用半偏法測電表內(nèi)阻的實驗研究

梁宏燕

(中科院上海實驗學(xué)校 上海 201800)

馮 杰

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

半偏法測電阻實質(zhì)上屬于“電表的改裝”知識，主要考查對歐姆定律、串并聯(lián)電路規(guī)律的綜合靈活應(yīng)用情況，通過增加試題的開放性，可以考查學(xué)生的創(chuàng)新意識，因此，該實驗是高考的熱點.在2017版《高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出注重學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，《考試大綱》中提出了“一核四層四翼”命題要求的背景下，2019年高考全國卷Ⅰ第23題重溫了電表改裝這一經(jīng)典實驗，提醒教師注重教材中的學(xué)生實驗.本文以半偏法測電阻實驗為例，介紹了半偏法以及改進方案的實驗原理，從定性和定量兩個方面對實驗誤差進行了分析，并用實驗結(jié)果證明了理論誤差的推導(dǎo)是正確的.最后，通過對2015和2019年實驗題的分析，展示了在高考中正在落實物理核心素養(yǎng)，在科學(xué)探究中要求學(xué)生具備一定的注重實驗過程的能力、分析綜合能力以及反思的能力.

根據(jù)控制電路滑動變阻器的連接方式不同，半偏法可分為限流式半偏法和分壓式半偏法.

1 限流式半偏法

1.1 實驗原理

圖1 限流式半偏法原理圖

1.1.1 誤差的定性分析

1.1.2 誤差的定量分析

要準(zhǔn)確表征測量值與真實值之間的偏差，需對誤差進行計算.

閉合開關(guān)S1，斷開開關(guān)S2，電流表指針偏轉(zhuǎn)到滿刻度時，其示數(shù)記為I1，有

(1)

開關(guān)S1和S2都閉合時，電流表指針偏轉(zhuǎn)到滿刻度的一半，示數(shù)記為I′1，有

(2)

聯(lián)立式(1)、(2)得，電表內(nèi)阻rg為

(3)

(4)

則實際值大于測量值.因此，當(dāng)干路中的滑動變阻器阻值非常大時，得出下式

rg=R′

(5)

1.2 誤差的主要來源

誤差一般包括隨機誤差和系統(tǒng)誤差，前者可通過多次測量減小，系統(tǒng)誤差的來源主要有方案設(shè)計、儀器精度、測量環(huán)境和測量人員.本文只定量分析方案設(shè)計和儀器精度所產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差(分別簡稱為方案誤差和儀器誤差)，通過計算其相對誤差來確定實驗誤差的主要來源.

1.2.1 方案誤差

誤差公式

將式(4)代入δ1的表達式，得

(6)

由于RP遠大于rg，則方案誤差非常小.

1.2.2 儀器誤差

在式(3)中，考慮到實驗所滿足的條件：RP?R′(r可以略去不計)，可將式(3)近似為

(7)

根據(jù)誤差公式(絕對值和法)可得

(8)

儀器的精度由其準(zhǔn)確度等級表示，儀表的準(zhǔn)確度等級用基本誤差百分數(shù)的數(shù)值來表示，數(shù)值越小，精度越高.設(shè)電流表的準(zhǔn)確度等級為k級，則ΔI=I·k%；若電阻箱的準(zhǔn)確等級為a級，則ΔR=R·a%+b,b為常數(shù)，單位是歐姆.I1=2I′1代入式(8)得

(9)

若k=0.5，a=0.1，b=0.01 Ω，則δ2=3%+0.1%，儀器誤差約占3%.由此可見，儀器的精確度是造成限流式半偏法誤差的主要原因，方案誤差占比很小.

1.3 實驗測量結(jié)果

實驗中，電流表選擇量程為20 mA的數(shù)字毫安表，準(zhǔn)確等級0.1，干路中的滑動變阻器用電阻箱代替，其準(zhǔn)確等級為0.1.電流表內(nèi)阻的真實值由式(3)計算得出，電路連接如圖1所示，測試結(jié)果詳見表1.

