通電直螺線管自感與互感的物理圖像*

王 鵬

(忻州師范學院物理系 山西 忻州 034000)

1 引言

通過幾個學期分別對不同專業的大學生教授大學物理課程，發現學生們普遍對自感與互感現象中的部分學習內容不能很好地理解和掌握.學生們對通電直螺線管的自感/互感現象的描述、自感/互感系數的定義與計算表示能夠理解，但是對兩根直螺線管在順接和逆接時的總自感系數計算公式則表示困惑.主要體現在以下兩個方面：

(1)兩根通電直螺線管串聯后的總自感系數(L總)的計算公式為

L總=L1+L2±2M

(1)

其中L1與L2分別表示兩根螺線管的自感系數，M為二者之間的互感系數.

兩根螺線管順接串聯時公式取加號，逆接串聯時則取減號.不少學生認為，當螺線管由順接變為逆接時，兩根螺線管內部的磁場方向將從同方向變為反方向，因此不僅M前面的加減計算有所變化，L1與L2之間的加減計算也應該有所變化，學生普遍對L1與L2始終相加表示困惑.

(2)教材中提到，對無限長或長度遠大于半徑的通電螺線管(以下稱為“理想螺線管”)，其自感系數計算如下

(2)

由于自感與互感并不算是大學物理課程的重點教學內容，因此對于以上兩個問題，大學物理教材中幾乎都沒有給出詳細的解釋.另外，雖然有一些文章采用數學分析的方法對上述兩個公式進行了分析[2～8]，但是較多的數學公式使學生們專注于計算，不利于學生構建清晰的物理圖像.“物理圖像”并不是簡單的“物理模型”.“物理模型”的一個重要特點是忽略一個過程或現象的次要因素而凸顯主要因素，比如“質點”和“剛體”就是最常見的物理模型.構建“物理模型”的過程就是尋找“理想化的近似”，目的是為了更方便地進行數學運算并得出定量結論.而“物理圖像”則是一個物理定律或結論在拋開數學計算之后所留下的物理內涵，僅能夠通過近乎籠統的語言甚至腦海中的圖像來描述.“物理圖像”對一個過程或現象的描述往往不夠精確(因為沒有數學運算的過程)，卻最能表示物理本質和物理邏輯.如果學生們能夠擺脫數學計算而掌握物理內涵，就代表學生理解了，而非“記住”了所學的內容.學生不僅可以實現知識的“理解記憶”，也能夠很好地進行“學習遷移”，能夠發現很多看起來完全不同的知識之間的內在聯系，構建“知識框架”，學習效率也會大大提高.但這也要求教師本身就對知識有深刻的認識，并在教學過程中對學生加以正確的引導.

因此，本論文針對學生的學習困惑，通過“物理語言”而非數學公式對自感與互感部分的內容進行分析，幫助學生能夠更好地理解自感與互感現象，不僅掌握通電螺線管自感系數與互感系數的計算方法，也能夠建立正確的物理圖像.

2 通電螺線管串聯的等效總自感系數分析

2.1 兩根通電螺線管串聯時的自感系數關系

通電螺線管的自感電動勢(E自感)計算式為

(3)

其中L,I和Ψ分別為螺線管的自感、通入電流和磁鏈數.可以看到，式(3)的本質就是法拉第電磁感應定律，自感系數L可以表征螺線管的自感能力，即計算自感電動勢的大小.基于這一點，可以先從數學上分析兩根螺線管的串聯問題.如圖1(a)和(b)所示，兩根通電螺線管分別通過順接和逆接的方式進行串聯，自感系數分別為L1和L2.當電路中通入了變化的電流I時，兩根螺線管將同時產生自感電動勢，其方向可以利用楞次定律判斷，其大小可以通過式(3)計算.不失一般性，可以先假設圖1電流I此時具有增強的趨勢，則兩根螺線管將分別產生E自感，方向如圖1(a)和(b)中所示，感應電流方向(I自感)如圖所示.顯然，無論兩根螺線管順接還是逆接，它們所產生的感應電流方向相同，滿足串聯關系.這表明兩根串聯在一起的螺線管具有相同方向的自感響應，與連接方式無關.

