邁克爾孫干涉儀測(cè)量He-Ne激光波長(zhǎng)的不確定度計(jì)算*

韓玉龍 吳 佩 朱小寶 孫金芳

(安徽信息工程學(xué)院通識(shí)教育與外國(guó)語(yǔ)學(xué)院 安徽 蕪湖 241003)

邁克爾孫干涉儀是現(xiàn)代光學(xué)儀器的重要組成部分,可以用來(lái)精密測(cè)量光波長(zhǎng)、折射率和微小長(zhǎng)度等[1,2],能夠直觀地反映光波的干涉現(xiàn)象,在當(dāng)今的引力波探測(cè)中,其原理獲得了相當(dāng)廣泛的應(yīng)用.文獻(xiàn)[3,4]提出“誤差概念的多義性容易在學(xué)生和初級(jí)技術(shù)人員中引起混淆”以及“不確定度的引入是想避免這種混淆,用不確定度來(lái)涵蓋標(biāo)準(zhǔn)差(或其倍數(shù))或置信區(qū)間的半寬度”.考慮到物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)和理論教學(xué)有著不同的要求和規(guī)律,物理實(shí)驗(yàn)有關(guān)誤差分析和數(shù)據(jù)處理的教學(xué)環(huán)節(jié),很難實(shí)現(xiàn)所有的原理、方法、公式都如同理論具有的嚴(yán)密性、自洽性.因此在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，特別對(duì)于非物理專業(yè)的誤差理論和數(shù)據(jù)處理,應(yīng)根據(jù)基礎(chǔ)課程的特點(diǎn),可采用簡(jiǎn)化處理體系.邁克爾孫干涉儀測(cè)光波長(zhǎng)屬于間接測(cè)量的方法測(cè)量光源波長(zhǎng),需要計(jì)算間接測(cè)量的合成不確定度,如此來(lái)說(shuō)，計(jì)算過(guò)程繁瑣,針對(duì)初學(xué)者有一定的難度.

本文簡(jiǎn)化計(jì)算了數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)情況下的不確定度,便于學(xué)生理解和掌握.

1 基本原理

光的干涉是重要的光學(xué)現(xiàn)象之一,是光的波動(dòng)性的重要實(shí)驗(yàn)依據(jù).兩列頻率相同、振動(dòng)方向相同和位相差恒定的相干光在空間相交區(qū)域?qū)?huì)發(fā)生相互加強(qiáng)或減弱現(xiàn)象,即光的干涉現(xiàn)象.邁克爾孫干涉儀的原理是用分振幅法獲得兩束相干光實(shí)現(xiàn)干涉.He-Ne激光器可產(chǎn)生一個(gè)線度非常小、強(qiáng)度足夠大的單色光,經(jīng)過(guò)擴(kuò)束鏡可形成發(fā)散的激光束,光源經(jīng)過(guò)分束板G1后分成一束反射光和一束透射光.其中反射光被移動(dòng)鏡M2反射,透射光經(jīng)過(guò)補(bǔ)償板G2后被固定鏡M1反射,圖1中M′1為固定鏡M1的虛像,相當(dāng)于是由兩個(gè)虛光源S1和S2發(fā)出的相干光,虛光源S1和S2的間距為M′1和移動(dòng)鏡M2的間距d的2倍,即為2d.如圖1所示,虛光源S1和S2發(fā)出的球面波在空間相遇的位置處處相干,所以在空間中,光場(chǎng)疊加的區(qū)域中放置觀察屏均可以觀察到干涉現(xiàn)象,這種現(xiàn)象即為非定域干涉.

圖1 非定域干涉原理圖

當(dāng)固定鏡M′1與移動(dòng)鏡M2兩表面平行時(shí),也就是固定鏡M1和移動(dòng)鏡M2互相垂直時(shí),可以在毛玻璃屏上觀察到明暗相間的圓形條紋,即為等傾干涉現(xiàn)象,如圖2所示.

圖2 He-Ne激光光源的等傾干涉條紋

移動(dòng)鏡M2的移動(dòng)會(huì)導(dǎo)致視場(chǎng)中心的干涉環(huán)紋出現(xiàn)吞/吐的變化,當(dāng)涌出一個(gè)環(huán)紋或者吞進(jìn)一個(gè)環(huán)紋的時(shí)候移動(dòng)鏡M2的移動(dòng)距離為光源波長(zhǎng)的一半,移動(dòng)鏡M2的移動(dòng)距離為Δd,吞/吐環(huán)紋的次數(shù)為N,光源波長(zhǎng)為λ,其滿足的關(guān)系式為

(1)

式中Δd=lm-ln,lm和ln分別為移動(dòng)鏡的始末位置.實(shí)驗(yàn)中通過(guò)測(cè)量移動(dòng)鏡的始末位置和環(huán)紋吞/吐變化的次數(shù)N計(jì)算He-Ne激光波長(zhǎng),波長(zhǎng)值為間接測(cè)量的物理量.