表1 半偏法測電流表內(nèi)阻數(shù)據(jù)記錄表

實驗表明，滑動變阻器接入電路中的阻值越大，其誤差越小，當(dāng)滑動變阻器阻值超過電流表內(nèi)阻的50倍時，其相對誤差約為2%.可見，該方案從理論上推導(dǎo)的實驗誤差是正確的.

1.4 限流式半偏法的改進方案

若要消除方案誤差，可在干路中串聯(lián)一只電流表A0，保持干路電流不變，如圖2所示.先接通S1，調(diào)節(jié)滑動變阻器RP，使兩電流表都滿偏，示數(shù)記為Ig；再合上S2后，可調(diào)節(jié)R′和RP，使電流表A0滿偏，電流表A半偏.由rgI′1=R′(Ig-I′1),可得

rg=R′

(10)

雖然這一方案理論上不存在方案誤差，但儀器增加了，誤差是否一定減小呢.為了驗證這一猜想，用數(shù)字毫安表代替指針毫安表，電阻箱代替滑動變阻器.電路連接如圖2，電流表內(nèi)阻的真實值表達式

圖2 限流式半偏法的改進方案

實驗測量結(jié)果如表2所示.從表中數(shù)據(jù)可知相對誤差不足1%,此改進方案可以減少誤差.

表2 半偏法測電流表內(nèi)阻改進方案的數(shù)據(jù)記錄表

1.5 實驗方案改進前后數(shù)據(jù)處理

利用Origin軟件對表1與表2中的數(shù)據(jù)進行處理，繪制散點圖，然后進行非線性擬合，如圖3所示.結(jié)果顯示，實驗測量值與理論值吻合.

圖3 對電流表內(nèi)阻的測量值擬合

由圖3可知，當(dāng)滿足滑動變阻器阻值遠大于電流表內(nèi)阻時，原方案(電路圖1)相對誤差已經(jīng)非常小，與改進方案相比，它們的相對誤差非常接近，且原方案(電路圖1)所用器材少，操作方便.因此，目前多數(shù)學(xué)校仍采用電路圖1方案測電流表的內(nèi)阻.

2 分壓式半偏法

2.1 實驗原理

圖4 分壓式半偏法

2.1.1 誤差的定性分析

2.1.2 誤差的定量分析

要準(zhǔn)確表征測量值與真實值之間的數(shù)值關(guān)系，需要進行計算.現(xiàn)設(shè)定滑片左邊的電阻記為RP1,右邊的電阻記為RP2，滑動變阻器的總阻值記為RP，有

RP=RP1+RP2

電源內(nèi)阻忽略不計.閉合S1和S2時，電壓表示數(shù)記為U0.有

(11)

只斷開S2，滑動變阻器保持不變，調(diào)節(jié)電阻箱，使電壓表示數(shù)記為U′.則

(12)

由式(11)、(12)得

(13)

由于

代入式(13)，得

(14)

電壓表內(nèi)阻的測量值R2大于真實值RV.要減小誤差，滑動變阻器的阻值越小越好.

2.2 誤差的主要來源

2.2.1 方案誤差

誤差公式

把式(14)代入得

另

RP1=nRP

RP2=(1-n)RP

式中0

(15)

由于電壓表的內(nèi)阻RV遠大于滑動變阻器的阻值R，一般為RV=100R.這樣，δ′1最大值為0.25%，由此可見，分壓式半偏法的方案誤差很小.

2.2.2 儀器誤差

從式(14)可知，根據(jù)相對誤差公式(絕對值和法)，可得

(16)

經(jīng)計算，δ′2的值約為0.2%，由此可見，分壓式半偏法的誤差主要取決于滑動變阻器和電阻箱的精度.

2.3 實驗測量結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)處理

實驗中，干路中的滑動變阻器用電阻箱代替，其準(zhǔn)確等級為0.1.電壓表內(nèi)阻的真實值由式(14)計算得出，電路連接如圖4所示，測得的數(shù)據(jù)如表3所示.

表3 半偏法測電壓表內(nèi)阻數(shù)據(jù)記錄表(E=4 V)

續(xù)表3

實驗表明，隨著滑動變阻器阻值的增大，誤差也隨之增大，與理論推理一致.因此，用半偏法測電壓表內(nèi)阻時，滑動變阻器阻值越小越好.

