李導數一種新的講授方式

何孝凱,曹周鍵

(1. 湖南第一師范學院 數學與計算科學學院，湖南 長沙 410205; 2. 北京師范大學 天文系，北京 100875)

李導數(Lie derivative)是微分流形上的一類重要導數算子，它是一種對流形M上的張量場沿著某個給定方向求導的運算.李導數在數學和物理中都有廣泛的應用[1-8].在我們讀到過的教材中，學者們都是先介紹流形上光滑矢量場ξa給出的單參微分同胚群，再介紹流形上的推前映射和拉回映射，然后在此基礎上定義流形上的張量場Ta1…akb1…bl沿矢量場ξa的李導數ξTa1…akb1…bl[5-9].唯一不同的是有的教材使用主動語言，有的使用被動語言.主修物理和天文的學生大都沒有系統學過微分流形，對推前和拉回映射倍感抽象，對由此誘導的變換也會深感復雜、難懂.所以很多初學者覺得李導數的概念比較抽象，不易掌握.本文將給出一種關于李導數新的講授方式，該方式擺脫推前和拉回映射，便于初學者理解.

1 矢量場的適配坐標系

(1)

(2)

2 李導數的定義

本節我們將用一種新的方式定義流形上張量場沿某給定矢量場的李導數.這里我們只討論矢量場的李導數,往其他任意張量場的推廣是直接的.設ξa是n維流形M上的一個給定光滑矢量場.對M上的任意光滑矢量場ua，我們定義ua沿ξa的李導數如下

(3)

其中{xμ}(μ=1，2,…,n)是矢量場ξa的適配坐標系，uμ是矢量場ua在適配坐標系{xμ}(μ=1，2,…,n) 坐標基底下的分量.

從而

其中第二個等號我們用到了式(2).另一方面，還有性質：

所以有

這就證明了流形上矢量場ua沿給定矢量場ξa的李導數(3)與所使用的適配坐標系無關,所以這個定義是良好的.

3 李導數在任意坐標系下的表達式

上一節我們給出了n維流形上的矢量場ua沿給定矢量場ξa的李導數.根據定義我們可以直接寫出在ξa的適配坐標系下李導數的表達式.本節我們將進一步討論該李導數在任意坐標系下的表達式,進而我們會看到定義式(3)與通常教材中給出的矢量場李導數定義是一致的.

設ξa和ua是n流形M上的兩個光滑矢量場， {xμ}(μ=1，2,…,n)是矢量場ξa的適配坐標系，{x′μ}(μ=1，2,…,n)是流形M上的任意一個坐標系(不一定是ξa的適配坐標系).在這兩組 坐標系下，ξa和ua可被表示成：

接下來將證明Lξua在坐標系{x′μ}下的表達式為

(4)

為了證明式(4)，首先注意到

(5)

其中第二個等號用到了式(1).于是從式(3)出發，有

(6)

直接計算給出

其中第二個等號用到了式(5).此外

其中倒數第二個等號用到了式(5).從而式(6)可化為

這樣就得到了n維流形上的矢量場ua沿給定 矢量場ξa的李導數在任意坐標系下的表達式.當{x′μ}也是矢量場ξa的適配坐標系時，有

從而式(4)化簡為

與上一節的定義式一致.

作為本節的結束，討論定義式(3)與通常教材中定義的李導數的一致性.在通常的教材中，矢量場ua沿給定矢量場ξa的李導數等于矢量場ua和ξa的對易子[5-9]，即

Lξua=[ξ,u]a

(6)

注意到在n維流形M上某坐標{x′μ}系下對易子的表達式為

此等式的右端與式(4)右端一致，可見我們 按定義式(3)引入的矢量場ua沿給定矢量場ξa的李導數滿足式(7)，與通常教材中的結果一致.

4 結語

本文中引入了一種新的方式來定義流形上的張量場沿給定矢量場的李導數.首先引入矢量場ξa的適配坐標系概念.實際上適配坐標系的概念并不多余，因為在廣義相對論課程中講授Killing矢量場的時候也會引入適配坐標系的概念,相當于只是把這個概念的講解提前一點.基于適配坐標系，就可以給出流形上光滑矢量場ua沿ξa的李導數直觀定義.同時也很容易可以講清楚我們的定義與具體適配坐標系的選擇無關.在此基礎上，進一步給出了矢量場的李導數在任意坐標系下的表達式，與通常教科書講解的李導數輕松銜接.不同于通常教材從推前映射和拉回映射出發，用映射這一主動觀點或者用由映射誘導的無窮小變換這一被動觀點來定義李導數[5-10]，我們采用的定義方式更便于初學者理解和掌握.本文中重點討論了矢量場ua沿ξa的李導數定義，這一做法可自然推廣至流形上的任意張量場沿ξa的李導數，在此不再贅述.