根據(jù)國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范規(guī)定[5],實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差可以表征一個(gè)多次測(cè)量物理量的結(jié)果分散性,譬如n次測(cè)量xk的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差可按貝塞爾公式計(jì)算

(2)

(3)

(4)

式中a表示被測(cè)量可能值區(qū)間的半寬度,k稱為置信因子.實(shí)驗(yàn)中,被測(cè)量λ是由移動(dòng)鏡始末位置(lm,ln)和環(huán)紋吞/吐變化的次數(shù)N通過(guò)函數(shù)式(1)確定,其估計(jì)值λ的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的傳播規(guī)律uc(λ)按式(5)計(jì)算

(5)

波長(zhǎng)λ的不確定度與移動(dòng)鏡始末位置(lm,ln)和吞/吐環(huán)紋的次數(shù)N有關(guān).為了便于學(xué)生理解,也為了簡(jiǎn)化計(jì)算,忽略m,n,的不確定度,只考慮lm,ln和N的不確定度.考慮各個(gè)變量之間的獨(dú)立與否,以及移動(dòng)鏡始末位置lm和ln相互關(guān)聯(lián)的情況下計(jì)算波長(zhǎng)λ的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度,并進(jìn)行分析.

2 測(cè)量數(shù)據(jù)相互關(guān)聯(lián)的不確定度計(jì)算

移動(dòng)鏡的位置lm和ln相互關(guān)聯(lián),即認(rèn)為Δd=lm-ln為直接測(cè)量量,由式(1)和合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的傳播規(guī)律可知

(6)

根據(jù)波長(zhǎng)計(jì)算公式,分別對(duì)Δd和N求偏導(dǎo)數(shù),可得

式(6)第一項(xiàng)為移動(dòng)鏡始末位置lm和ln的測(cè)量偏差引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度,其中u(Δd)為間接測(cè)得量Δd的合成不確定度,取決于移動(dòng)鏡的始末位置lm和ln,可表示為式(7)

(7)

由A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算公式可知

(8)

由于儀器測(cè)量過(guò)程中存在回程誤差,所以移動(dòng)鏡各個(gè)位置只測(cè)量1次,因此uA(li)=0,故有

其中i表示m或者n,代入式(7),整理后可得

(9)

(10)

將式(9)和式(10)代入式(6)整理可得計(jì)算波長(zhǎng)的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度,式中單位均為mm.

(11)

測(cè)量移動(dòng)鏡的始末位置,根據(jù)理論公式,N的取值越大,相對(duì)誤差應(yīng)該越小,實(shí)際實(shí)驗(yàn)中讀取環(huán)紋的變化次數(shù)全靠人的眼睛,次數(shù)越多會(huì)導(dǎo)致過(guò)大的疲勞誤差,一旦數(shù)錯(cuò)條紋數(shù)據(jù),反而會(huì)引起更大的誤差.文獻(xiàn)[6]研究了“吞”或“吐”條紋數(shù)量對(duì)測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確度的影響,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明當(dāng)N=40時(shí),獲得的結(jié)果較為準(zhǔn)確.原始數(shù)據(jù)記錄處理如表1所示.

表1 邁克爾孫干涉儀實(shí)驗(yàn)原始數(shù)據(jù)記錄和處理

續(xù)表1

根據(jù)表1的數(shù)據(jù),其中Δd取最大值0.013 42 mm,代入式(11)進(jìn)行計(jì)算.He-Ne激光波長(zhǎng)的不確定度計(jì)算結(jié)果為uc(λ)≈5.3 nm.根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知式(11)中第二項(xiàng)的貢獻(xiàn)要大于第一項(xiàng)的貢獻(xiàn),主要原因是學(xué)生根據(jù)視覺(jué)和記憶進(jìn)行判斷中心干涉環(huán)紋始末狀態(tài)大小,因此實(shí)驗(yàn)中隨機(jī)誤差的影響要大于系統(tǒng)誤差.

3 結(jié)論

選干涉條紋“吞”或“吐”數(shù)量為40次測(cè)得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),實(shí)驗(yàn)中求得實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值為635.0 nm,He-Ne激光波長(zhǎng)公認(rèn)值為632.8 nm,其相對(duì)誤差為0.34%.考慮數(shù)據(jù)相互關(guān)聯(lián)的情況下,給出了一種簡(jiǎn)化的不確定度計(jì)算方法,波長(zhǎng)的計(jì)算結(jié)果可表示為(635.0±5.3)nm,便于學(xué)生理解和掌握.實(shí)際實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生誤差的原因很多,譬如殘留螺紋空程誤差、光路調(diào)節(jié)誤差等,可通過(guò)校準(zhǔn)后沿原方向轉(zhuǎn)微調(diào)手輪來(lái)消除空程誤差,以及對(duì)條紋中心偏移產(chǎn)生的誤差進(jìn)行修正等，盡可能地將系統(tǒng)誤差降低到相對(duì)于隨機(jī)誤差可忽略的程度.在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,可根據(jù)教學(xué)需要引入一些未被考慮的測(cè)量誤差分量的分析,提倡多角度、多方法探索影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的因素，突出物理實(shí)驗(yàn)方法的學(xué)習(xí).