸透鏡和一塊光學(xué)平板玻璃疊合組成, 位于上方的凸球面與下方平板玻璃上表面之間形成的空氣薄層，在單色平行光自上而下垂直入射時(shí)，利用空氣薄層上、下表面對(duì)入射光的依次反射，產(chǎn)生如圖2所示，以平凸透鏡和光學(xué)平板玻璃接觸點(diǎn)為中心的一系列明暗交替排列的同心圓環(huán)，這些內(nèi)疏外密的同心圓環(huán)可近似認(rèn)為分布在平凸透鏡的凸球面上.

圖1 牛頓環(huán)裝置

圖2 牛頓環(huán)干涉圖樣

在圖3中，假設(shè)牛頓環(huán)平凸透鏡的球面球心位于C點(diǎn)，球面的曲率半徑為R.在觀測(cè)到的干涉條紋中，選取級(jí)次分別為m、n的兩個(gè)圓環(huán)，設(shè)m級(jí)圓環(huán)的直徑為A1A2，大小記為Dm，n級(jí)圓環(huán)的直徑為B1B2，大小記為Dn.則平凸透鏡球面的曲率半徑[14]

(1)

其中，λ=589.3 nm，為鈉光源波長(zhǎng).

圖3 平凸透鏡球面大圓平面直角坐標(biāo)系

現(xiàn)在干涉圓環(huán)直徑所在的大圓平面內(nèi)建立圖3所示平面直角坐標(biāo)系，其中，x軸建立在干涉圓環(huán)的直徑方向(即測(cè)量干涉圓環(huán)直徑時(shí)讀數(shù)顯微鏡的水平移動(dòng)方向)，y軸建立在豎直向上方向.則牛頓環(huán)中平凸透鏡球面在xoy平面內(nèi)的大圓可表示為如下方程

(x-a)2+(y-b)2=R2

(2)

其中，a和b分別為大圓圓心(即牛頓環(huán)平凸透鏡球面的球心)在圖3所示平面直角坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).

理論上只需要測(cè)得平凸透鏡球面位于圖3所示平面直角坐標(biāo)系上的任意3點(diǎn)坐標(biāo)，即可利用式(2)求得牛頓環(huán)的曲率半徑R.

若在實(shí)驗(yàn)中沿圓環(huán)的直徑方向移動(dòng)讀數(shù)顯微鏡，依次測(cè)得圖3中兩個(gè)圓環(huán)直徑A1A2和B1B2的四個(gè)端點(diǎn)A1、B1、B2和A2的位置讀數(shù)，并且將結(jié)果分別作為四個(gè)測(cè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別用xm1、xn1、xn2和xm2表示.則干涉圓環(huán)直徑和大圓圓心的橫坐標(biāo)可分別用式(3)和(4)表示為

Dm=xm2-xm1，Dn=xn2-xn1

(3)

(4)

令兩個(gè)圓環(huán)直徑A1A2和B1B2的四個(gè)端點(diǎn)A1、B1、B2和A2的縱坐標(biāo)分別表示為ym1、yn1、yn2和ym2，則在圖3所示平面直角坐標(biāo)系中，有

ym1=ym2=0

(5)

考慮到牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)中入射光的垂直入射條件，相鄰兩個(gè)級(jí)次的暗環(huán)在豎直方向空氣層厚度差為1/2波長(zhǎng)，則

(6)

由上述分析可見(jiàn)，通過(guò)移動(dòng)讀數(shù)顯微鏡，只要依次測(cè)得兩個(gè)不同級(jí)次干涉圓環(huán)直徑的四個(gè)端點(diǎn)橫坐標(biāo)，再由式(5)和(6)確定的端點(diǎn)縱坐標(biāo)，結(jié)合式(4)計(jì)算到的大圓圓心的橫坐標(biāo)，即可通過(guò)擬合出的式(2)求得牛頓環(huán)曲率半徑的大小.

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為驗(yàn)證新方法的可行性，首先從參考文獻(xiàn)[12]中《等厚干涉—牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)》一文中，選取了m=50和n=25兩個(gè)級(jí)次的圓環(huán)測(cè)量數(shù)據(jù)：xm1=23.678 mm、xn1=26.901 mm、xn2=42.870 mm和xm2=46.094 mm；令ym1=ym2=0，另由式(6)計(jì)算得到：yn1=yn2=-0.00736625 mm.

基于七維高科公司提供的1stOpt軟件平臺(tái)，應(yīng)用上面求到的4個(gè)測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，對(duì)式(2)表示的大圓進(jìn)行擬合，擬合所得牛頓環(huán)曲率半徑R為4.20 m，與參考文獻(xiàn)[14]中由逐差法求得的曲率半徑4.22 m結(jié)果吻合，兩者相對(duì)誤差為0.47%.

為進(jìn)一步驗(yàn)證新的數(shù)據(jù)處理方法，按通常的實(shí)驗(yàn)操作步驟對(duì)級(jí)次m=30和n=11兩級(jí)暗環(huán)進(jìn)行了實(shí)際測(cè)量，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1. 將表1測(cè)量數(shù)據(jù)帶入式(3)求出環(huán)直徑，再由式(1)求得牛頓環(huán)曲率半徑R=873.92 mm.

表1 實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)

將表1中數(shù)據(jù)和按式(4)計(jì)算得到a=25.1695 mm值一并輸入1stOpt軟件進(jìn)行大圓方程擬合，擬合方程所用編寫代碼見(jiàn)圖4.

圖4 數(shù)據(jù)擬合軟件代碼界面

擬合結(jié)果的均方差=0.0001038，殘差和=4.3091307×10-8，相關(guān)系數(shù)=0.9999998，曲率半徑R=879.45 mm.擬合結(jié)果與式(1)的計(jì)算結(jié)果一致，兩者相對(duì)誤差0.63%.

3 結(jié)論

新方法的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明，將牛頓環(huán)干涉實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到的等厚干涉圓環(huán)直徑和級(jí)次數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為牛頓環(huán)中平凸透鏡球面的大圓上的測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)擬合大圓方程, 求得牛頓環(huán)平凸透鏡球面的曲率半徑的方法不僅可行，而且結(jié)果可靠的.另外，新的數(shù)據(jù)處理方法不僅通過(guò)實(shí)驗(yàn)中體現(xiàn)的物理原理和思想，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)牛頓環(huán)儀等厚干涉特點(diǎn)的理解，還訓(xùn)練了學(xué)生學(xué)會(huì)用物理語(yǔ)言和基本的數(shù)學(xué)方法處理科學(xué)問(wèn)題.