關于小角度極限下盧瑟福散射公式有效性的討論*

黃開智

(華中師范大學物理科學與技術學院 湖北 武漢 430079；江蘇省姜堰第二中學 江蘇 泰州 225500)

喬翠蘭

(華中師范大學物理科學與技術學院 湖北 武漢 430079)

申 晨

(華中師范大學人工智能教育學部 湖北 武漢 430079)

許多教材在推導盧瑟福散射公式時(包括庫侖散射公式)都做了一些假設，如只發生單次散射、核外電子的屏蔽作用可以忽略以及靶核靜止等，從而在理論上得到了盧瑟福散射公式.但在實際操作中，卻又發現不少實驗結果與理論預測不相符，如本文所討論的小角度散射,此時，盧瑟福公式會失效.對于這一問題，相關文獻是如此表述的：“當瞄準距離b達到原子大小時，由于原子呈電中性，庫侖散射就根本不會發生.因此，在小角時，不考慮核外電子屏蔽效應的盧瑟福公式不再正確.”[1，2]

本文通過理論推算和相關實驗數據，發現在小角度散射時，盧瑟福公式失效的主要因素不是屏蔽效應，而主要是單次散射的假設不成立.

1 理論推算

1.1 盧瑟福散射公式

盧瑟福散射公式為

(1)

上式dN表示進入dΩ立體角接收器的α粒子數，N表示入射α粒子總數，n表示靶內原子數密度，t表示靶的厚度，E表示入射粒子的能量，Z1和Z2分別示α粒子和靶核的核電荷數，θ為散射角，e為電子電荷量.

圖1 盧瑟福散射公式函數圖像

1.2 θ0的確定

在忽略核外電子對核庫侖場的屏蔽效應時，兩個核的散射過程就是一個純粹的庫侖散射過程，由此得到庫侖散射公式

(2)

上式中b表示碰撞參數(即瞄準距離)

對于一個靶核而言，其微分散射截面為

dσ=2πb|db|

(3)

截面為A的α粒子束轟擊靶核時，散射核有Ant個.設靶核互不遮蔽，假定每個α粒子只經過單次散射，實際上也就是要求每個原子的散射截面沒有重疊.為了能更好地說明，本文采用了如圖2所示的靶核模型.共有Ant個靶原子均勻密排于平面內，達到了每個靶原子互不重疊的要求.

圖2 未重疊的單層靶核模型

(4)

(5)

而最大的b0對應最小的θ0，將式(5)代入式(2)，有

(6)

(7)

當能量為7.68 MeV的α粒子轟擊0.1 μm的金箔時，a=2.96×10-14m，且在常溫時金原子的數密度為n=5.91×1028個/m3，代入數據可求得b0=0.065×10-10m以及θ0=4.55×10-3rad，可見θ0的大小還與入射粒子的能量大小有關.

1.3 考慮屏蔽效應時的散射角

以上所用的金箔厚度比原子線度還大了3個數量級(實際上0.1 μm的金箔已經十分薄了)，下面來估計在該尺度上屏蔽效應對散射角下限的影響.屏蔽庫侖勢為

(8)

由此得到玻恩近似微分截面[3]

(9)

(10)

又通過式(3)的簡單運算，發現

(11)

(12)

上式表示的是在考慮屏蔽效應后，理論上粒子散射的總截面.由于在實際的散射過程中，重合的靶核散射截面S必定小于式(12)所求得的總截面σB，說明散射式(9)仍會有一個下限散射角θmin，于是只要求出θmin，然后與θ0作對比，便可得出結論.

將式(9)對θ在θmin～π進行積分，得到

(13)

(14)

(15)

將式(15)代入式(14)有

(16)

(17)

運用式(7)關系

將其平方后代入上式，得到

(18)

2 實驗數據的驗證

首先，對式(1)變形為

(19)

如果考慮屏蔽效應，則有

(20)

(21)

其中散射角相應的瞄準距離

從表1的實驗數據來看，在考慮了屏蔽效應后，理論計算結果與不考慮屏蔽效應的計算結果相差不大，但卻與實驗結果相差較大，故這從側面證實了小角散射時，盧瑟福公式失效的主要原因應該不是未考慮核外電子的屏蔽效應，而主要是入射粒子的單次散射假設不成立，也就是說，小角度時，入射粒子歷經了重疊散射的過程.

表1 粒子散射實驗的實驗與理論計算結果對比

3 結論

在本文的理論推算部分，求得了屏蔽半徑p與最大碰撞參數b0之間的關系為

p=0.12×10-10m>0.065×10-10m

(同時K比θmin和θ0小了兩個數量級).p與b0對比如圖3所示.

圖3 屏蔽半徑與碰撞參數的對比

通過圖3，不難得出在小角散射時，盧瑟福散射公式的有效性主要是取決于單次散射假設的成立，而不是核外電子的屏蔽效應假設的成立.換句話說，在小角散射時盧瑟福公式的失效主要是由于單次散射的假定不成立，而非不考慮屏蔽效應.在本文的數據引用部分，也從側面反映了這一點.另外，還有研究者認為，入射粒子在散射箔所展開的有效面積也是一個影響小角散射盧瑟福公式失效的因素[5]，這里就不再闡述了.以上這些結論對學生加深對盧瑟福散射公式的理解很有幫助.