構(gòu)建模型變換研究N階環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻

黃依欣 譚志中

(南通大學(xué)物理系 江蘇 南通 226019)

社會(huì)的發(fā)展和科學(xué)的進(jìn)步推動(dòng)了電路網(wǎng)絡(luò)的研究與發(fā)展[1]. 電阻網(wǎng)絡(luò)模型的研究能夠促進(jìn)學(xué)生思維創(chuàng)新能力的發(fā)展, 因?yàn)殡娐方Y(jié)構(gòu)是一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu), 可以任意改變電路的結(jié)構(gòu)形狀, 從而能夠激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維, 尤其是簡(jiǎn)單的電路網(wǎng)絡(luò)可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與仿真. 在不少中學(xué)物理競(jìng)賽題中也會(huì)出現(xiàn)一些電阻網(wǎng)絡(luò)的問(wèn)題. 最近10年, 電阻網(wǎng)絡(luò)研究獲得了比較豐富的研究成果[1～17], 例如, 2001-2003年關(guān)于N階梯形網(wǎng)絡(luò)研究取得了新的突破[2～5], 2011年文獻(xiàn)[1]建立了研究電路網(wǎng)絡(luò)模型的創(chuàng)新理論, 使得許多復(fù)雜的電阻網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題得到解決[6～13]. 最近, 文獻(xiàn)[14～17]利用文獻(xiàn)[1]建立的新方法解決了4類(lèi)復(fù)雜的N階電阻網(wǎng)絡(luò)難題, 為相關(guān)的科學(xué)研究建立了新的理論基礎(chǔ).

電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻研究雖然獲得了比較豐富的研究成果, 但綜觀(guān)以上文獻(xiàn)的研究發(fā)現(xiàn)關(guān)于N階環(huán)形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻問(wèn)題尚缺乏深入研究, 盡管多邊形電阻網(wǎng)絡(luò)模型也是一類(lèi)周期的網(wǎng)絡(luò)模型[8～9], 但是多邊形電阻網(wǎng)絡(luò)模型含有一個(gè)特殊的匯聚點(diǎn),因此N階環(huán)形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻問(wèn)題是一類(lèi)有待研究的問(wèn)題. 如文獻(xiàn)[2～7,10～17]關(guān)于電路網(wǎng)絡(luò)的研究都不是周期網(wǎng)絡(luò).

為了研究圖1所示的環(huán)形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻, 本文創(chuàng)造了一種新的方法, 該方法不同于文獻(xiàn)[1～17]中的任何一種方法. 本文采用模型壓縮的策略獲得了新的靈感, 創(chuàng)造了新的研究技術(shù), 巧妙地將N階環(huán)形電阻網(wǎng)絡(luò)壓縮成為n階平面矩形電阻網(wǎng)絡(luò). 這種模型變換與轉(zhuǎn)化的思想對(duì)相關(guān)學(xué)科的科學(xué)研究具有方法論意義, 對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力具有積極意義.

1 網(wǎng)絡(luò)模型的結(jié)構(gòu)變換

考慮圖1所示的環(huán)形網(wǎng)絡(luò), 其電阻參數(shù)電路如圖2所示. 環(huán)形網(wǎng)絡(luò)屬于三維空間網(wǎng)絡(luò), 本文擬采用巧妙的方法研究A1與B1兩點(diǎn)間的等效電阻. 研究發(fā)現(xiàn)環(huán)形網(wǎng)絡(luò)可以等效地壓縮成為矩形電阻網(wǎng)絡(luò). 這是一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn), 是一次思想與方法上的創(chuàng)新.

圖1 任意N階環(huán)形電阻網(wǎng)絡(luò)模型

圖2 含有電阻參數(shù)的環(huán)形網(wǎng)絡(luò)部分電路圖

研究發(fā)現(xiàn), 邊界上含有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的環(huán)形網(wǎng)絡(luò)可以壓縮成為矩形電阻網(wǎng)絡(luò). 分別考慮節(jié)點(diǎn)為奇數(shù)和偶數(shù)的情形, 最終結(jié)果是：對(duì)于N=2n條邊和N=2n+1條邊的環(huán)形網(wǎng)絡(luò)都可以轉(zhuǎn)化成為1×n階矩形網(wǎng)絡(luò).

(1)當(dāng)環(huán)形邊界上的節(jié)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的情形

對(duì)于節(jié)點(diǎn)數(shù)為N=2n的環(huán)形網(wǎng)絡(luò), 其俯視圖如圖3所示的結(jié)構(gòu). 如果在A1，B1節(jié)點(diǎn)間接入恒定電壓, 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性, 則電位必然有

圖3 2n環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的拉壓俯視圖

U(Ak+2)=U(A2n-k)

U(Bk+2)=U(B2n-k)

其中k=0,1,2,…,2n．

因此, 圖3可以進(jìn)一步等效成為圖4結(jié)構(gòu)的電阻網(wǎng)絡(luò). 設(shè)環(huán)形網(wǎng)絡(luò)上下邊上的單元電阻分別為r1和r2, 連接上下邊的軸線(xiàn)上的電阻為r0, 則在圖4中有

圖4 邊數(shù)為2n環(huán)形網(wǎng)絡(luò)壓縮后的電阻參數(shù)圖

根據(jù)圖4結(jié)構(gòu)可以計(jì)算出節(jié)點(diǎn)間的等效電阻.