從數學角度看，自感系數的定義式，即式(3)是一個常系數的線性微分算式，因此，感應電動勢的方向是否相同決定了在計算總自感系數時L1與L2的加減情況.如圖1(a)所示，順接情況下兩個自感電動勢的方向一致，滿足串聯關系；在不考慮互感的情況下，電路中的總自感電動勢等于兩個自感電動勢相加.而在逆接情況下，如圖1(b)所示，兩根螺線管的感應電動勢方向呈現為一個“向左”一個“向右”，看起來二者似乎方向相反，應當在計算中作差，但實際上，如果順著導線的方向觀察，例如沿著I自感的方向，可以看到兩個電動勢方向其實一致，均與原電流方向相反.因此，逆接情況下計算總自感電動勢時也應當將兩個自感電動勢相加.以上分析表明，兩根串聯的螺線管中所產生的自感電動勢方向始終一致，與串聯方式無關，因此兩個自感系數L1與L2在計算總自感系數的過程中應始終相加.

實線黑色箭頭表示電流從螺線管的前面流過，虛線黑色箭頭表示電流從螺線管的后面流過.B原電和B感電分別是由原電流I所引起的磁場和感應電流引起的磁場

圖1 兩根通電螺線管串聯示意圖

接下來嘗試擺脫數學公式，從物理圖像的角度來印證上述結論.如前所述，同一電路中的兩根螺線管在電流I變化時將同時產生自感電動勢.根據楞次定律，每一個自感線圈所產生的E自感以及I自感的“責任”和“目標”都是為了削弱電流變化所帶來的影響，即阻礙磁通量的變化.那么，兩根螺線管只要是串聯，導線中流過的就是相同的電流，產生的就是相同的磁場，電流變化對兩根螺線管造成的影響就是相同的，則阻礙磁通量變化這一“責任”和“目標”對兩根螺線管來說也是一致的.這種一致性與兩根自感線圈的順接或逆接以及電流增大或減小沒有關系.既然兩根螺線管的“責任”始終一致，在串聯時二者 “齊心協力”地達成“目標”，產生同方向的E自感以及I自感，計算總自感系數時將L1和L2相加也就很自然了.

綜上所述，自感現象的本質就是電磁感應現象，感應的方向遵循楞次定律，感應的強弱則遵循法拉第電磁感應定律.而從“自感”字面可以看出，此時的感應現象只與螺線管自身有關，即所產生的感應電動勢的方向僅僅與自身的電流方向和變化趨勢有關，而與另外一根螺線管無關.因此無論兩根通電螺線管順接還是反接，只要是串聯，電流變化在兩根螺線管中所引起的兩個自感電動勢就必須要共同肩負起阻礙磁鏈或電流變化的“責任”，體現在數學公式上則為二者相加，即計算螺線管串聯的總自感系數時，兩個自感系數總是相加的.

也可以根據以上物理圖像來解釋式(1)中互感系數對總自感系數的影響.互感系數的定義式與自感系數[即式(3)]相近，區別僅在于互感系數表示的是兩根螺線管之間的相互影響程度.當兩根螺線管順接串聯時，如圖1(a)中所示，各自所產生的磁場與另一根螺線管中的磁場方向相同[圖1(a)中兩組B原電方向相同]，此時因電流變化而引起的互感電動勢(E互感)與自感電動勢的“責任”一致，都是為了阻礙電流的變化，因此在計算中L與M應當相加；而兩根螺線管逆接串聯時，E自感與E互感的“責任”雖然一致，都是為了維持電流或磁通量不變，但二者的“目標”卻并不一致.如圖1(b)中所示，兩根螺線管所要維持的磁通量方向正好相反(圖1(b)中兩組B原電方向相反)，因此E自感與E互感的方向相反，導致在計算自感系數時L與M應當相減.由于兩根螺線管均可以引起對方產生互感電動勢，電路中存在兩個相等的E互感(兩個互感系數相等且串聯時電流的變化相等)，且這兩個E互感的方向均同時與自身的E自感同向(順接時自感與互感電動勢相加)或反向(逆接時自感與互感電動勢相減)，因此，兩根螺線管串聯后的總自感系數可以用公式(1)進行計算.值得指出的是，公式(1)無論從數學角度還是物理圖像角度分析都沒有施加任何特定條件，因此是普適的，具有一般性.

