審視繩系連接體教學中的兩個困惑

何忠燕

(江蘇省梁豐高級中學 江蘇 蘇州 215600)

兩個或以上的物體通過輕繩連接，各自經歷相同或不同的運動過程，如圖1和圖2所示；這是中學階段比較常見的繩系連接體情景；于學生而言，繩系連接的物體之間力學聯系較為簡單，但物體之間的運動聯系特別是速度大小關系，以及輕繩對每個物體做功的問題頗為困擾學生.

圖1 速度大小相等的連接體

圖2 速度大小不等的連接體

本文從繩系連接體的基本特點入手，一是幫助學生快速判斷連接體間的速度關系；二是通過證明導出輕繩對兩個物體做功的特征，尋求找到解決繩系連接體中能量關系的方法.

1 繩系連接體的動力學特征

輕繩是一種理想模型，它的質量和形變均可以忽略，因此繩系連接體中繩子的總長度不會發生變化；因此輕繩一端伸長的長度必然與另一端收縮的長度相同，輕繩一端伸長的速度也必然與另一端收縮的速度相同，即v伸=v收.在輕繩與接觸的介質之間摩擦可以忽略的情況下，輕繩對和它連接的兩個物體施加的彈力大小相等，且彈力與連接的輕繩在同一直線上.

2 繩系連接的物體間的速度聯系

學習過運動的合成與分解，經常需要討論繩系連接體之間的速度關系；對于初學者而言，應用運動分解解決具體問題一般會有以下幾個困惑：

問題1:連接體中物體的速度要不要分解？

問題2:若要分解，將什么速度分解？

問題3:分解速度時沿哪兩個方向？

解決以上3個問題，首先要明確探討的目標——尋找連接物體之間速度的大小關系.

對于問題1，只要判斷兩個物體的速度大小不相等，就需要將連接體中某個(或兩個)物體的速度分解，至于如何判斷兩個物體的速度大小相等，高中階段通常的做法，取一段極短的時間Δt，在情境圖中找出該時間內兩個物體各自的起始位置，比較它們的路程Δs是否相等，若路程相同，根據瞬時速度的定義，兩物體的速率必定相等.

圖1中A上升的路程等于B下落的路程，所以vA=vB.圖2中，取連接體運動的一段很短時間內，當兩物體各自到達虛線位置如圖3所示，物體B的路程為圖中的ΔsB，過程中連接物體B的輕繩由L1變成L2；物體A的路程等于定滑輪左邊輕繩伸長的長度，也等于定滑輪右側輕繩縮短的長度.在連接B的輕繩L1上取一段長度等于L2，L1上余下的那部分長度就是定滑輪右側輕繩收縮的長度，即為物體A的路程，由三角形知識(大邊對大角)可知，ΔsB大于ΔsA；所以vA的大小不等于vB.

圖3 相等時間內兩物經過的路程比較

對于問題2，只有當被連接的兩個物體速度大小不相等，才需要考慮將連接體中物體的速度分解.由于連接的介質輕繩(或輕桿)也在運動，剛接觸運動分解的高中學生容易混淆合運動是指物體的運動還是連接介質的運動，教師只需強調合運動的概念——物體實際發生的運動(不是連接介質的運動)，所以物體的實際運動速度才是合速度，才是需要分解的對象.

在具體的問題中，繩系連接體的兩個物體的速度是不是都要分解，要看物體的運動對連接它的輕繩產生了幾個效果，如果效果單一，則該物體的速度不需要分解.圖2中，物體A的運動僅僅使連接它的輕繩伸長，運動產生的效果唯一，因此物體A的速度不需要分解；而物體B的運動不僅使連接它的輕繩收縮(由長度L1變為L2)，同時還使輕繩與豎直方向的夾角減小(輕繩繞與定滑輪的接觸點轉動)，因此物體B的速度需要分解.

對于問題3，繩系連接體中速度分解是按照物體使輕繩產生的實際效果進行的，即將物體的速度沿輕繩方向(使輕繩伸長或收縮的速度)和垂直于輕繩方向(使輕繩轉動)兩個方向分解，根據繩系連接體的運動學特征v伸=v收，就能建立繩系連接體中兩物體之間的速度大小關系.

圖2中，物體B運動使連接它的輕繩變短，其速度分解如圖4所示，可得

圖4 速度按實際效果分解

v收=vBcosα

物體A運動僅僅使連接它的輕繩伸長，v伸=vA，故

vA=vBcosα

以上是運動合成與分解在教學中的一種常規思路.對初學者而言，立足于輕繩的動力學特征，剖析繩系連接體之間的速度關系有利于學生掌握運動合成與分解的基本原理，也有利于培養學生的物理科學思維，在新授課階段無疑對學生大有裨益；但若在找尋繩系連接體的速度關系習題中都采用這種分析方法，那過程就顯得有些繁瑣，因此有必要提煉出相對高效的規律.

