構建模型變換研究N階環形網絡的等效電阻

黃依欣 譚志中

(南通大學物理系 江蘇 南通 226019)

社會的發展和科學的進步推動了電路網絡的研究與發展[1]. 電阻網絡模型的研究能夠促進學生思維創新能力的發展, 因為電路結構是一種拓撲結構, 可以任意改變電路的結構形狀, 從而能夠激發學生的發散思維, 尤其是簡單的電路網絡可以通過實驗驗證與仿真. 在不少中學物理競賽題中也會出現一些電阻網絡的問題. 最近10年, 電阻網絡研究獲得了比較豐富的研究成果[1～17], 例如, 2001-2003年關于N階梯形網絡研究取得了新的突破[2～5], 2011年文獻[1]建立了研究電路網絡模型的創新理論, 使得許多復雜的電阻網絡問題得到解決[6～13]. 最近, 文獻[14～17]利用文獻[1]建立的新方法解決了4類復雜的N階電阻網絡難題, 為相關的科學研究建立了新的理論基礎.

電阻網絡的等效電阻研究雖然獲得了比較豐富的研究成果, 但綜觀以上文獻的研究發現關于N階環形電阻網絡的等效電阻問題尚缺乏深入研究, 盡管多邊形電阻網絡模型也是一類周期的網絡模型[8～9], 但是多邊形電阻網絡模型含有一個特殊的匯聚點,因此N階環形電阻網絡的等效電阻問題是一類有待研究的問題. 如文獻[2～7,10～17]關于電路網絡的研究都不是周期網絡.

為了研究圖1所示的環形電阻網絡的等效電阻, 本文創造了一種新的方法, 該方法不同于文獻[1～17]中的任何一種方法. 本文采用模型壓縮的策略獲得了新的靈感, 創造了新的研究技術, 巧妙地將N階環形電阻網絡壓縮成為n階平面矩形電阻網絡. 這種模型變換與轉化的思想對相關學科的科學研究具有方法論意義, 對培養學生的創新思維能力具有積極意義.

1 網絡模型的結構變換

考慮圖1所示的環形網絡, 其電阻參數電路如圖2所示. 環形網絡屬于三維空間網絡, 本文擬采用巧妙的方法研究A1與B1兩點間的等效電阻. 研究發現環形網絡可以等效地壓縮成為矩形電阻網絡. 這是一個重要的發現, 是一次思想與方法上的創新.

圖1 任意N階環形電阻網絡模型

圖2 含有電阻參數的環形網絡部分電路圖

研究發現, 邊界上含有N個節點的環形網絡可以壓縮成為矩形電阻網絡. 分別考慮節點為奇數和偶數的情形, 最終結果是：對于N=2n條邊和N=2n+1條邊的環形網絡都可以轉化成為1×n階矩形網絡.

(1)當環形邊界上的節點數為偶數的情形

對于節點數為N=2n的環形網絡, 其俯視圖如圖3所示的結構. 如果在A1，B1節點間接入恒定電壓, 根據對稱性, 則電位必然有

圖3 2n環形網絡的拉壓俯視圖

U(Ak+2)=U(A2n-k)

U(Bk+2)=U(B2n-k)

其中k=0,1,2,…,2n．

因此, 圖3可以進一步等效成為圖4結構的電阻網絡. 設環形網絡上下邊上的單元電阻分別為r1和r2, 連接上下邊的軸線上的電阻為r0, 則在圖4中有

圖4 邊數為2n環形網絡壓縮后的電阻參數圖

根據圖4結構可以計算出節點間的等效電阻.