以上分析過程著重闡述了兩螺線管串聯時電磁感應現象互相耦合的物理圖像，在無需借助數學公式的情況下就可以解釋數學計算問題，更有助于加強學生對物理知識的“感性認識”，避免教師和學生過多地專注數學公式的計算而忽略了物理現象的內涵.

2.2 兩根通電螺線管串聯時的等效總自感系數計算

接下來我們同樣結合數學公式和物理圖像來解釋式(1)和(2)之間的“矛盾”問題.如圖2所示，對一個非理想的螺線管，其內部磁場的計算公式應通過畢奧-薩伐爾定律計算如下

圖2 計算直通電螺線管軸上各點磁感應強度示意圖

(4)

對理想螺線管，無限長或長度遠大于半徑，θ1和θ2分別趨近于π和零，式(4)簡化為B=μnI.當然，利用磁場中的環路定理可以更快地得到理想螺線管的這個結論.如圖2所示，選擇一個磁場中的閉合回路CDEF，根據環路定理得

(5)

對理想螺線管，內部磁場(BEF)是勻強的而外部無磁場(BCD=0)，CF與DE均垂直于磁場，因此得到B=μnI.若理想螺線管的體積V=lS，內部磁鏈數Ψ=NBS=LI，代入B=μnI中則可以得到式(2).可以看到，上述推導過程使用了“理想螺線管”這一條件，表明式(2)僅針對理想螺線管才有效，并不具有一般性，不能用于普通螺線管自感系數的計算.因此，式(1)與式(2)只對理想螺線管才可以同時使用并得到一致的結論，對普通螺線管的自感系數進行計算必然會產生不同的結果.因此，從數學角度上可以認識到所謂“矛盾”是來自于兩個公式的適用范圍不一致.

從物理圖像的角度也可以得到上述結論.互感現象是由于一根通電螺線管所產生的磁感線進入另一根螺線管并發生數目變化所導致的.而磁感線是閉合的，它在理想螺線管內部均勻排列，在螺線管外部則遍布全空間，因此磁感線在螺線管外部極其稀疏，磁感應強度可以視為零，進入另一根螺線管的磁感線數目(即磁通量)也可以視為總是零，因此不會導致互感現象.綜上所述，沒有互感這一結論只能用于兩根理想螺線管之間，兩根非理想螺線管之間則是存在互感的.顯然，互感系數受到兩根螺線管之間的位置與取向，以及是否有鐵芯等因素影響.

以上分析表明兩根理想螺線管之間的互感系數M等于零.此時再去看式(1)和(2)，兩根理想螺線管串聯后的總自感系數無需考慮互感，簡單地等于兩個自感系數之和，與長度成正比，兩個公式的結果一致.可以看到，正是由于忽視了兩根螺線管之間的互感系數M的取值情況才導致了所謂的“矛盾”.

3 結論

式(1)可以從法拉第電磁感應定律或者麥克斯韋方程組得到，是計算兩根通電螺線管串聯時總自感系數的普適公式.但是式(2)則只對理想螺線管模型(長度遠大于半徑或無限長有限粗)適用，因此在使用每一個公式時應當清楚公式的來源和公式中每個物理量的物理意義，才會保證對物理公式的使用以及對物理概念的理解不會出錯.另外，在教學過程中適當地引入簡潔的圖形和定性分析有助于學生建立正確的物理圖像，避免學生過于專注數學公式而忽略對物理本質的追求.