對半偏法測電壓表內(nèi)阻實驗，測量數(shù)據(jù)時，不僅測量了電源電動勢為4 V時的情況，還測量了8 V和12 V的實驗數(shù)據(jù)，利用Origin軟件對這3種不同電源電壓的數(shù)據(jù)進行處理，如圖5所示.

圖5 3種電壓下測電壓表內(nèi)阻測量值擬合

實驗結(jié)果顯示，測量值與理論值相符.

2.4 分壓式半偏法的改進方案

要消除方案誤差，需在電壓表和變阻箱所在的支路兩端加控制電壓表V1，如圖6所示，閉合開關(guān)S1和S2，調(diào)節(jié)滑動變阻器使兩電壓表都滿偏，再斷開S2,調(diào)節(jié)變阻箱，可以電壓表V1滿偏，電壓表V半偏，則電壓表內(nèi)阻等于電阻箱的示數(shù)，即RV=R′.在實驗過程中，為了方便記錄數(shù)據(jù)，滑動變阻器用電阻箱代替.實驗數(shù)據(jù)如表4所示.

圖6 分壓式半偏法改進方案

表4 半偏法測電壓表內(nèi)阻改進方案的數(shù)據(jù)記錄表(E=4 V)

3 考題應(yīng)用

【例1】(2015年高考全國卷Ⅱ)電壓表滿偏時通過該表的電流是半偏時通過該表電流的2倍.某同學(xué)利用這一事實測量電壓表的內(nèi)阻(半偏法)，實驗室提供的器材如下：待測電壓表V(量程3 V，內(nèi)阻約3 000 Ω)，電阻箱(最大阻值99 999.9 Ω)，滑動變阻器(最大阻值100 Ω，額定電流2 A)，電源E(電動勢6 V，內(nèi)阻不計)，開關(guān)兩個，導(dǎo)線若干.

(1)虛線框內(nèi)為該同學(xué)設(shè)計的測量電壓表內(nèi)阻的電路圖(圖7)的一部分，將電路圖補充完整.

圖7 例1題圖

(2)根據(jù)設(shè)計的電路，寫出實驗步驟：________________.

(3)將這種方法測出的電壓表內(nèi)阻記為R′V，與電壓表內(nèi)阻的真實值RV相比，R′V____________RV(選填“>”“=”或“<”)，主要理由是_________________.

解析：(1)因滑動變阻器阻值與電壓表的內(nèi)阻相比較，其阻值較小，所以選擇分壓式接法.實驗電路連接如圖8所示.

圖8 測電壓表內(nèi)阻電路圖

(2)移動滑動變阻器滑片，使通電后電壓表的示數(shù)最小；閉合開關(guān)S1和S2，調(diào)節(jié)R1，使電壓表的指針滿偏；保持滑片位置不動，斷開S2，調(diào)節(jié)電阻箱，使電壓表的指針半偏；讀取電阻箱的電阻值，即為電壓表的內(nèi)阻.

點評：本考題是對分壓式半偏法測電壓表內(nèi)阻的實驗原理、操作步驟、誤差分析的考查，其實也是對歐姆定律和串、并聯(lián)電路的綜合應(yīng)用.第(1)問考查了滑動變器的連接方式，即分壓式和限流式，考生需理解選擇分壓式連接的條件才能做出正確選擇.第(2)問考查的是實驗操作步驟，包括電路的保護和半偏法原理的理解，問題設(shè)置基于系統(tǒng)化知識，以開放性的形式呈現(xiàn)，能否答好此題，與學(xué)生的邏輯思維習(xí)慣有密切的聯(lián)系.第(3)問是對半偏法誤差分析的考查，體現(xiàn)了串、并聯(lián)基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用能力.該題考查了學(xué)生對知識互相聯(lián)系的掌握情況， 體現(xiàn)了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和素養(yǎng)的綜合表現(xiàn).