(2)首先考慮環形網絡的節點數為奇數的情形, 即節點數為N=2n+1的情形

將環形網絡拉壓成圖5所示的結構.如果在A1，B1節點間接入恒定電壓, 則電位必然有

圖5 2n+1階環形網絡的拉壓情形

U(Ak+3)=U(A2n-k)

U(Bk+3)=U(B2n-k)

其中k=0,1,2,…,(2n+1),并且有

U(An+2)=U(An+1)

那么, 圖5可以進一步等效成為圖6結構的網絡, 其中

圖6 邊數為2n+1環形網絡壓縮后的電阻參數圖

根據圖6結構的模型可以計算出A1，B1(n)節點間的等效電阻. 請注意, 圖4與圖6存在差別, 主要是右邊界的電阻不同.

2 等效模型的統一建構

研究上述兩種情形的等效電阻RA1B1(N)時, 需要先計算不包含兩端邊界的等效電阻Rn的通用公式, 可以采用如下模型進行統一建構.

圖7 等效二端口模型

為了研究方便, 簡記

r1+r2=2r

則

r′1+r′2=r

根據等效模型圖7可以得到其等效電阻的遞推公式

(1)

下面采用變量代換技術給出遞推式(1)的解.

假設存在數列{xn}, 并且采用下列變換關系

(2)

可以規定初始項x0=1, 利用式(2)得到初始條件

(3)

將式(2)及其遞推式Rn-1代入式(1)化簡得到

(4)

根據文獻[1]建立的理論可知差分式(4)的特征方程為

(5)

設α和β分別為式(5)的2個特征根, 解此特征方程得到

(6)

其中

因此式(4)能夠變換成為一個簡單的方程

xn+1=(α+β)xn-αβxn-1

(7)

根據文獻[1]中建立的方法解差分方程式(7)得到

(8)

將初始條件式(3)代入式(8), 得到(利用α+β=r0+r)

(9)

將獲得的結論式(9)及其遞推式代入關系式(2)得到

(10)

其中R0的值(圖4與圖6右邊界的電阻值)由環形網絡邊界上節點數的奇數和偶數決定.

3 兩個電阻公式

(11)

所以, 節點數為2n+1情形時A1,B1兩節點間的等效電阻

RA1B1(2n+1)=r0∥(r+Rn-1)

則應用式(11)得到

(12)

(2)當節點數為N=2n時,依據圖4有R0=r0, 則由式(10)得到

Rn-1=

(13)

所以, 節點數為2n的情形時A1,B1兩節點間的等效電阻

RA1B1(2n)=r0∥(r+Rn-1)

則應用式(13)得到

(14)

其中記

為此, 這里采用壓縮變換的方法得到了N階環形網絡的等效電阻公式.

4 特殊情形與討論

情形1:當N=1時, 其電路模型如圖8所示, 此時N為奇數, 等效電阻公式適用于式(12), 在式(12)中設n=0, 得到

圖8 N=1的環形網絡

(15)

顯然得到RA1B1(1)=r0, 此結論與實際電路計算的結果完全相同. 此即驗證了N=1時所得結論的正確性.

情形2:當N=2時, 其電路模型如圖9所示, 此時N為偶數, 等效電阻公式適用于式(14), 在式(14)中設n=1, 得到

圖9 N=2的環形網絡

(16)

其中利用了α+β=r0+r.實際電路的計算

顯然得到的等效電阻式(16)與實際電路計算的結果完全相同.此即驗證了N=2時所得結論的正確性.

情形3:當N=3時, 其電路模型如圖10所示, 此時N為奇數, 等效電阻公式使用式(12)計算,在式(12)中設n=1, 得到

(17)

其中利用了α+β=r0+r.通過對實際電路圖10計算時所得結果與式(17)完全相同, 此即驗證了N=3時所得結論的正確性.

圖10 N=3的環形網絡

以上利用實際電路驗證了文章所得結論的正確性. 當然, 由于本文所有計算都是嚴格的理論推導, 所有的方程與結果都是自洽的, 因而所得結論必然是正確的. 本文采用靈活轉化的方法進行研究,為研究復雜網絡模型提供了一種新思路, 為廣大物理教育工作者開展科學探究提供了新的實踐案例.