因為繩系連接體間v伸=v收，若兩物體的速度不相等，我們只需找到兩個速度沿輕繩方向分量.只有一種情況“與輕繩垂直的速度分量”為零——即物體的速度方向和連接物體輕繩平行，此時沿輕繩方向的速度分量就等于物體的速度(v伸=v物或v收=v物).因此找尋繩系連接體的物體速度關系，我們可以兩個簡單步驟：

(1)觀察物體的速度與連接物體的輕繩是否平行；若都平行，則兩物體的速度大小相等，都等于輕繩的伸長或收縮速度，若其中有物體的速度和輕繩不平行，則將該物體的速度分解.

(2)繩系連接體速度按照規定的范式分解：沿輕繩方向和垂直于輕繩方向；建立v伸=v收的關系即可.

下面我們就按照上面的方法分析兩個案例.

圖5中，物體A的速度和連接A的輕繩平行，物體B的速度和連接B的輕繩平行，只要輕繩不松弛，A和B的速度大小就始終相等.

圖5 兩物速度等大，拉力做功大小相等說明圖

圖6中，物體A的速度和連接A的輕繩不平行，物體B的速度和連接B的輕繩也不平行，因此A和B的速度均需分解，按照規定的范式，必然有

圖6 兩物體速度大小不等，拉力做功大小相等說明圖

vAcosβ=vBcosα

圖7中，物體A的速度和連接A的輕繩平行，繩子收縮速度v收=vA；物體B的速度和連接B的輕繩不平行，只需將B的速度分解

圖7 系統機械能守恒說明圖

v伸=vBcosα

所以

vA=vBcosα

3 繩系連接體中輕繩對兩個物體做功的特征

在繩系連接體中，輕繩對兩個物體的彈力可以是恒力，如圖5輕繩對A和B的拉力；也可以是變力，如圖6輕繩對兩個物體的拉力.在這些情境中，輕繩對兩個物體做的功大小有什么關系呢？

盡管在機械能守恒定律中強調，系統內如果只有重力和彈力(非突變彈力)做功，系統的機械能守恒；但教材中并未做詳細的闡述，學生在涉及彈力做功的系統中應用機械能守恒定律時總是帶著困惑.在這里我們先應用“瞬時功率法”證明系統內的非突變彈力(是系統的內力)對物體做功的特征.

忽略與輕繩接觸的物體間的摩擦；根據輕繩的動力學特征，輕繩對和它連接的兩個物體彈力大小相等.設輕繩任意時刻的彈力大小為F，物體的速度為v，彈力F與速度v之間的夾角為θ，彈力F的瞬時功率P=Fvcosθ.

圖5中，輕繩的彈力與兩物體的速度均平行，彈力F對物體A做功的瞬時功率PA=-Fv(夾角為π)，“-”表示彈力F是物體A運動的阻力，對物體A做負功；彈力F對物體B做功的瞬時功率PB=Fv(夾角為零)；輕繩的彈力對兩個物體做功的快慢始終相同，在同一時間內，輕繩對兩個物體的功WA和WB的大小必然相等，但對A做負功，因此WA+WB=0.

圖6中，輕繩的彈力與兩物體的速度都不平行，彈力F對物體A做功的瞬時功率PA=-FvAcosβ，“-”表示彈力F是物體A運動的阻力，對物體A做負功；彈力F對物體B做功的瞬時功率PB=FvB·cosα；由前面的分析有vAcosβ=vBcosα；因為輕繩的彈力對兩個物體做功的快慢也始終相同，故輕繩對兩個物體的功WA和WB的大小必然相等，只不過對A做負功，同樣WA+WB=0.

綜上所述，繩系連接體中無論輕繩的彈力是恒力還是變力(繩子不能突然繃緊)，輕繩對兩個物體做功的代數和均為零.

在忽略一切摩擦的情況下，如果討論類似圖7的情境時，若將物體A和B視為系統，在A，B運動的過程中，根據功能關系——除重力外其他力的功等于物體機械能的改變量，可知彈力對物體A的功為WA=ΔEA，彈力對物體B的功為WB=ΔEB，將兩式相加

WA+WB=ΔEA+ΔEB=0

即物體A和B組成的系統機械能守恒.這就對高中物理必修教材上機械能守恒定律的論述做了一個很好的輔證.

下面再用一個案例來討論繩系連接體的功能關系.

【例題】套在光滑豎直細桿上的小球B用細線繞過定滑輪與放在斜面上的物體A連接，如圖8所示，已知斜面傾角為37°，A與斜面間的動摩擦因數為μ，定滑輪與細桿間的距離為L；開始時施加外力使B球靜止，此時連接B的輕繩水平，撤去外力后B球運動到最低點時輕繩與桿的夾角為37°，求物體A與小球B的質量之比.

圖8 案例題圖

對物體A應用動能定理

雖然輕繩的拉力為變力，但它對兩物體的功之和為零，將兩式相加，即可解得

“多物體”組成的問題情境一直是高中階段探究的熱點，于學生而言，厘清繩系連接體的運動聯系以及功能關系不僅僅有利于學生掌握此類題型的分類方法，更能培養學生物理科學思維、物理建模以及求真的精神.此外，文中對繩系連接體的兩個困擾的解釋也可以遷移到活桿組成的連接體上.