(2)首先考慮環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的情形, 即節(jié)點(diǎn)數(shù)為N=2n+1的情形

將環(huán)形網(wǎng)絡(luò)拉壓成圖5所示的結(jié)構(gòu).如果在A1，B1節(jié)點(diǎn)間接入恒定電壓, 則電位必然有

圖5 2n+1階環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的拉壓情形

U(Ak+3)=U(A2n-k)

U(Bk+3)=U(B2n-k)

其中k=0,1,2,…,(2n+1),并且有

U(An+2)=U(An+1)

那么, 圖5可以進(jìn)一步等效成為圖6結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò), 其中

圖6 邊數(shù)為2n+1環(huán)形網(wǎng)絡(luò)壓縮后的電阻參數(shù)圖

根據(jù)圖6結(jié)構(gòu)的模型可以計(jì)算出A1，B1(n)節(jié)點(diǎn)間的等效電阻. 請(qǐng)注意, 圖4與圖6存在差別, 主要是右邊界的電阻不同.

2 等效模型的統(tǒng)一建構(gòu)

研究上述兩種情形的等效電阻RA1B1(N)時(shí), 需要先計(jì)算不包含兩端邊界的等效電阻Rn的通用公式, 可以采用如下模型進(jìn)行統(tǒng)一建構(gòu).

圖7 等效二端口模型

為了研究方便, 簡(jiǎn)記

r1+r2=2r

則

r′1+r′2=r

根據(jù)等效模型圖7可以得到其等效電阻的遞推公式

(1)

下面采用變量代換技術(shù)給出遞推式(1)的解.

假設(shè)存在數(shù)列{xn}, 并且采用下列變換關(guān)系

(2)

可以規(guī)定初始項(xiàng)x0=1, 利用式(2)得到初始條件

(3)

將式(2)及其遞推式Rn-1代入式(1)化簡(jiǎn)得到

(4)

根據(jù)文獻(xiàn)[1]建立的理論可知差分式(4)的特征方程為

(5)

設(shè)α和β分別為式(5)的2個(gè)特征根, 解此特征方程得到

(6)

其中

因此式(4)能夠變換成為一個(gè)簡(jiǎn)單的方程

xn+1=(α+β)xn-αβxn-1

(7)

根據(jù)文獻(xiàn)[1]中建立的方法解差分方程式(7)得到

(8)

將初始條件式(3)代入式(8), 得到(利用α+β=r0+r)

(9)

將獲得的結(jié)論式(9)及其遞推式代入關(guān)系式(2)得到

(10)

其中R0的值(圖4與圖6右邊界的電阻值)由環(huán)形網(wǎng)絡(luò)邊界上節(jié)點(diǎn)數(shù)的奇數(shù)和偶數(shù)決定.

3 兩個(gè)電阻公式

(11)

所以, 節(jié)點(diǎn)數(shù)為2n+1情形時(shí)A1,B1兩節(jié)點(diǎn)間的等效電阻

RA1B1(2n+1)=r0∥(r+Rn-1)

則應(yīng)用式(11)得到

(12)

(2)當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)為N=2n時(shí),依據(jù)圖4有R0=r0, 則由式(10)得到

Rn-1=

(13)

所以, 節(jié)點(diǎn)數(shù)為2n的情形時(shí)A1,B1兩節(jié)點(diǎn)間的等效電阻

RA1B1(2n)=r0∥(r+Rn-1)

則應(yīng)用式(13)得到

(14)

其中記

為此, 這里采用壓縮變換的方法得到了N階環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻公式.

4 特殊情形與討論

情形1:當(dāng)N=1時(shí), 其電路模型如圖8所示, 此時(shí)N為奇數(shù), 等效電阻公式適用于式(12), 在式(12)中設(shè)n=0, 得到

圖8 N=1的環(huán)形網(wǎng)絡(luò)

(15)

顯然得到RA1B1(1)=r0, 此結(jié)論與實(shí)際電路計(jì)算的結(jié)果完全相同. 此即驗(yàn)證了N=1時(shí)所得結(jié)論的正確性.

情形2:當(dāng)N=2時(shí), 其電路模型如圖9所示, 此時(shí)N為偶數(shù), 等效電阻公式適用于式(14), 在式(14)中設(shè)n=1, 得到

圖9 N=2的環(huán)形網(wǎng)絡(luò)

(16)

其中利用了α+β=r0+r.實(shí)際電路的計(jì)算

顯然得到的等效電阻式(16)與實(shí)際電路計(jì)算的結(jié)果完全相同.此即驗(yàn)證了N=2時(shí)所得結(jié)論的正確性.

情形3:當(dāng)N=3時(shí), 其電路模型如圖10所示, 此時(shí)N為奇數(shù), 等效電阻公式使用式(12)計(jì)算,在式(12)中設(shè)n=1, 得到

(17)

其中利用了α+β=r0+r.通過(guò)對(duì)實(shí)際電路圖10計(jì)算時(shí)所得結(jié)果與式(17)完全相同, 此即驗(yàn)證了N=3時(shí)所得結(jié)論的正確性.

圖10 N=3的環(huán)形網(wǎng)絡(luò)

以上利用實(shí)際電路驗(yàn)證了文章所得結(jié)論的正確性. 當(dāng)然, 由于本文所有計(jì)算都是嚴(yán)格的理論推導(dǎo), 所有的方程與結(jié)果都是自洽的, 因而所得結(jié)論必然是正確的. 本文采用靈活轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行研究,為研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型提供了一種新思路, 為廣大物理教育工作者開(kāi)展科學(xué)探究提供了新的實(shí)踐案例.