【例2】(2019年高考全國卷Ⅰ)某同學(xué)要將一量程為250 μA的微安表改裝為量程為20 mA的電流表.該同學(xué)測得微安表內(nèi)阻為1 200 Ω，經(jīng)計算后將一阻值為R的電阻與該微安表連接，進行改裝.然后利用一標(biāo)準(zhǔn)毫安表，根據(jù)圖9(a)所示電路對改裝后的電表進行檢測(虛線框內(nèi)是改裝后的電表).

(1)根據(jù)圖9(a)和題給條件，將圖9(b)中的實物連接.

(2)當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)毫安表的示數(shù)為16.0 mA時，微安表的指針位置如圖9(c)所示，由此可以推測出改裝的電表量程不是預(yù)期值，而是.(填正確答案標(biāo)號)

圖9 例2題圖

A．18 mA B．21 mA

C．25 mA D．28 mA

(3)產(chǎn)生上述問題的原因可能是( )(填正確答案標(biāo)號)

A．微安表內(nèi)阻測量錯誤，實際內(nèi)阻大于1 200 Ω

B．微安表內(nèi)阻測量錯誤，實際內(nèi)阻小于1 200 Ω

C．R值計算錯誤，接入的電阻偏小

D．R值計算錯誤，接入的電阻偏大

(4)要達到預(yù)期目的，無論怎樣測得的內(nèi)阻值都是正確，都不必重新測量，只需要將阻值為R的電阻換為一個阻值為kR的電阻即可，其中k=.

解析：(1)電表改裝成電流表時，微安表應(yīng)與定值電阻R并聯(lián)，則實物電路連接如圖10所示.

圖10 微安表改裝成電流表實物連接圖

(2)由標(biāo)準(zhǔn)毫安表讀數(shù)可知，改裝后的電流表，實際量程被擴大的倍數(shù)為100倍.故當(dāng)原微安表表盤達到滿偏時，實際量程為25 mA，故選項C正確.

(3)根據(jù)IgRg=(I-Ig)R，得

改裝后量程偏大的原因可能是，原微安表內(nèi)阻真實值Rg大于1 200 Ω；或定值電阻R的計算有誤，計算值偏大，實際接入的定值電阻R阻值偏小.故選項A，C正確.

點評：本題是對電表改裝基礎(chǔ)知識和基本技能的考查.第(1)問是小量程的電流表改裝成大量程的電流表，需并聯(lián)一定值電阻，本題是從設(shè)計電路的角度進行考查.第(2)問考查學(xué)生在實驗學(xué)習(xí)中的基本能力，即觀察能力.第(3)問考查學(xué)生對該實驗的誤差分析，即反思實驗結(jié)果，從而提出改進措施的能力.第(4)問在前3問的基礎(chǔ)上進行了升華，從該題可以看出，不再拘泥于具體的半偏法測電表內(nèi)阻，是該方法的推廣，指針可以偏轉(zhuǎn)任意角度，考查學(xué)生知識的遷移和運用能力.該題注重選材的普遍性，但突出知識體系的完整和聯(lián)系，體現(xiàn)了核心素養(yǎng)背景下由關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)習(xí)過程的要求，引導(dǎo)學(xué)生培育支撐終生發(fā)展、適應(yīng)時代要求的能力和綜合素質(zhì).

4 結(jié)束語

從2019年的實驗考題來看，全國卷Ⅰ的命題不再遷就中學(xué)教學(xué)“重知識輕能力，以講實驗代替做實驗”的現(xiàn)狀，而是堅持以能力和素養(yǎng)考查為主導(dǎo).這一試題的特征是重新回歸到教材重點學(xué)習(xí)的學(xué)生實驗，在試題中重視實驗設(shè)計原理的誤差(方案誤差)的考查，不注重考慮儀器帶來的誤差，這是鼓勵學(xué)校要開展實驗，如果能有效利用身邊易于獲取的資源又能達到實驗?zāi)康母茫瑫r提倡充分利用資源，如同一器材能演示多個現(xiàn)象.

綜上所述，對實驗的設(shè)計實驗原理、操作步驟、數(shù)據(jù)處理、誤差分析的處理，以及反思實驗結(jié)果，提出改進措施也是物理教學(xué)中落實核心素養(yǎng)的有效教學(xué).